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第二章 2.2 2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质


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2.2.2 对数函数及其性质 第 1 课时 对数函数的图象及性质

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1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的性质. 3.了解对数函数的简单应用.

重点:对数函数的概念、图象及性质. 难点:利用对数函数性质解题.

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01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

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[自主梳理] 一、对数函数的概念 函数 y=logax(a>0 且 a≠1) 叫作对数函数,其中 x 是自变量. 二、对数函数的图象和性质

0<a<1

a>1

图象

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0<a<1 定义域 值域 性质

a>1

(0,+∞) R
(1)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 (2)在(0,+∞)上是 减函数 (2)在(0,+∞)上是 增函数

三、反函数
x y = a 对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)和指数函数 互为反函数.

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[双基自测] 1.y=lg(x-2)的定义域是________.

答案:(2,+∞)
2.y=log2x 的图象与 y=log 1 x 的图象关于________对称.
2

答案:x 轴 3.y=logax+1 的图象过定点________. 答案:(1,1) 4.已知对数函数过点(4,2),则 f(x)的解析式为________. 答案:y=log2x

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探究一 [典例 1]

对数函数的概念

指出下列函数中哪些是对数函数?

(1)y=logax2(a>0 且 a≠1); (2)y=log2x-1; (3)y=2log7x; (4)y=logxa(x>0 且 x≠1); (5)y=log5x.

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[解析] 只有(5)为对数函数. (1)中真数不是自变量 x,∴不是对数函数; (2)中对数式后减 1,∴不是对数函数; (3)中 log7x 前的系数是 2,而不是 1, ∴不是对数函数; (4)中底数是自变量 x,而非常数 a,∴不是对数函数.

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对数函数的判断: 判断一个函数是否是对数函数, 必须严格符合形如 y=logax(a>0 且 a≠1)的形式, 即满足以下条件: (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数. (3)对数的真数仅有自变量 x.

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1.判断下列给出的函数是否是对数函数: (1)y=loga x(a>0,a≠1); (2)y=log(x+1)x; (3)y=log(-2)2x; (4)y=log2(x-3); (5)y=3log2x+1.

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解析:(1)中的真数是 x,而不是 x,故不是对数函数. (2)中的底数是 x+1,而不是常数,故不是对数函数. (3)中的底数是(-2)2=4>0,符合对数函数的定义,是对数函数. (4)中的真数是(x-3),而不是 x,故不是对数函数. (5)中 log2x 的系数是 3 而不是 1,后边的常数是 1 而不是 0,故不是对数函数.

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探究二

对数函数的图象

[典例 2] (1)函数 y=2+logax 的图象过定点________; (2)函数 y=loga(x-1)+2 的图象过定点________; 2x+1 (3)函数 y=loga (a>0 且 a≠1)的图象过定点________. x-1

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[解析]

(1)函数 y=logax 的图象过定点(1,0), 而 y=2+logax 的图象是由 y=logax

的图象向上平移 2 个单位得来,故过定点(1,2). (2)函数 y=loga(x-1)+2 的图象是由 y=logax 的图象先向右平移 1 个单位,再向 上平移 2 个单位,故过定点(2,2). 2x+1 2x+1 (3)令 =1 得 x=-2,故函数 y=loga 的图象过定点(-2,0). x- 1 x-1

[答案]

(1)(1,2) (2)(2,2)

(3)(-2,0)

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求函数 y=m+logaf(x)(a>0,且 a≠1)的图象过的定点时,只需令 f(x)=1 求出 x, 即得定点为(x,m).

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2x-3 2.函数 y=loga +1 过定点________. x- 1
2x-3 解析:令 =1,得 x=2. x-1

答案:(2,1)

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[典例 3]

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如图所示的曲线 C1、C2、C3、C4 是对数函数 y=logax

1 1 的图象,而 a∈{ , , 3,π},则图象 C1、C2、C3、C4 对应函 2 3 数的底数依次是________.

[解析]

解法一:由对数函数图象特征:图象在 y 轴右侧,x>1 时,图象顺时针

方向,底数逐渐增大,而 a>1 图象是上升的,0<a<1 图象是下降的,或者整体记 忆为:在 x 轴上方,按顺时针方向,底数逐渐增大,即 C3<C4<C1<C2,故答案为 1 1 C3= ,C4= ,C1= 3,C2=π. 3 2 1 1 故 C1、C2、C3、C4 对应的函数底数为 3、π、 、 . 3 2

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解法二:在图中作 y=1,分别与 C3、C4、C1、C2 交于 A,B,C,D 四点,则 A(a1,1),B(a2,1),C(a3,1),D(a4,1) (其中 a1,a2,a3,a4 分别为对数函数的底).由图可知 a1<a2<a3<a4. 1 1 ∴C3<C4<C1<C2 故 C1、C2、C3、C4 分别为 3、π、 、 . 3 2 1 1 [答案] 3 π 3 2

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根据对数函数图象判断底数大小的方法: 作直线 y=1 与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内, 自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.

