[配套K12]2019高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第7课时 空间向量的应用(一) 平行与垂直练习 理

教育配套资料 K12 第 7 课时 空间向量的应用(一) 平行与垂直 1.(2018·广西桂林一中期中)若 a=(2,3,m),b=(2n,6,8),且 a,b 为共线向量,则 m+n 的值为( ) 5 A.7 B.2 C.6 D.8 答案 C 解析 由 a,b 2 3m 为共线向量,得2n=6=8,解得 m=4,n=2,则 m+n=6.故选 C. 2.已知向量 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ).若 a,b,c 三个向量共面,则实数 λ 等 于( ) A.672 B.673 60 C. 7 65 D. 7 答案 D 解析 ?? ??7=2t-μ , 由题意,得 c=ta+μ b=(2t-μ ,-t+4μ ,3t-2μ ),所以?5=-t+4μ ,解得 ??? ??λ =3t-2μ , 33 t= 7 , 17 μ = 7 ,故选 λ =675. D. 3.若平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为(2,-1,0),则平面 α 和平面 β 的位置 关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 答案 C 解析 由(1,2,0)·(2,-1,0)=1×2+2×(-1)+0×0=0,知两平面的法向量互相垂直,所以两平面互 相垂直. 4.已知平面 α 内有一个点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量是 n=(6,-3,6),则下列点 P 在平面 α 内的是( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 答案 A 解析 ∵n=(6,-3,6)是平面 α 的法向量, ∴n⊥→MP,在选项 A 中,→MP=(1,4,1),∴n·→MP=0. 5.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是( ) 教育配套资料 K12 教育配套资料 K12 A.( 33, 33,- 33) B.( 33,- 33, 33) C.(- 33, 33, 33) D.(- 33,- 33,- 33) 答案 D 解析 A→B=(-1,1,0),→AC=(-1,0,1), 设平面 ABC 的一个法向量 n=(x,y,z),∴???-x+y=0, ??-x+z=0. 令 x=1,则 y=1,z=1,∴n=(1,1,1). n 333 单位法向量为:±|n|=±( 3 , 3 , 3 ). 6.已知→AB=(1,5,-2),→BC=(3,1,z),若A→B⊥B→C,B→P=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y, z 分别为( ) A.373,-175,4 B.470,-175,4 C.470,-2,4 D.4,470,-15 答案 B 解析 ∵→AB⊥→BC,∴A→B·B→C=0,即 3+5-2z=0,得 z=4,又 BP⊥平面 ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,又∵→BC= ?? (3,1,4),则???(x-1)+5y+6=0, 解得 ??? ??3(x-1)+y-12=0, x=470, y=-175. 7.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果A→B=(2,-1,-4),A→D=(4,2,0),→AP=(-1,2, -1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③A→P是平面 ABCD 的法向量;④→AP∥→BD.其中正确的是________. 答案 ①②③ 解析 ∵→AB·→AP=0,→AD·→AP=0, ∴AB⊥AP,AD⊥AP.则①②正确.从而③正确,又→BD=→AD-→AB=(4,2,0)-(2,-1,-4)=(2,3,4).∵-21 ≠23.∴A→P与B→D不平行.∴④不正确. 8.(2018·甘肃兰州质检)如图,在直角梯形 ABCD 中,BC⊥DC,AE⊥DC,且 E 为 CD 的中点,M,N 分别是 AD, BE 的中点,将三角形 ADE 沿 AE 折起,则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的序号) ①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MN∥平面 DEC; 教育配套资料 K12 教育配套资料 K12 ②不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MN⊥AE; ③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MN∥AB; ④在折起过程中,一定存在某个位置,使 EC⊥AD. 答案 ①②④ 解析 不妨设 BC=a,CE=ED=b.折起后∠CED=θ (0<θ <π ).以 E 为原点,EA,EC 分别为 x 轴,y 轴. 则 A(a,0,0),C(0,b,0),D(0,bcosθ ,bsinθ ). ∴M(a2,b2cosθ ,b2sinθ ),N(a2,b2,0). ∴M→N=(0,b2-b2cosθ ,-b2sinθ ),→EA=(a,0,0),→AB=(0,b,0),A→D=(-a,bcosθ ,bsinθ ),E→C=(0, b,0). ∵M→N·E→A=0,∴MN⊥AE,②对,E→A是平面 CED 的法向量. ∴MN∥平面 DEC,①对,MN 与 AB 异面,③不对.当 θ =π2 时,→AD·→EC=0,∴④对. 综上,①②④正确. 9.如右图所示,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的中点.求证:AB1⊥平面 A1BD. 答案 略 证明 方法一:设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理,则存在实数 λ ,μ ,使 m =λ B→A1+μ →BD. 令B→B1=a,→BC=b,B→A=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,以它们为空 间的一组基底,则B→A1=a+c,→BD=12a+b

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