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立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)

第二章综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.直线 l1∥l2,在 l1 上取 3 个点,在 l2 上取 2 个点,由这 5 个点能确定平面的个数为 导学号 92180597 ( A.5 C.9 [答案] D [解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的 5 个点只能 确定一个平面. 2.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线 导学号 92180598 ( A.平行 C.相交 [答案] B [解析] 当直尺垂直于地面时,A 不对;当直尺平行于地面时,C 不对;当直尺位于地 面上时,D 不对. 3 .已 知 m 、 n 是两条不同直线, α 、 β 是两个不同平面,则下列命题正确的 是 导学号 92180599 ( ) ) B.垂直 D.异面 ) B .4 D.1

A.若 α、β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m、n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α、β 不平行 ,则在 α 内不存在 与 β 平行的直线 ... ... D.若 m、n 不平行 ,则 m 与 n 不可能 垂直于同一平面 ... ... [答案] D [解析] A 项,α、β 可能相交,故错误; B 项,直线 m、n 的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误; C 项,若 m?α,α∩β=n,m∥n,则 m∥β,故错误; D 项,假设 m、n 垂直于同一平面,则必有 m∥n,所以原命题正确,故 D 项正确. 4.已知 α、β 是两个平面,直线 l?α,l?β,若以①l⊥α;②l∥β;③α⊥β 中两个为条件,

另一个为结论构成三个命题,则其中正确的命题有 导学号 92180600 ( A.①③?②;①②?③ B.①③?②;②③?① C.①②?③;②③?① D.①③?②;①②?③;②③?① [答案] A [解析] 因为 α⊥β,所以在 β 内找到一条直线 m,使 m⊥α, 又因为 l⊥α,所以 l∥m.又因为 l?β,所以 l∥β,即①③?②; 因为 l∥β,所以过 l 可作一平面 γ∩β=n,所以 l∥n, 又因为 l⊥α,所以 n⊥α, 又因为 n?β,所以 α⊥β,即①②?③.

)

5.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,若过 C1 作 C1H⊥平 面 ABC,垂足为 H,则点 H 一定在 导学号 92180601 ( )

A.直线 AC 上 C.直线 BC 上 [答案] B [解析] ∵∠BAC=90° ,∴BA⊥AC. 又∵BC1⊥AC,

B.直线 AB 上 D.△ABC 的内部

∴AC⊥平面 ABC1,∴平面 ABC⊥平面 ABC1. ∵平面 ABC∩平面 ABC1=AB, ∴C1 在面 ABC 上的射影在直线 AB 上. 6. 设直线 l?平面 α, 过平面 α 外一点 A 与 l, α 都成 30° 角的直线有 导学号 92180602 ( ) A.1 条 C.3 条 [答案] B [解析] 如图, 和 α 成 30° 角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线, 当∠ABC =∠ACB=30° 且 BC∥l 时,直线 AC,AB 都满足条件,故选 B. B .2 条 D.4 条

7.(2016· 浙江文)已知互相垂直的平面 α、β 交于直线 l.若直线 m、n 满足 m∥α,n⊥β, 则 导学号 92180603 ( A.m∥l C.n⊥l [答案] C [解析] 选项 A,只有当 m∥β 或 m?β 时,m∥l;选项 B,只有当 m⊥β 时,m∥n;选 项 C,由于 l?β,∴n⊥l;选项 D,只有当 m∥β 或 m?β 时,m⊥n,故选 C. 8.(2016· 南安一中高一检测)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 与 MN 所成的角为 导学号 92180604 ( ) ) B.m∥n D.m⊥n

A.30° C.60° [答案] C [解析] 如图,连接 A1C1、BC1、A1B. ∵M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, ∴MN∥BC1. 又 A1C∥AC,

B.45° D.90°

∴∠A1C1B 为异面直线 AC 与 MN 所成的角. ∵△A1BC1 为正三角形, ∴∠A1C1B=60° .故选 C.

9.等腰 Rt△ABC 中,AB=BC=1,M 为 AC 的中点,沿 BM 把它折成二面角,折后 A 与 C 的距离为 1,则二面角 C-BM-A 的大小为 导学号 92180605 ( A.30° B.60° )

C.90° [答案] C

D.120°

[解析] 如图,由 A′B=BC=1,∠A′BC=90° 知 A′C= 2.

