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2-8 幂函数及基本初等函数的应用(共45张)


高考调研

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第 8 课时

幂函数及基本初等函数的应用

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请注意!

从 近 几 年 的 新 课 标 高 考 试 题 来 看 , 幂 函 数 的 内 容 要 求 较 低 , 只要求掌握简单幂函数的图像与性质.

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1.幂 函 数 的 定 义 函 数 y=xα 叫 做 幂 函 数 , 其 中 2.幂 函 数 的 图 像 (如 下 图 ) x是 自 变 量 , α是 常 数 .

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高考调研 3.幂 函 数 的 性 质
1 ( ) 所 有 的 幂 函 数 在

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(0, + ∞)有 定 义 , 并 且 图 像 都 通 过 点

(1,1) .
2 ( ) 如 果 α>0, 那 么 幂 函 数 的 图 像 过 原 点 , 并 且 在 区 间 ∞)上 为 增函数 . 3 ( ) 如 果 α<0, 那 么 幂 函 数 图 像 在 区 间 第 一 象 限 内 , 当 逼 近 y轴 , 当 x从 右 边 趋 向 于 原 点 时 , 图 像 在 x趋 向 于 + ∞时 , 图 像 在 (0, +∞)上 是 减函数. 在 y轴 右 方 无 限 地 x轴 上 方 无 限 地 逼 近 x 轴. [0,+

4 ( ) 当α为 奇 数 时 , 幂 函 数 为 数 为 偶函数 .
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奇函数 ,当 α 为 偶 数 时 , 幂 函

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1. 下 列 命 题 正 确 的 是 A.y=x0 的 图 像 是 一 条 直 线 B. 幂 函 数 的 图 像 都 经 过 点

(

)

0 ) ( ,

,1 ) ( ,

C. 幂 函 数 的 图 像 不 可 能 出 现 在 第 四 象 限 D. 若 幂 函 数 y=xn 是 奇 函 数 , 则 y=xn 是 增 函 数

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答案

C

解析 A 中 y=x0 的 图 像 是 一 条 直 线 去 掉 了 =x-1 不过0 ) ( , 点;

1 0 ) ( ,

点,B 中 y

D 中 y=x-1 是(-∞,0),(0,+∞)上的减函数.

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2.当 x∈(1,+∞)时 , 下 列 函 数 中 图 像 全 在 直 线 的 增 函 数 是 A. C.y=x3
答案 A

y=x 下 方

(

) B.y=x2 D.y=x-1

解析 下 方 , 排 除

y=x2,y=x3 在 x∈(1,+∞)时 , 图 像 不 在 直 线

y=x

B、C,而 y=x-1 是(-∞,0),(0,+∞)上的减函数.

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3.下列四个数中最大的是( A. 2 n ) l ( C.ln 2
答案 D
2

)

2

B.n l ( 2 ) D.2 n l

解析 0 < n 2 l< 0 1 n < , 2 l ( ) 1 ln 2=2n 2 l< n 2 l.

< n 2 l< 1

, n 2 l < ( ) 0



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4. 若 偶 函 数 1 < ) fg l ( x) 的 解 集 是( A.1 0 ( ,)

f(x) 在 ( -∞, 0 ) 上 单 调 递 减 , 则 不 等 式 ) 1 B.(1 0 ) 0 ,1 1 D.(0,1 ( 0 , + ∞) 0 )∪1

f( -

1 C.(1 + ∞) 0,
答案 D

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5.函数

的图像可能是(

)

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答案

C

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例1 如 图 , 为 幂 函 数 C3,C4 的大小关系为( A.C1>C2>C3>C4 B.C2>C1>C4>C3 C.C1>C2>C4>C3 D.C1>C4>C3>C2 )

y=xn 在 第 一 象 限 的 图 像 , 则

C1,C2,

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【解析】 观察图形可知, C1>0, C2>0, 且 C1>1, 而 0<C2<1, C3<0,C4<0,且 C3<C4.
【答案】 C

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探究 1 幂函数的图像一定会出现在第一象限,一定不会出 现 在 第 四 象 限 , 是 否 在 第 二 、 三 象 限 内 出 现 , 要 看 奇 偶 性 ; 在 1 0 ) ( ,

上幂函数中指数愈大,函数图像愈靠近 x 轴(简记“指大图低”) 在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图像越远离 x 轴.