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3.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只能是(

)

解析:∵a>1,∴y=logax 的图象是上升的;而 y=(1-a)x 的图象是下降的.

答案:B

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探究三 与对数函数有关的定义域问题

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[典例 4] 求下列函数的定义域. 1 (1)y=lg(x-2)+ ;(2)y=log(x+1)(16-4x); x-3 6-5x-x2 (3)y= . lg?x+3?

[解析]

? ?x-2>0, (1)由? ? ?x-3≠0,

得 x>2 且 x≠3,

∴定义域为(2,3)∪(3,+∞).

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?16-4x>0, ? (2)由?x+1>0, ?x+1≠1, ? ?x<4, ? 即?x>-1, ? x ≠ 0, ?

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解得-1<x<0 或 0<x<4.

∴定义域为(-1,0)∪(0,4). ?6-5x-x2≥0, ? (3)要使函数有意义,则有?x+3>0, ?lg?x+3?≠0, ? ?-6≤x≤1, ? 即?x>-3, ?x+3≠1, ? ?-6≤x≤1, ? 即?x>-3, ?x≠-2. ?

∴-3<x<-2 或-2<x≤1,

故函数的定义域为(-3,-2)∪(-2,1].

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求对数函数定义域应注意的问题: 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题 时,要注意对数函数的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于 0;若自 变量在底数上,应保证底数大于 0 且不等于 1.

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4.求下列函数的定义域: 1 (1)y= ; log2x (2)y= lg?x-3?; (3)y=log2(16-4x); (4)y=log(x-1)(3-x).
? ?x>0, 解析:(1)要使函数式有意义,需? ? ?log2x≠0,

解得 x>0,且 x≠1.

1 ∴函数 y= 的定义域是{x|x>0,且 x≠1}. log2x

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? ?x-3>0, (2)要使函数式有意义,需? ? ?lg?x-3?≥0, ? ?x-3>0, 即? ? ?x-3≥1,

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解得 x≥4.

∴所求函数的定义域是{x|x≥4}. (3)要使函数式有意义,需 16-4x>0,解得 x<2. ∴所求函数的定义域是{x|x<2}. ?3-x>0 ? (4)要使函数式有意义,需?x-1>0, ?x-1≠1 ?

解得 1<x<3,且 x≠2.

∴所求函数的定义域是{x|1<x<3,且 x≠2}.

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忽略对数函数的定义域而出错 [典例] 设函数 y=f(x),且 lg(lg y)=lg 3x+lg(3-x).

(1)求 f(x)的表达式及定义域; (2)求 f(x)的值域.

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[错解] (1)因为 lg(lg y)=lg 3x+lg(3-x), 所以 lg(lg y)=lg[3x· (3-x)], 即 lg y=3x(3-x), 所以 f(x)=10 (2)令
3x(3-x)

=10

?3 x 2+9x

(x∈R).

? 3?2 27 27 u=3x· (3-x)=-3?x-2? + ≤ , 4 4 ? ?
2

则函数 f(x)=10 -3 x +9 x 的值域为(0,10 ].

27 4

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?3x>0, ? (1)由题设知?3-x>0, ?lg y>0, ?
? ?0<x<3, 即? ? ?y>1.

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[正解]

因为 lg(lg y)=lg 3x+lg(3-x), 所以 lg(lg y)=lg[3x· (3-x)],即 lg y=3x· (3-x), 所以 f(x)=10
3x(3-x)

=10

?3 x 2+9x

,其中 0<x<3,即定义域为(0,3).

(2)令 u=-3x

2

? 3?2 27 +9x=-3?x-2? + ,0<x<3. 4 ? ?

27 27 因为 0<-3x2+9x≤ ,所以 1<y≤10 4 , 4 27 4

所以 f(x)的值域为(1,10 ].

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[易错警示]
错误原因 错解中没有考虑所给式子成立的 纠错心得 在解有关对数函数的关系式 的问题时,要注意对数函数 定义域的限制,否则将导致

条件,所求函数的定义域必须使
原式有意义,不能仅根据去掉对 数符号所得的解析式去确定函数 的定义域.

解集扩大,出现错误.

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[随堂训练] 1.已知函数 y=f(x)定义域为[2,4],则 y=f(log2x)的定义域为( A.(0,+∞) C.[2,4] B.[1,2] D.[4,16] )

解析:因为函数 y=f(x)定义域为[2,4],所以 2≤log2x≤4,所以 4≤x≤16.

答案:D

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2.函数 y=log2x 在[1,2]上的值域是________.
解析:y=log2x 是增函数, ∴log21≤log2x≤log22, ∴0≤y≤1, ∴y=log2x 在[1,2]上的值域为[0,1].

答案:[0,1]

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3.函数 f(x)=loga(x+2)+3(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点________.

解析:由 x+2=1 得 x=-1, ∴f(-1)=loga(-1+2)+3=3, ∴函数图象恒过定点(-1,3).
答案:(-1,3)

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