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2014届高考数学文一轮复习方案(人教B版)第34讲 一元二次不等式的解法_图文

? 双 向 固 基 础 ? 点 面 讲 考 向 ? 多 元 提 能 力 ? 教 师 备 用 题

第34讲

一元二次不等式的解 法

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考试大纲
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式, 会设计求解的程序框图.

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第34讲
? 双 向 固 基 础

一元二次不等式的解法

? —— 知 识 梳 理 ——
一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集为
? ? b? ?x?x> ? (1)当a>0时,解集为____________ . a? ? ?

? ? b? ?x?x< ? a? ? ? (2)当a<0时,解集为____________ .

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一元二次不等式的解法

二、一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法如下 (1)将不等式的右端化为0,左端化为二次项系数 大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c< 0(a>0); (2)求出相应一元二次方程的根; x轴的交点情况 确定 (3)利用二次函数的图象与_______________ 一元二次不等式的解集.

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一元二次不等式的解法

三、一元二次不等式的解集

判别式 Δ=b2- 4ac 二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图 象

Δ> 0

Δ=0

Δ<0

一元二次 {有两相异 x|x1<x<x2} 方程 有两相等 实根 2 实根 ax +bx+c

{x|x<x1或 x> x2}

? ? b? ?x?x≠- ? 2a? ? ?

{x|x∈R}

没有实数 返回目录

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? 双 向 固 基 础

一元二次不等式的解法

四、分式不等式与一元二次不等式的关系 x-a x-a (x-a)(x-b)>0 设 a<b, >0 等价于___________________ ; x-b x-b x-a <0 等 价 于 (x - a)(x - b)<0 ; ≥0 等价于 x-b
?(x-a)(x-b)≥0, ? ? ? ?x-b≠0 ________________________

x-a ; ≤ 0 x-b

等 价 于

? ?(x-a)(x-b)≤0, ? ? ?x-b≠0.

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一元二次不等式的解法

—— 疑 难 辨 析 ——

1.一元一次不等式的解法 b (1)若 ax+b>0,则 x>- .( a b (2)若 ax+b≠0,则 x≠- .( a ) )

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? 双 向 固 基 础

一元二次不等式的解法

[答案] (1)× (2)×

[解析]

(1)当a≤0时不成立.

b (2)当a=0时,- 无意义. a

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? 双 向 固 基 础

一元二次不等式的解法

2.一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法如下: (1)[2012· 湖南卷改编] 不等式-x2-5x+6<0的解集 为{x|x<-6或x>1}.( ) x-2 (2)不等式 ≤0的解集是[-1,2].( x+1 )

[答案]

(1)√ (2)×

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一元二次不等式的解法

? 双 向 2 [ 解析 ] (1) 原不等式可化为 x +5x-6>0,即(x-1)(x 固 基 +6)>0,解得 x<-6 或 x>1. 础

(2)分母不能为零,正确答案是(-1,2].

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? 双 向 固 基 础

一元二次不等式的解法

3.求参数的值 (1)若关于x的不等式ax2+3x+c≥0的解集为[1,2], 则a=-1,c=-2. (2)若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R,则a≤ 1 -4.( )
[答案] (1)√ (2)√

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一元二次不等式的解法

? 双 向 2 [ 解析 ] (1) 由题意得方程 ax +3x+c=0的两根为x1= 固 基 1,x =2,由根与系数的关系可得a=-1,c=-2. 2 础
? ?a<0, 1 ? (2)由题意得 ?a≤-4. ? ?Δ=1+4a≤0

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一元二次不等式的解法

考点统计
? 点 面 讲 考 向

考频

示例(难度)

1.一元二次不等式 的解法 2.含有参数一元二 次不等式的解法 3.一元二次不等式 恒成立问题

0

2012年江西 T11(A),
2012年课标T1(A), 2012年湖南T12(A)

0 0 0

2012年福建T15(B)

4.一元二次不等式

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一元二次不等式的解法

? ?
? 点 面 讲 考 向

探究点一 一元二次不等式的解法
(1)[2012· 课程标准卷改编] 已知集合A={x|x2-x )

例1

-2<0},B={x|-1<x<1},则A∩B=( A.A B.B C.{x|1<x<2} D.

x2-9 (2)[2012· 江西卷] 不等式 >0的解集是________. x-2

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一元二次不等式的解法

思考流程
? 点 面 讲 考 向

(1)分析:求出一元二次不等式 x2-x-2<0

的解集;推理:将集合 A,集合 B 在数轴上表示出来,确 定公共部分的解集;结论:公共部分就是所求的结论; (2)分析:分式不等式向整式不等式化归;推理:将不 等式组的解集在数轴上表示出来;结论:解集的公共部分 即是不等式组的解集.
[答案] (1)B (2){x|-3<x<2 或 x>3}

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一元二次不等式的解法

[解析]
? 点 面 讲 考 向

(1)易知集合A={x|-1<x<2},又已知B ={x|-

1<x<1},所以B A.故选B. (2)原不等式可化为(x+3)(x-3)(x-2)>0,利用穿针引 线法可得{x|-3<x<2或x>3}.