∵M 为 A′C 的中点,∴MC=AM=

2 ,且 CM⊥BM,AM⊥BM, 2

∴∠CMA 为二面角 C-BM-A 的平面角. ∵AC=1,MC=MA= 2 ,∴MC2+MA2=AC2, 2

∴∠CMA=90° ,故选 C. 10.点 P 在正方体侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且保持 AP⊥BD1,则点 P 的轨迹为 导学号 92180606 ( )

A.线段 B1C B.BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 C.线段 BC1 D.BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段 [答案] A [解析] ∵AP⊥BD1 恒成立,

∴要保证 AP 所在的平面始终垂直于 BD1. ∵AC⊥BD1,AB1⊥BD1,AC∩AB1=A, ∴BD1⊥面 AB1C,∴P 点在线段 B1C 上运动. 11.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b,AB 与 α、β 所成的角分别是 θ 和 φ, AB 在 α、 β 内的射影长分别是 m 和 n, 若 a>b, 则 导学号 92180607

(

)

A.θ>φ,m>n C.θ<φ,m<n [答案] D

B.θ>φ,m<n D.θ<φ,m>n

[解析] 由勾股定理得 a2+n2=b2+m2=AB2. 又 a>b,∴m>n. b a 由已知得 sinθ= ,sinφ= ,而 a>b, AB AB ∴sinθ<sinφ, π 又 θ,φ∈(0, ),∴θ<φ. 2 12.如图,在三棱柱 ABC-A′B′C′中,点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、 B′C′的中点,G 为△ABC 的重心,从 K、H、G、B′中取一点作为 P,使得该三棱柱恰 有 2 条棱与平面 PEF 平行,则点 P 为 导学号 92180608 ( )

A.K C.G [答案] C

B.H D.B′

[解析] 应用验证法:选 G 点为 P 时,EF∥A′B′且 EF∥AB,此时恰有 A′B′和 AB 平行于平面 PEF,故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.直线 l 与平面 α 所成角为 30° ,l∩α=A,m?α,A?m,则 m 与 l 所成角的取值范围 是________. 导学号 92180609 [答案] [30° ,90° ]

[解析] 直线 l 与平面 α 所成的 30° 的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在 α 内适当旋 转就可以得到 l⊥m,即 m 与 l 所成角的最大值为 90° .

14.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若 ∠B1MN 是直角,则∠C1MN 等于________. 导学号 92180610

[答案]

90°

[解析] 因为 C1B1⊥平面 ABB1A1,MN?平面 ABB1A1,所以 C1B1⊥MN. 又因为 MN⊥MB1,MB1,C1B1?平面 C1MB1,MB1∩C1B1=B1,所以 MN⊥平面 C1MB1, 所以 MN⊥C1M,所以∠C1MN=90° . 15.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD(只要填写一个你认为是正 确的条件即可). 导学号 92180611

[答案] DM⊥PC(或 BM⊥PC) [解析] 连接 AC,则 BD⊥AC,由 PA⊥底面 ABCD,可知 BD⊥PA,∴BD⊥平面 PAC, ∴BD⊥PC.故当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,平面 MBD⊥平面 PCD. 16.如图所示,已知矩形 ABCD 中,AB=3,BC=a,若 PA⊥平面 AC,在满足条件的 E 点有两个时,a 的取值范围是________. 导学号 92180612

[答案]

a>6

[解析] 由题意知:PA⊥DE,又 PE⊥DE,PA∩PE=P, 所以 DE⊥平面 PAE,∴DE⊥AE. 易证△ABE∽△ECD. AB BE 3 x 设 BE=x,则 = ,即 = . CE CD a-x 3 ∴x2-ax+9=0,由 Δ>0,解得 a>6.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)(2016· 江苏)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D、E 分别为 AB、BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 导学号 92180613

求证:(1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. [解析] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1C1∥AC.

在△ABC 中, 因为 D、E 分别为 AB、BC 的中点, 所以 DE∥AC, 于是 DE∥A1C1. 又 DE?平面 A1C1F, A1C1?平面 A1C1F, 所以直线 DE∥平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1A⊥平面 A1B1C1. 因为 A1C1?平面 A1B1C1, 所以 A1A⊥A1C1. 又 A1C1⊥A1B1, A1A?平面 ABB1A1, A1B1?平面 ABB1A1, A1A∩A1B1=A1, 所以 A1C1⊥平面 ABB1A1. 因为 B1D?平面 ABB1A1,所以 A1C1⊥B1D. 又 B1D⊥A1F, A1C1?平面 A1C1F, A1F?平面 A1C1F, A1C1∩A1F=A1, 所以 B1D⊥平面 A1C1F. 因为直线 B1D?平面 B1DE, 所以平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 18.(本小题满分 12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB =5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. 导学号 92180614

(1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

[解析] BC.