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思 考 题 1 像 , 则 ( )

如 图 是 幂 函 数

y=xm 和 y=xn 在 第 一 象 限 内 的 图

A. -1 < n< 0 < m<1 B.n<-0 1 < , m<1

C. -1 < n<0,m>1 D.n<-1,m>1

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【 解 析 】 故 选 A.

借 助 y=x, y=x 1 的 图 像 易 知 , -


1 < n< 0 < ,

m<1,

【答案】

A

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例2

比 较 下 列 各 组 数 的 大 小 .

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【答案】

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探 究 2

利 用 幂 函 数 的 单 调 性 比 较 大 小 要 注 意 以 下 几 点 :

1 ( ) 将 要 比 较 的 两 个 数 都 写 成 同 一 个 函 数 的 函 数 值 的 形 式 . 2 ( ) 构 造 的 幂 函 数 , 要 分 析 其 单 调 性 . 3 ( ) 注 意 两 个 函 数 值 要 在 同 一 个 单 调 区 间 上 取 到 . 4 ( ) 若 直 接 不 易 比 较 大 小 , 可 构 造 中 间 值 , 间 接 比 较 其 大 小 .

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思 考 题

2

比 较 下 列 各 组 数 的 大 小 .

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【思路】

先根据条件确定 m 的值,再利用幂函数的单调

性求 a 的取值范围.

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【 解 析 】

∵函 数 在 (0, + ∞)上 单 调 递 减 , 1 < m< 3 .

∴m2-2m-3 < 0 , 解 得 - ∵m∈N+,∴m=2 1 . ,

而 22-2×2-3= - 3为 奇 数 , ∴m=1 .

12-2×1-3= - 4为 偶 数 .

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2 3 【答案】 {a|a<-1 或3<a<2}

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探究 3 1 ( ) 利 用 幂 函 数 的 奇 偶 性 和 单 调 性 解 决 幂 函 数 有 关 综 合 题 , 是 一 类 比 较 常 见 的 综 合 问 题 , 考 这 类 问 题 通 常 借 助 幂 函 数 的 图 像 与 性 质 , 并 注 意 用 分 类 讨 论 思 想 解 决 . 2 ( ) f(x)为 奇 函 数 f ( x) 为 偶 函 数 ?f(x)的 图 像 关 于 原 点 对 称 ; ?f(x)的 图 像 关 于 y轴 对 称 .

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思考题 3

已知幂函数

在(-∞,0)上是增函数,

在(0,+∞)上是减函数,那么最小的正整数 a=________.
【答案】 3

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例 4 将下列各数按从大到小的顺序排列: o g l 3,o g l
21

o g l 89,

o g l 79,

1 2

13 1π 9,(2) ,(2) . 2

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【解析】 o g l

21
2

9=(-o g l

2 9) =o g l 2

2 29,

在同一坐标系内作出 y=o g l 图 所 示 , 当 9 > o g l > o g l 79 即o g l x=9 时 , 由 图 像 知 > 1 . 89
21
2

y=o g l 8 x, > o g l 29 > o g l 79

y=o g l 7 x,

2x

的 图 像 如 ∴o g l 88,
2 2

o g l

> 1 =o g l 89

9 > o g l

> o g l 79

> 1 . 89

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?1? ∵y=?2?x 在 ? ?

R上 是 减 函 数 , 又o g l > o g l 79
21
2
1 2

∴1 >

?1? ?1? ? ?3>? ?π> 0 . ?2? ?2?
21
2

3 < 0 , > 89
?1? ?1? ? ?3>? ?π> o g l ?2? ?2?
1 2

综 上 : o g l

9 > o g l

3 .
1 2

【答案】 o g l

9 > o g l

> o g l 79

?1? ?1? 3 π o g l 89>? ? >? ? > 2 2 ? ? ? ?

3

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探究 4 涉 及 幂 、 指 、 对 数 大 小 比 较 的 问 题 是 高 考 的 常 型.

见题

思考题 4 1 ( ) 下列大小关系正确的是(
4.0 A.0.43<3 < o g l 40.3 3 4.0 <3

)
4.0

B.0.43< o g l D.o g l
3

0 < .3 43
4.0

C.o g l

0 < .4 0 . 43

0 < .3 43
4.0

< 4 0 .

3

【解析】 【答案】

∵o g l C

0 < .0 < ,4 0 . 43

< 3 1 ,

>1,∴选 C.