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一元二次不等式的解法

点评
? 点 面 讲 考 向

求解第(1)题的实质就是先解不等式, 然后求交

集; 求解第(2)题的关键是将分式不等式转化为整式不等式.

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一元二次不等式的解法

归纳总结

一元二次不等式、一元二次方程及二次函

? 点 面 讲 考 向

数联系非常紧密,要注意相互转化;解分式不等式的两种 常用方法:①性质讨论法:先依据分式的分子、分母同号 或异号进行分类讨论,再将不等式的解集画在数轴上寻找 公共部分.②化归法:如果分式不等式的分子、分母能够 因式分解,则可将分式不等式转化成整式不等式(x- x1)(x -x2)…(x-xn)>0(或<0)的形式,再利用穿针引线法求解.

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一元二次不等式的解法

变式题 (1)[2012· 唐山模拟] 设A={x|x2-2x-3>0}, B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B=(3,4],则a +b等于( ) A.7 B.-1 C.1 D.-7 (2)[2012· 江苏卷] 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R) 的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为 (m,m+6),则实数c的值为________.

? 点 面 讲 考 向

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一元二次不等式的解法

[答案]

(1)D (2)9

? 点 面 讲 考 向

[解析] (1)依题意,A=(-∞,-1)∪(3,+∞),又 因为 A∪B=R,A∩B=(3,4],则 B=[-1,4].所以 a =-( -1 + 4) =- 3, b=-1×4 =- 4,于是 a+ b =- 7. 故选 D. ? a?2 2 (2)由条件得 a -4b=0,从而 f(x)=?x+ 2? , ? ? a a 不等式 f(x)<c 解集为-2- c<x<-2+ c, ? a ?-2- c=m, 故? 两式相减得 c=3,c=9. a ?- + c=m+6, ? 2
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一元二次不等式的解法

? ? 探究点二 含有参数一元二次不等式 的解法 例 2 [2012·广 东 卷 改 编 ] 设 0<a<1 , 集 合 A =
? 点 {x∈R |x>0}, B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.求集 面 讲 合 D(用区间表示). 考 向

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一元二次不等式的解法

思考流程 条件:A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2 -3(1 +a)x+6a>0};目标:用区间表示D=A∩B;方法:从集
? 点 面 讲 考 向

合B中的一元二次不等式的解法入手,抓住其判别式的正 负对解集的影响来讨论.

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一元二次不等式的解法

解:(1)x∈D?x>0 且 2x2-3(1+a)x+6a>0. 令 h(x)=2x2-3(1+a)x+6a, Δ =9(1+a)2-48a=3(3a-1)(a-3). 1 ①当3<a<1 时,Δ<0, ∴?x∈R,h(x)>0,∴B=R. 于是 D=A∩B=A=(0,+∞). 1 ②当 a=3时,Δ=0,此时方程 h(x)=0 有唯一解, ? 1? 3?1+ ? 3(1+a) ? 3? x1=x2= = 4 =1, 4 ∴B=(-∞,1)∪(1,+∞). 于是 D=A∩B=(0,1)∪(1,+∞).
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? 点 面 讲 考 向

第34讲

一元二次不等式的解法

1 ③当 0<a<3时,Δ>0,此时方程 h(x)=0 有两个不同的 解
? 点 面 讲 考 向

3+3a- 3(3a-1)(a-3) x1= , 4 3+3a+ 3(3a-1)(a-3) x2= . 4 ∵x1<x2 且 x2>0, ∴B=(-∞,x1)∪(x2,+∞). 又∵a>0,∴x1>0, ∴D=A∩B=(0,x1)∪(x2,+∞).

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一元二次不等式的解法

点评
? 点 面 讲 考 向

一元二次不等式的解集,实质上是由对应的一

元二次方程的根来确定的,本题在求方程根时,不能使用 十字相乘法,方程的根的情况不确定,于是就 a 进行分类 讨论.