(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥

又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面 BCC1B1. ∵BC1?平面 BCC1B,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,又四边形 BCC1B1 为正方形. ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,

∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (3)∵DE∥AC1, ∴∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角. 1 5 在△CED 中,ED= AC1= , 2 2 1 5 1 CD= AB= ,CE= CB1=2 2, 2 2 2 ∴cos∠CED= 2 2 2 = . 5 5 2

2 2 ∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 . 5 19. (本小题满分 12 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三 视图的左视图、俯视图,在直观图中,N 是 BC 的中点,M 是 BD 的中点,左视图是直角梯 形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. 导学号 92180615

(1)求出该几何体的体积; (2)求证:AN∥平面 CME; (3)求证:平面 BDE⊥平面 BCD. [解析] (1)由题意可知,四棱锥 B-ACDE 中,

平面 ABC⊥平面 ACDE,AB⊥AC, ∴AB⊥平面 ACDE. 又 AC=AB=AE=2,CD=4, 则四棱锥 B-ACDE 的体积为 1 1 ?4+2?×2 V= SACDE· AB= × ×2=4. 3 3 2 (2)连接 MN,则 MN∥CD. ∵AE∥CD,∴MN∥AE. 1 又 MN=AE= CD,∴四边形 ANME 为平行四边形, 2 ∴AN∥EM. ∵AN?平面 CME,EM?平面 CME, ∴AN∥平面 CME. (3)∵AC=AB,N 是 BC 的中点, ∴AN⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCD. ∴AN⊥平面 BCD. 由(2)知:AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD. 又 EM?平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 BCD. 20.(本小题满分 12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所 示. 导学号 92180616 (1)请按字母 F、G、H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论; (3)证明:直线 DF⊥平面 BEG.

[解析]

(1)点 F、G、H 的位置如图所示.

(2)平面 BEC∥平面 ACH.证明如下: 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 BC∥FG,BC=FG, 又 FG∥EH,FG=EH,所以 BC∥EH,BC=EH, 于是四边形 BCEH 为平行四边形, 所以 BE∥CH, 又 CH?平面 ACH,BE?平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH, 同理,BG∥平面 ACH, 又 BE∩BG=B, 所以平面 BEG∥平面 ACH. (3)连接 FH 交 EG 于点 O,连接 BD. 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH⊥平面 EFGH, 因为 EG?平面 EFGH,所以 DH⊥EG, 又 EG⊥FH,EG∩FH=O, 所以 EG⊥平面 BFHD, 又 DF?平面 BFHD,所以 DF⊥EG, 同理 DF⊥BG, 又 EG∩BG=G, 所以 DF⊥平面 BEG. 21.(本小题满分 12 分)(2016· 浙江文)如图,在三棱台 ABC-DEF 中,平面 BCFE⊥平 面 ABC,∠ACB=90° ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. 导学号 92180617

(1)求证:BF⊥平面 ACFD; (2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值. [解析] (1)延长 AD、BE、CF 相交于一点 K,如图所示.

因为平面 BCFE⊥平面 ABC,且 AC⊥BC,所以 AC⊥平面 BCK,因此 BF⊥AC. 又因为 EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的 中点,则 BF⊥CK. 所以 BF⊥平面 ACFD. (2)因为 BF⊥平面 ACK,所以∠BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角. 3 在 Rt△BFD 中,BF= 3,DF= , 2 ∴BD= DF2+BF2= 得 cos∠BDF= 21 , 7 21 . 7 21 , 2

所以直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为

22. (本小题满分 12 分)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 已知 AB=3, AD=2,PA=2,PD=2 2,∠PAB=60° . 导学号 92180618

(1)求证:AD⊥平面 PAB; (2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值; (3)求二面角 P-BD-A 的正切值. [解析] (1)证明:在△PAD 中,∵PA=2,AD=2,PD=2 2,

∴PA2+AD2=PD2,∴AD⊥PD. 在矩形 ABCD 中,AD⊥AB. ∵PA∩AB=A,∴AD⊥平面 PAB. (2)∵BC∥AD,∴∠PCB 是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在△PAB 中,由余弦定理得 PB= PA2+AB2-2PA· AB· cos∠PAB= 7. 由(1)知 AD⊥平面 PAB,PB?平面 PAB, ∴AD⊥PB,∴BC⊥PB,

则△PBC 是直角三角形, 故 tan∠PCB= PB 7 = . BC 2 7 . 2

∴异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值为

(3)过点 P 作 PH⊥AB 于点 H,过点 H 作 HE⊥BD 于点 E,连结 PE. ∵AD⊥平面 PAB,PH?平面 ABCD,∴AD⊥PH. 又∵AD∩AB=A,∴PH⊥平面 ABCD. 又∵PH?平面 PHE,∴平面 PHE⊥平面 ABCD. 又∵平面 PHE∩平面 ABCD=HE,BD⊥HE, ∴BD⊥平面 PHE. 而 PE?平面 PHE,∴BD⊥PE, 故∠PEH 是二面角 P-BD-A 的平面角. 由题设可得,PH=PA· sin60° = 3, AH=PA· cos60° =1,BH=AB-AH=2, AD 4 BD= AB2+AD2= 13,HE= · BH= . BD 13 PH 39 ∴在 Rt△PHE 中,tan∠PEH= = . HE 4 ∴二面角 P-BD-A 的正切值为 39 . 4


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