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人教A版高中数学选修2-2练习:第二章 2.1 2.1.1 合情推理 Word版含解析

中小学精品资料 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.下列推理是归纳推理的是( ) A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=πab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析:由归纳推理的定义知 B 是归纳推理,故应选 B. 答案:B 2.数列{an}:2,5,11,20,x,47,…中的 x 等于( A.28 C.33 B.32 D.27 ) 解析:因为 5-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3,猜测 x-20=3×4,47-x= 3×5,推知 x=32.故应选 B. 答案:B 3.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○…, 按这种规律往下排,那么第 36 个圆的颜色应是( A.白色 C.白色可能性大 B.黑色 D.黑色可能性大 ) 解析:由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期为 5 的三白二 黑的圆列,因为 36÷ 5=7 余 1,所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相同,即白色. 答案:A 4.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上 的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)= ( A.f(x) C.g(x) ) B.-f(x) D.-g(x) 解析: 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容, 由例子可看出偶函数求导后都变成了 奇函数,∴g(-x)=-g(x),选 D. 答案:D 5.n 个连续自然数按规律排列如下表: 01234567891011… 根据规律,从 2 010 到 2 012 箭头的方向依次为( ) 中小学精品资料 A.↓→ C.↑→ B.→↑ D.→↓ 解析:观察题图的规律知:位置相同的数字都是以 4 为公差的等差数列,由 2,3,4 可知 从 2 010 到 2 012 为↑→,故应选 C. 答案:C 6.半径为 r 的圆的面积 S(r)=πr2,周长 C(r)=2πr,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则 (πr2)′=2πr①, ①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量②, 请你写出类似于①的式子:___________________________________________, ②式可以用语言叙述为:_______________________________________________. 4 4 解析:半径为 R 的球的体积 V(R)= πR3,表面积 S(R)=4πR2,则( πR3)′=4πR2. 3 3 4 答案:( πR3)′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 3 7.观察下列等式: 12=1; 12-22=-3; 12-22+32=6; 12-22+32-42=-10; …… 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析:观察等号左边的规律发现,左边的项数依次加 1,故第 n 个等式左边有 n 项,每 项所含的底数的绝对值也增加 1,依次为 1,2,3,…,n,指数都是 2,符号成正负交替出现, 可以用(-1)n +1 表示,等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和,故等式的右边 n?n+1? + + + 可以表示为(-1)n 1· ,∴第 n 个式子可为 12-22+32-42+…+(-1)n 1· n2=(-1)n 2 1 n?n+1? · (n∈N*). 2 + + n?n+1? 答案:12-22+32-42+…+(-1)n 1n2=(-1)n 1· (n∈N*) 2 x 8.设函数 f(x)= (x>0), x+2 观察:f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x))= x , x+2 x , 3x+4 中小学精品资料 f3(x)=f(f2(x))= f4(x)=f(f3(x))= …… x , 7x+8 x , 15x+16 根据以上事实,由归纳推理可得:当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 解析:根据题意知,分子都是 x,分母中的常数项依次是 2,4,8, 16,…可知 fn(x)的分母 x 中常数项为 2n,分母中 x 的系数为 2n-1,故 fn(x)= n . ?2 -1?x+2n 答案: x ?2 -1?x+2n n 9.证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论, π 2cos = 2, 4 π 2cos = 8 π 2cos = 16 …… π 2 证明:2cos =2· = 2, 4 2 π 2cos =2 8 π 2cos =2 16 = … 观察上述等式可以发现,第 n 个等式右端有 n 个根号,n 个 2,左端“角”的分母为 π π 22,23,24,…,故第 n 个等式的左端应为 2cos n+1,由此可归纳出一般性的结论为:2cos n+1= 2 2 π 1+cos 4 =2 2 π 1+cos 8 =2 2 1+ 2 2 2 = 2+ 2, 2+ 2+ 2, 2+ 2, 1 1+ 2+ 2 2 2 2+ 2+ 2 10.点 P? 2 2 2 2? 在圆 C:x2+y2=1 上,经过点 P 的圆的切线方程为 x+ y=1, 2 2 ?2,2? 1 1? 又点 Q(2,1)在圆 C 外部,容易证明直线 2x+y=1 与圆相交,点 R? ?2,2?在圆 C 的内部.直 中小学精品资料 1 1 线 x+ y=1 与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点 P(a,b)与圆 x2

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