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【金版学案】高中数学人教A版选修1-1练习:3.4生活中的优化问题举例(含答案解析)

第三章 3.4 导数及其应用 生活中的优化问题举例 A 级 基础巩固 一、选择题 1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的 面积之和的最小值是( 3 A. 3 cm2 2 C.3 2 cm2 ) B.4 cm2 D.2 3 cm2 解析:设一个正三角形的边长为 x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两 个正三角形的面积之和为 S= 答案:D 2.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 x3 元,若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系是 R(x)=- +400x,0≤x≤390,则当总利 900 润最大时,每年生产的产品单位数是( A.150 B.200 C.250 D.300 x3 解析:由题意可得总利润 P(x)=- +300x-20 000,0≤x≤390,由 P′(x)=0,得 x 900 =300.当 0≤x<300 时,P′(x)>0;当 300<x≤390 时,P′(x)<0,所以当 x=300 时,P(x) 最大. 答案:D 3.将 8 分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为( A.2 和 6 C.3 和 5 B.4 和 4 D.以上都不对 ) ) 3 2 3 3 x + (4-x)2= [(x-2)2+4]≥2 3(cm2). 4 4 2 解析:设一个数为 x,则另一个数为 8-x,其立方和 y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2 且 0≤x≤8,y′=48x-192.令 y′=0,即 48x-192=0,解得 x=4.当 0≤x<4 时,y′<0;当 4<x≤8 时,y′>0,所以当 x=4 时,y 取得极小值,也是最小值. 答案:B 4.做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m 解析:设底面边长为 x m,高为 h m.则有 x2h=256, ) 256 所以 h= 2 .所用材料的面积设为 S m2, x 256×4 2 256 则有 S=4x· h+x2=4x· 2 +x2= +x .S′= x x 256× 4 256 2x- 2 ,令 S′=0 得 x=8,因此 h= =4(m). x 64 答案:C 5.如果圆柱截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为( l ?3 A.? ?6? π l ?3 C.? ?4? π l ?3 B.? ?3? π 1 l ?3 D. ? π 4?4? ) 解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,则 4r+2h=l, l-4r l? l 所以 h= ,V=πr2h= πr2-2πr3? ?0<r<4?. 2 2 则 V′=lπr-6πr2, l 令 V′=0,得 r=0 或 r= ,而 r>0, 6 l 所以 r= 是其唯一的极值点. 6 l ?3 l 所以 当 r= 时,V 取得最大值,最大值为? ?6? π. 6 答案:A 二、填空题 6.某商品每件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件, 当每件商品的定价为________元时,利润最大. 解析: 由题意知, 利润 S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6 000(30≤x≤200), 所以 S′(x) =-2x+230, 令 S′(x)=0, 解得 x=115.当 30≤x<115 时, S′(x)>0; 当 115<x≤200 时, S′ (x)<0,所以当 x=115 时,利润 S(x)取得极大值,也是最大值. 答案:115 7.已知某矩形广场面积为 4 万平方米,则其周长至少为________米. 40 000? 40 000 解析:设广场的长为 x 米,则宽为 米,于是其周长为 y=2? ?x+ x ?(x>0),所 x 40 000? 以 y′=2? ?1- x2 ?, 令 y′=0,解得 x=200(x=-200 舍去),这时 y=800. 当 0<x<200 时,y′<0;当 x>200 时,y′>0.所以当 x=200 时,y 取得最小值,故 其周长至少为 800 米. 答案:800 8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π,且用料最省,则圆柱的底面半径 为________. 解析:设圆柱的底面半径 R,母线长为 L,则 V=πR2L=27π,所以 L= 27 .要使用料最 R2 27 54π 省,只需使圆柱表面积最小.S 表=πR2+2πRL=πR2+2π· ,令 S′表=2πR- 2 =0,得 R R R =3,即当 R=3 时,S 表最小. 答案:3 三、解答题 9.如图, 要设计一张矩形广告, 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分),这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽 度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小? 解:设广告的高和宽分别为 x cm,y cm, y-25 则每栏的高和宽分别为 x-20, ,其中 x>20,y>25. 2 两栏面积之和为 2(x-20)· 由此得 y= 18 000 +25. x-20 y-25 =18 000, 2 18 000 18 000x 广告的面积 S=xy=x? x-20 +25?= ? ? x-20 +25x, 所以 S′= 18 000[(x-20)-x] -360 000 +25= +25. (x-20)2 (x-20)2 令 S′>0 得 x>140,令 S′<0 得 20<x<140. 所以 函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减,所以 S(x)的最小值为 S(140). 当 x=140 时,y=175. 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24

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