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2012届高三数学第一轮复习 第2编 6指数与指数函数课件 新人教B版1_图文

学案6 指数与指数函数

考纲解读 考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究

? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点1 考点2 考点3 考点4

考 纲 解 读

(1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的

含义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数 函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10, , 指数函数的图象. 的

指数函数

(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.
1 2 1 3

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考 向 预 测
1.对指数幂运算的考查虽然鲜见单独命题,但是在考 查指数函数时总有幂的运算,是学生基本运算能力的重 要体现,是历年高考的内容.对于该部分内容的复习,要注 意算法的优化,保证考试中运算迅速准确. 2.对指数函数的考查,大多以基本函数的性质为依托, 结合运算,考查函数的图象、性质以及灵活运用函数性质 进行大小比较,方程、不等式求解等.有时还需要利用指数 函数的基本性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等

性质.要熟练掌握指数幂的运算法则,明确算理,能对常 见的指数型函数进行变形处理.
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a

m n

1.根式和正数的分数指数幂 n m (n a )m = (1) = a 1 为既约分数). m (2) a
m n

(a>0,m,n∈N+,且
m n
n

m n

=

an

(a>0,m,n∈N+,且 0 ,即

为既约分数). =0.

(3)0的任何次方根都是

0

(4) (n a )n =

a

(n∈N+).
;当n为偶数时,(n an ) 返回目录

(5)当n为奇数时,(n an ) = a |a| = .

2.有理指数幂的运算性质 (1)ar· s= ar+s (a>0,r,s∈Q). a (2)(ar)s= (3)(ab)r= ars (a>0,r,s∈Q). arbr (a>0,b>0,r∈Q). ar-s (a>0,r,s∈Q). 指数函数 ,

(4)ar÷as=
3.指数函数

一般地,函数y=ax(a>0,a≠1,x∈R)叫做 其中x是自变量.

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4.指数函数的图象和性质
函 数 y=ax(a>0,a≠1)

0<a<1


a>1



上方
图 在x轴 ,过定点

(0,1)
.

象特


当x逐渐增大时, y逐渐减小

当x逐渐增大时, y逐渐增大

R 定义域: (0,+∞) 减函数
单调性 值域:

增函数 y=1
0<y<1 , y>1 当x<0时,
当x>0时,

y>1 值域:当x=0时
性 质

函数值
变化规律 x<0,



0<y<1
;

; . 返回目录

2.有理指数幂
(1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是 ②正数的负分数指数幂是 1 1
m n

a

=

n

am

(a>0,m,n∈N*,且n>1).

a

?

m n

=

a

m n

=

n

a m (a>0,m,n∈N*,且n>1).

③0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂没有意义. 2)有理指数幂的运算性质: ①aras= ②(ar)s=

a r ?s
ars

(a>0,r,s∈Q). (a>0,r,s∈Q).

③(ab)r=

ar b r

(a>0,b>0,r∈Q).
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a>1 3.指数函数的图象与性质 图 象 定义 域

0<a<1




R
(1)过定点 性 (2)当x>0时, 当x<0时 (3)在(-∞,+∞)上 是 ,

(0,+∞)
;

.



(0,1 )当x<0时
是 .

(2)当x>0时,

; ,

y>1 0<y<1 .

(3)在(-∞,+∞)上

0<y<1 y>1

增函数

减函数

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·b ) ·a ·b 考点1 (a指数幂的化简与求值 (1) ;
-1 6

2 3

?

1 2

1 2

1 3

a·b5

化简下列各式(其中各字母均为正数):

? 5 (2) a 3 ·b- 2 ·(-3a 2 b -1 ) ? (4a3 ·b- 3 ) 2 . 6

1

1

2

1

? 7? ? 10 ? (3)? 2 ? ? 0.1? 2 ? ? 2 ? ? 9? ? 27 ?

1 2

?

2 3

? 3? 0 ?

