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(22)正、余弦定理和三角形面积公式A


课时作业(二十二)A

[第 22 讲 正、余弦定理和三角形面积公式]

[时间:35 分钟

分值:80 分]

基础热身 1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB=( ) 2 2 2 2 A.- B. 3 3 6 6 C.- D. 3 3 2.在△ABC 中,若(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=5∶6∶7,则 cosB 的值为( ) 11 11 9 7 A. B. C. D. 16 14 11 8 π 3. 已知△ABC 中,AB=2,C= ,则△ABC 的周长为( ) 3 π π A.4 3sin?A+3?+2 B.4 3sin?A+6?+2 ? ? ? ? π? π? C.4sin?A+6?+2 D.8sin?A+3?+2 ? ? 4. 已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为________. 能力提升 4 5.在△ABC 中,三内角 A、B、C 分别对三边 a、b、c,tanC= ,c=8,则△ABC 外 3 接圆半径 R 为( ) A.10 B.8 C.6 D.5 6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcosC,则此三角形一 定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB, 则 A=( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=4 2,B=45° ,面积 S =2,则 b 等于( ) 113 A.5 B. 2 C. 41 D.25 9.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a =________. 4 10.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a+c=2b 且 sinB= ,当△ 5 3 ABC 的面积为 时,b=________. 2 b a tanC 11.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC,则 + a b tanA
1

tanC 的值是________. tanB 12.(13 分)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,△ABC 的面积 S 满足 S 3 = bccosA. 2 (1)求角 A 的值; (2)若 a= 3,设角 B 的大小为 x,用 x 表示 c,并求 c 的最大值.

难点突破 13. 分) 在锐角△ABC 中, (12 三个内角 A、 C 所对的边依次为 a、 c.设 m=(cosA, B、 b、 1 sinA),n=(cosA,-sinA),a=2 3,且 m· n=- . 2 (1)若 b=2 2,求△ABC 的面积; (2)求 b+c 的最大值.

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课时作业(二十二)A 【基础热身】 1.D [解析] 依题意,得 a>b,则 A>B,0° <B<60° , a b bsinA 3 由正弦定理,有 = ,得 sinB= = , sinA sinB a 3 6 ∴cosB= 1-sin2B= ,故选 D. 3 2.A [解析] 令 b+c=5k,c+a=6k,a+b=7k(k>0),则 a+b+c=9k,得 a=4k,b =3k,c=2k, a2+c2-b2 11 cosB= = . 2ac 16 BC AB AC 3.C [解析] 由正弦定理,有 = = ,得 sinA sinC sinB 4 3 4 3 4 3 ? π BC= sinA,AC= sinB= sin?π-3-A?, ? 3 3 3 2π 4 3 4 3 ? 则△ABC 的周长为 l= sinA+ sin? 3 -A?+2, ? 3 3 π? =2 3sinA+2cosA+2=4sin?A+6?+2,故选 C. ? 4.15 3 [解析] 不妨设∠A=120° ,c<b,则 a=b+4,c=b-4,于是 cos120° = b2+?b-4?2-?b+4?2 1 1 =- ,解得 b=10,所以 c=6.所以 S= bcsin120° =15 3. 2 2 2b?b-4? 【能力提升】 5.D [解析] 由同角三角函数的基本关系式,得 1 3 4 cosC= 2 = ,sinC=cosCtanC= , 5 5 1+tan C c 8 由正弦定理,有 2R= = =10,故外接圆半径为 5,故选 D. sinC 4 5 a sinA 6.C [解析] 由正弦定理,有 = ,又 a=2bcosC,则 b sinB sinA=2sinBcosC,即 sin(B+C)=2sinBcosC, 展开,化简,得 sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0, ∴B=C,即△ABC 是等腰三角形,故选 C. c sinC 7.A [解析] 由正弦定理,有 = ,又 sinC=2 3sinB,可得 c=2 3b.由余弦定理 b sinB 2 2 2 2 b +c -a - 3bc+c 3 得 cosA= = = ,于是 A=30° ,故选 A. 2bc 2bc 2 1 8.A [解析] 由 S=2,得 acsinB=2,解得 a=1, 2 2 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2cacosB=(4 2)2+12-2×4 2×1× =25,则 b=5,故 2 选 A. 3 2× 2 1 b c csin120° 9. 2 [解析] 由正弦定理,有 = ,即 sinC= = = , sinB sinC b 2 6 ∴C=30° ,则 A=180° -(B+C)=30° ,故 a=c= 2. 10.2 [解析] ∵a+c=2b,∴a2+c2+2ac=4b2(1), 1 2 3 15 ∵S△ABC= acsinB= ac= ,∴ac= (2). 2 5 2 4 4 3 ∵sinB= ,∴cosB= (由 a+c=2b 知 B 为锐角), 5 5
3

a2+c2-b2 3 9 = ,∴a2+c2= +b2(3). 2ac 5 2 由(1)、(2)、(3),解得 b=2. ∴

b a 1 11.4 [解析] 解法一:取 a=b=1,由 + =6cosC 得 cosC= , a b 3 4 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC= , 3 2 3 ∴c= . 3 在如图所示的等腰三角形 ABC 中,可得 tanA=tanB= 2, 2 2 又 sinC= ,tanC=2 2, 3 tanC tanC ∴ + =4. tanA tanB a2+b2 a2+b2-c2 b a 解法二:由 + =6cosC,得 =6· , a b ab 2ab 3 即 a2+b2= c2, 2 cosA cosB tanC tanC sin2C ∴ + =tanC? sinA + sinB ?= ? ? cosCsinAsinB tanA tanB 2 2c = 2 =4. a +b2-c2 3 1 12.[解答] (1)在△ABC 中,由 S= bccosA= bcsinA, 2 2 得 tanA= 3. π ∵0<A<π,∴A= . 3 π (2)由 a= 3,A= 及正弦定理得 3 a c 3 = = =2, sinA sinC 3 2 ∴c=2sinC. 2π ∵A+B+C=π,∴C=π-A-B= -x, 3 2π ? ∴c=2sin? 3 -x?. ? π 2π ∵A= ,∴0<x< , 3 3 π ∴当 x= 时,c 取得最大值,c 的最大值为 2. 6 【难点突破】 1 1 13.[解答] (1)由 m· n=- 得 cos2A-sin2A=- , 2 2 1 π 即 cos2A=- ,∵0<A< ,∴0<2A<π, 2 2
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2π π ∴2A= ,∴A= . 3 3 设△ABC 的外接圆半径为 R, 3 由 a=2RsinA 得 2 3=2R ,∴R=2. 2 2 由 b=2RsinB,得 sinB= , 2 π 又 b<a,∴B= , 4 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 6+ 2 3 2 1 2 = × + × = , 2 2 2 2 4 6+ 2 1 1 ∴△ABC 的面积为 S= absinC= ×2 3×2 2× =3+ 3. 2 2 4 (2)解法一:由 a2=b2+c2-2bccosA 得 b2+c2-bc=12, b+c?2 2 ∴(b+c)2=3bc+12≤3? ? 2 ? +12,∴(b+c) ≤48, b+c≤4 3,当且仅当 b=c 时取等号, ∴b+c 的最大值为 4 3. b c a 2 3 解法二:由正弦定理得: = = = =4, sinB sinC sinA π sin 3 2π 又 B+C=π-A= , 3 2π ∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin? 3 -B?= ? ? π? 4 3sin?B+6?, ? π π π 当 B+ = ,即 B= 时,b+c 取最大值 4 3. 6 2 3

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