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高考中的推理与证明学生

高考中的推理与证明、创新题
b , ?a,a ? ?1 a ?b ? ? . ?b, a ? b ?1 设 函 数 1. 天津理 4)对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” ( : f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. y ? f ( x) ? c x
若函数 则实数 c 的取值范围是

的图像与 轴恰有两个公共点,

A.

? ??, ?2? ? ? ?1, ?
?

3? ? 2?

B.

? ??, ?2? ? ? ?1, ? ?
?

3? ? 4?

????? ????? A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A1 A3 ? ? A1 A2 2. (山东理 12)设 ?? ?? ? ? ? A 1 1 (λ∈R) A 4 ? A 2 , A
1
(μ∈R) ,且 ? ? ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知平 面上的点 C,D 调和分割点 A,B 则下面说法正确的是 A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 3.(湖北理 9)若实数 a,b 满足 a ? 0, b ? 0, 且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补,记

1? ?1 ? ? ? ?1, ? ? ? , ?? ? 4? ?4 ? C. ?

3 ? ?1 ? ? ? ?1, ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ? D. ?

?

1

?2

? (a, b) ? a 2 ? b2 ? a ? b, ,那么 ? ? a, b? ? 0 是 a 与 b 互补的
A.必要而不充分的条件 C.充要条件 B.充分而不必要的条件 D.即不充分也不必要的条件 4. 福建理 15) V 是全体平面向量构成的集合, ( 设 若映射 f : V ? R 满足: 对任意向量 a= 1, (x y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 ? ∈R,均有

f (? ? a(1 ? ? )b) ? ? f (a) ? (1 ? ? ) f (b),

则称映射 f 具有性质 P。 现给出如下映射: ① f1 : V ? R, f 2 (m) ? x, ? y, m ? ( x, y) ?V ; ② f2 : V ? R, f 2 (m) ? x ? y, m ? ( x, y) ?V ;
2

③ f3 : V ? R, f3 (m) ? x ? y ? 1, m ? ( x, y) ?V . 其中,具有性质 P 的映射的序号为________。 (写出所有具有性质 P 的映射的序号)
* 5. (湖南理 16) 对于 n ? N ,将 n 表示 n ? a0 ? 2 ? a1 ? 2

k

k ?1

? a2 ? 2k ?2 ? ... ? ak ?1 ? 21 ? ak ?20 ,

当 i ? 0 时, ai ? 1 ,当 1 ? i ? k 时, a1 为 0 或 1.记 I (n) 为上述表示中 ai 为 0 的个数(例 如: I ? 1? 2 , 4 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ),故 I (1) ? 0 , I (4) ? 2 ),则
0 2 1 0
m

(1) I (12) ? ________________;(2) 6. 北京理 8) ( 设

?2
n?1

I (n)

________________;

A? 0,0? , B ? 4,0? ,C ? t ? 4, 4? , D ?t, 4??t ? R ? .记 N ? t ? 为平行四边形 ABCD

内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N ? t ? 的值域为
-1-

? A. ?9,10,11
C. ?9,11,12?
5 6

B. ?9,10,12? D. ?10,11,12?
7
2011

7.(江西理 7)观察下列各式: 5 =3125, 5 =15625, 5 =78125,…,则 5 的末四位数字 为 A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 8.(广东理 8)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ?a, b ? S , 有 ab ? S ,则称 S 关于数的乘法 是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集, T ? U ? Z, 且 ?a, b, c ? T , 有

abc ? T ; ?x, y, z ?V , 有 xyz ?V ,则下列结论恒成立的是 A. T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. T ,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T ,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T ,V 中每一个关于乘法都是封闭的 9.(江西理 10)如右图,一个直径为 l 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方 向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小 圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大 致是

10.(安徽理 15)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点, 下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

=f 11.(四川理 16)函数 f(x) 的定义域为 A,若 x1,x 2 ? A且f(x1) (x 2) 时总有 x1 =x 2,则称f(x) 为单函数.例如,函数 f(x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题:
①函数 f(x) x (x ? R)是单函数; =
2

? ②若 f(x) 为单函数, x1,x 2 ? A且x1 ? x 2,则f(x1) f(x 2); ③若 f:A ?B 为单函数,则对于任意 b ? B,它至多有一个原象; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号)
f ( x) ?
12.(山东理 15)设函数

x ( x ? 0) x?2 ,观察:

-2-

f1 ( x) ? f ( x) ?

x , x?2

f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ?
f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ?

x , 3x ? 4
x , 7x ? 8 x , 15 x ? 16

??
根据以上事实,由归纳推理可得:
? 当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?

.

13.(陕西理 13)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 。

照此规律,第 n 个等式为

-3-


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