37 48

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【分析】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂、 先化为分数指数幂以便用法则运算;(2)(3)题目中 给出的是分数指数幂,先看其是否符合运算法则的条件, 若符合用法则进行下去,若不符合应再创设条件去求.
1 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? (a ? b ? 1 ) ? b a ?b ?a b 1 3 2 6 2 3 6 (1) 原式= ? ?a ?b ? 1 5 6 5 a a?b 6 6 a ?b 2 3 ? 1 2 1 2 ? 1 3 1 2 ? 1 2 1 3

? 5 ? 6 ?3 (2)原式= 5 ? 6 ? 3 3 ?3 2 3 ? a b ? (4a b ) ? ? a b ? (a b 2 ) 2 4 1 3 5 ?2 ?2 5 1 5 ab ?? a b ?? ? ?? 3 4 4 ab 4ab2

1

2

1

1

1

3

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(3)原式=

1 37 ? 25 ? 2 ? 64 ? 3 ?? ?3? ? ? ? ? 2 0.1 48 ? 9 ? ? 27 ? 5 9 37 ? ? 1 0 0? ?3? ? 100 3 16 48

1

?

2

(1)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化 根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算 顺序问题. (2)对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用 根式的形式表示;如果题目以分数指数幂形式给出,则结 果用分数指数幂的形式表示. (3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分 母又含有负指数. 返回目录

化简下列各式:1
(1 )( .0 2 7 ) 0 ? 1? (2 ) ? ? ? 4?
1 2 1 3

- (?

?

?

7

)

?2

4 a b-1

0.1? 2 a 3 b ? 3

?

?

7 ?2 ? ??2 ? -( 9? ?

1

2 - 1 )0 ;

3

?

1 2

;

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27 ? ? 25 ? 2? 1 ? 【解析】 (1)原式= ? ? ? ? ?? 1? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1000? ?7? ? 9 ? 10 5 ? ? 49 ? ? 1 ? ?45 3 3
(2)原式=
3 3 3 3 ? ? 4 ?4 ?a2 ?a 2 ?b2 ?b 2 100 4 0 0 4 ? ?a ?b ? 25 25 1 2 3 2

?

1 3

?2

1 2

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考点2

1 指数函数的图象 y ?( ) . 2
|x ? 2|

已知函数
(1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出,当x取什么值时有最值. 【分析】先去绝对值符号,将函数写成分段函数 的形式 ,再画出其图象, 然后根据图象判断其单调

性、最值.
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名师伴你行

【解析】(1)由函数解析式可得 (x≥-2) (x<-2), 其图象分成两部分:

? 1 ( x?2) 1 |x ? 2| ?( ) y ?( ) ? ? 2 2 ?2 x ? 2 ?

1 ( x ?2) 一部分是y= ( ) (x≥-2)的图象,由下列变换可得 2
到:

1 y= ( ) x 2

向左平移2个单位

y= ( )( x ? 2 ) ;

1 2

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另一部分是y=2x+2(x<-2)的图象,由下列变换可得到:
y ?(

y=2x

向左平移2个单位

1 |x ? 2| ) 2

y=2x+2, 的图象.

如图,实线部分为函数

(2)由图象观察知,函数在(-∞,-2]上 是增函数,在 (-2,+∞) 上是减函数. (3)由图象观察知 ,当 x= 1 y ? ( )|x ? 2| 有 -2时, 函数 2 最大值,最大值为1,没有

最小值.
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(1)根据函数与基本函数关系,利用图象变换(平

移、伸缩、对称) 作图是作函数图象的常用方法.
(2) 本例也可以不考虑去掉绝对值符号 ,而是直接 用图象变换作出,作法如下:

1 y ? ( )x 2

保留x≥0部分,将它沿y轴翻折得x<0的部分

1 x y?( ) 2

向左平移2个单位

1 x?2 y ?( ) . 2

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画出函数y=2|x-1|的图象,并根据图象指出此函数的一
些重要性质. 2x-1,x≥1, y=2|x-1| =
1 x ?1 ( ) ,x<1. 2

?