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2 ( ) 若o g l

< o g l a2

< 0 b2

, 则 下 列 结 论 正 确 的 是 B.0<b<a<1 D.b>a>1

(

)

A.0<a<b<1 C.a>b>1
【 解 析 】 0 < a< 0 1 < ,

方 法 一 : 由 对 数 函 数 的 性 质 可 知 , b<1, 排 除
1

1 1 C、D.取 a=2,b=4,
1

1 则o g l a2=o g l 2= - 1,o g l b2=o g l 2= - 2. 2 4 满 足 o g l < o g l a2 < 0 b2 ,故 b<a, 于 是 选
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B.
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方 法 二 : 由 ∴o g l 又 函 数 o g l 2 b< o g l 0 . 2a< < o g l a2 < 0 b2 , 得o g l 1

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<o a g l 2

1

< 0 . b 2

y=log2x 是 增 函 数 , 从 而 x O y

b<a, 答 案 选

B. y=

方 法 三 : 在 同 一 直 角 坐 标 系 o g l
ax

中 做 出 满 足 条 件 的 函 数

与 y=o g l

bx

的 图 像 , 如 图 所 示 . B.

由 图 , 答 案 选

【答案】

B
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幂 函 数

y=xα 的 性 质 和 图 像 , 由 于

α的 取 值 不 同 而 比 较 复 杂 ,

一 般 可 以 从 三 方 面 考 查 : 1 ( ) α的 正 负 : α>0 时 图 像 经 过 0 ) ( , 0 ) ( , 点 和1 ) ( , 点 , 经 过 点 , 在 第 一 象 限 1 ) ( , 点 , 在 第 一

的 部 分 “上 升 ”;α<0 时 图 像 不 过 象 限 的 部 分 “下 降 ”.

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1. 当 0 < a<b<1 时 , 下 列 不 等 式 中 正 确 的 是

(

)

答案

D

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1 13.0 2.设 a=o g l 2,b=o g l 3,c=(2) ,则( 3 2
1 1

)

A.a<b<c C.b<c<a
答案 解析 B 因为 a<0,b> 0 1 < ,

B.a<c<b D.b<a<c

c<1, 故 选

B.

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1x )方 程 (3) = o g l| B.1 D.3
C

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3.2 ( 0 1 4 · A.0 C.2
答案

衡 水 调 研

的 个 数 是 3x|解

(

)

1x 解析 画出函数 y=(3) 与 y= o g l| 2.

图 像 , 其 交 点 个 数 为 3x|的

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4. 已 知 实 数 的整数部分是( A.1 C.3
答案 B

a,b∈(0,+∞),a+b=1,M=2a+2b,则 M ) B.2 D.4

解 析
a

设 x=2a, 则 有

x∈2 1 ) ( ,

. 依 题 意 , 得

M=2a+21-a= ( 2, 2 .
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2 2 2 +2a=x+x .易 知 函 数 2 )上 是 增 函 数 , 因 此

2 y=x+ x 在(1, 2)上 是 减 函 数 , 在 有 2 2≤M<3,M 的 整 数 部 分 是
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5. 已 知 容 器 中 有 的 个 数 乘 积 为 定 值 1 0

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A,B 两 种 菌 , 且 在 任 何 时 刻
10

A,B 两 种 菌 PA=g ( l nA)来

, 为 了 简 单 起 见 , 科 学 家 用

记 录 A菌 个 数 的 资 料 , 其 中 确 的 是 _ _ _ _ _ _ _ _ ①PA≥1; ②若 今 天 的 比 昨 天 的 PA 值 比 昨 天 的 .

nA 为 A 菌 的 个 数 , 则 下 列 判 断 中 正

PA 值 增 加

1, 则 今 天 的

A菌 个 数

A菌 个 数 多 了

1 0 个 ; B菌 的 个 数 控 制 在 5万 个 , 则 此 时 5 < PA< 5 .

③假 设 科 学 家 将

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答案



解析 当 nA=1 时,PA=0,故①错误; 若 PA=1 时 , 则 nA=10,若 PA=2,则 nA=100,故②错误;

设 B 菌的个数为 nB=5×104, 1010 5 ∴nA= = 2 × 10 ,∴PA=g ( l nA)=g 2 l +5. 4 5×10 又∵g 2 l ≈0.3,∴5<PA< 5 . ,故③正确.

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