其图象由两部分对接而成,一是把y=2x向右平移1 1 x 个单位后取x ≥1的部分;二是把y= ( ) 的图象向右 2 平移1个单位后取x<1的部分,对接处的公共点是(1,1), 图象如图,作法略. 返回目录

【解析】由图象可知,函数有三个重要性质:①单调性:在(-∞,1] 上 单 调 递 减 , 在[1,+∞)上单调
递增;②对称性:函 数 图象关于直线 x=1对称;③函数 定义域为R,值域 为 [ 1 , + ∞ ) .

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考点3

指数函数的性质

a (a x ? a ? x ) (a>0且a≠1). 已知f(x)= 2 a ?1
(1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.

【分析】 (1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定
义判断;(2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还可 用导数解决;(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值. 返回目录

【解析】 (1)函数定义域为R,关于原点对称. a (a x ? a ? x ) =-f(x), 又∵f(-x)= 2 a ?1 ∴f(x)为奇函数. (2)当a>1时,a2-1>0, y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数, ∴f(x)为增函数. 当0<a<1时,a2-1<0, y=ax为减函数,y=a-x为增函数, 从而y=ax-a-x为减函数, ∴f(x)为增函数.

故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.
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a (3)由(2)知f(x)在R上是增函数, (a ? a)
?1

∴在区间[-1,1]上为增函数.

?1 a 1 ? a2 ? ? ? ?1 a2 ? 1 a a
2

∴f(-1)≤f(x)≤f(1).
∴f(x)min=f(-1)=

∴要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1.

故b的取值范围是(-∞,-1].

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1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法: (1)函数y=a f(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同; (2)先确定f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性, 可确定y=a f(x)的值域. 2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤:

(1)求复合函数的定义域;
(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; (3)分层逐一求解函数的单调性;

(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).
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a ? 2x ? 1 ? a 2x ? 1

若函数y= (1)求a的值; (2)求函数的定义域;

为奇函数.

(3)求函数的值域;
(4)讨论函数的单调性.

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1 a ? 2x ? 1 ? a 【解析】∵函数y= , ∴y= a ? x x 2 ?1 2 ?1 (1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0, 1 1 ?a? x 即 a ? ?x =0, 2 ?1 x 2 ?1 1? 2 ∴ =0, 2a ? x 1? 2 1 ∴a=- . 2 1 1 (2)∵y= ? ? x , ∴2x-1≠0,即x≠0. 2 2 ?1 1 1 ? ? x ∴函数y= 的定义域为{x|x≠0}. 2 2 ?1

.

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?

1 1 ? ? 2 2x ? 1

1 2

?

1 1 1 ? ? ? ? 2 2x ? 1 2 1 1 2 2 1 1 1 ? ? ? 2 2x ? 1 2

y ? y ?
1 2

(3)解法一:
y ?
1 2 1 2 1 2

y ?

1 2 1 2

1 2 1 2

∵x≠0,∴2
x-1>-1.

∵2x1≠0,∴0>2
x-1>-1或

2x-1>0.
∴ 或 , 返回目录

1 2x2 ? 1

?

1 2 x1 ? 1
2 x1

?

( 2 x1
2

2 x1 ? 2x2 ? 1) (2 x 2

? 1 )

(4)当x>0时,设0<x1<x2,则
2
x

2

x1

?

2

x

2

2

x1

? 1
?

2x2

? 1

?

1 2

1

2

x

? 1

?

1 2

?

1

2

x

? 1

y1y2= . ∵0<x1<x2,∴1< ∴ <0, < . >0,

>0.
∴y1-y2<0,因此y= 在(0,+∞)上单调递增. 返回目录

考点4

10 ? 10 指数函数性质的综合应用 10 ? 10
x x ?x ?x

已知f(x)=

.

(1)判断函数的奇偶性; (2)证明:f(x)是定义域内的增函数; (3)求f(x)的值域. 【分析】本题是一道综合题,需利用函数的有关性

质,如单调性、奇偶性等知识来解决. 【解析】(1)∵f(x)的定义域为R,
10? x ? 10x 且f(-x)= ?x x = - f(x), 10 ? 10

∴f(x)是奇函数. 返回目录

1 0x ? 1 0? x 1 02 x ? 1 2 ? ? 1? . x ?x 2x 2x 10 ? 10 10 ?1 10 ?1

(2)证明:证法一:f(x)=

令x2>x1,则f(x2)-f(x1) ? (1 ?

2
2 x2

10 ? 1 10 102 x2 ? 102 x1 ? 2? (102 x2 ? 1)(102 x1 ? 1)

) ? (1 ?

2
2 x1

?1

)

当x2>x1时, 102 x2 ? 102 x1 >0. 又∵

102 x1 ? 1 >0, 102 x2 ? 1 >0,

故当x2>x1时,f(x2)-f(x1)>0, 即f(x2)>f(x1),∴f(x)是增函数.

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证法二:考虑复合函数的增减性.
f(x)= ∵y1=10x为增函数, ∴y2=102x+1为增函数,y3= y4=2 10
2x

1 0x ? 1 0? x 2 ? 1? . x ?x 2x 10 ? 10 10 ?1

2 10
2x

?1

为减函数,
2

?1 10 ? 1 10x ? 10? x 在定义域内是增函数. ∴f(x)= x 10 ? 10? x 10x ? 10? x 1? y 2x= (3)令y=f(x),由y= ,解得10 , x ?x 1? y 10 ? 10
2x

为增函数,f(x)= 1 ?

为增函数.

∵102x>0,∴-1<y<1.
即f(x)的值域为(-1,1). 返回目录

记住下列函数的增减性,对解 (证) 题是十分有用 的:

(1)若f(x)为增(减)函数,则 -f(x) 为减(增)函数 ;
(2)若f(x)为增(减)函数,则f(x)+k 为增(减)函数; (3)若f(x),g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数.

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2x 4x ? 1

已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈ (0,1)时,f(x)= . (1)求f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.

【解析】(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).
2? x 2x ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)= ? ? x ? ? x . 4 ?1 4 ?1

由f(0)=f(-0)=-f(0), 且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0. 返回目录

∴在区间[-1,1]上,有f(x)=

?

2x 4x ? 1
2x ? x 4 ?1

,x∈(0,1)

,x∈(-1,0)
x∈{-1,0,1}.

0, .

(2)证明:当x∈(0,1)时,f(x)= 设0<x1<x2<1,

2x 4x ? 1

2 x1 2 x2 ( 2 x2 ? 2 x1 )(2 x1 ? x2 ? 1) 则f(x1)-f(x2)= x ? x2 ? . x1 x2 1 4 ?1 4 ?1 (4 ? 1)(4 ? 1)

∵0<x1<x2<1,

2 x 2- 2 x 2 >0. 2 x1 ? x2 -1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴
故f(x)在(0,1)上单调递减. 返回目录

1.单调性是指数函数的重要性质, 特别是函数图象 的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线 . 当0<a<1 时, x→+∞,y→0;当a>1时,x→-∞,y→0;当a>1时,a的值 越大, 图象越靠近y轴,递增的速度越快;当0<a<1时, a的值越
1 a

小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.
2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键 点:(1,a),(0,1),(-1, ). 3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中, 要注意运用方程的观点处理问题 ,通过解方程(组) 来求值,或用换元法转化为方程来求解. 返回目录

4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质受a 的 影响,要分a>1与0<a<1来研究. 5.对可化为a2x+b· x+c=0或a2x+b· x+c≥0(≤0) 的指 a a

数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后
“新元”的范围.

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