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一元二次不等式的解法

归纳总结
? 点 面 讲 考 向

含有参数的一元二次不等式,若二次项系

数为常数,可先考虑因式分解,在求出对应方程根的情况 下再对参数进行讨论,如果不能根据因式分解的方法求出 其根,则需要按照不等式对应方程根判别式的情况进行分 类讨论;若二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是否 为零,然后讨论二次项系数不为零的情况.

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一元二次不等式的解法

变式题

解关于 x 的不等式 x2-x+a>0.

? 点 1 面 2 (1) 当 Δ <0 ,即 a > 时,方程 x -x+a=0 无实根,此 讲 4 考 2 时不等式 x -x+a>0 的解集为 R; 向

解:方程 x2-x+a=0 的判别式 Δ=1-4a.

1 (2)当 Δ=0,即 a=4时,方程 x2-x+a=0 有两个相 1 等的实根 x1 = x2=2 ,此时不等式 x2-x+ a>0 的解集为 ? ? 1? ?1 ?-∞, ?∪? ,+∞?; 2? ?2 ? ?

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一元二次不等式的解法

1 (3)当 Δ>0,即 a<4时,方程 x2-x+a=0 有两个不相 等的实根 1- 1-4a 1+ 1-4a ? 点 x1= ,x2= , 面 2 2 讲 此时不等式 x2-x+a>0 的解集为
考 向
? 1- ? ?-∞, ? ? ? 1-4a? 1 + 1 - 4 a ? ? ? ∪ ,+∞ ? ? ?. 2 2 ? ? ? 1 1 综上所述: 当 a>4时, 不等式的解集为 R; 当 a≤4时,


? ?1+ ? ?













? 1- ? ?-∞, ?

1-4a? ? ? 2 ?



? 1-4a ? ,+∞ ?. 2 ?
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一元二次不等式的解法

? 点 2 - 2 x 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 面 讲 考 向

? ? 探究点三 一元二次不等式恒成立问 题例 3 [2012· 石家庄模拟] 已知不等式 ax2+4x+a>1

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一元二次不等式的解法

思考流程
? 点 面 讲 考 向

条件: ax2+4x+a>1-2x2 对一切实数 x 恒

成立;目标:实数 a 的取值范围;方法:化为标准形式 ax2 +bx+c>0 后分 a=0 与 a≠0 讨论.

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一元二次不等式的解法

解: 原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切实数 x 恒成立,显然 a=-2 时,解集不是 R,因此 a≠-2,
? 点 面 讲 考 向
?a+2>0, ? 从而有? 2 ? Δ = 4 -4(a+2)(a-1)<0, ? ? ? ?a>-2, ?a>-2, 整理,得? 所以? ? ? ?(a-2)(a+3)>0, ?a<-3或a>2,

所以 a>2. 故 a 的取值范围是(2,+∞).

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一元二次不等式的解法

点评

不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)
? ?a>0, 时,? 不等式 ? ?Δ<0;

? 点 面 2 ax + bx+c< 0 的解是全体实数( 或恒成立) 的条件是当 a = 0 讲 考 ? a<0, 向 时,b=0,c<0;当 a≠0 时,? ?
? ?Δ<0.

的条件是当 a=0 时,b=0,c>0;当 a≠0

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一元二次不等式的解法

归纳总结

一元二项不等式在指定范围的恒成立(或者

不等式在指定范围的恒成立),其本质是这个不等式的解集包
? 点 含着指定的区间.解决这类问题的基本方法,一是引进函数 面 讲 关系后,通过函数图象实现数形结合;二是等价转化,转化 考 向 为求函数的最值或是值域.

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一元二次不等式的解法

变式题

已知函数f(x)=x2+(lga+2)x+lgb满足f (-1)=

-2,且对于任意x∈R,恒有f(x)≥2x成立. (1)求实数a,b的值; ? 点 (2)解不等式:f(x)<x+5. 面
讲 考 向

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一元二次不等式的解法

解:(1)由 f(-1)=-2 知 lgb-lga+1=0,①
? 点 面 讲 考 向

a ∴ =10,② b 又 f(x)≥2x 恒成立,有 x2+x· lga+lgb≥0 恒成立,故 Δ =(lga)2-4lgb≤0. 将①式代入上式得(lgb)2-2lgb+1≤0,即(lgb-1)2≤0, 故 lgb=1,即 b=10,代入②得 a=100. (2)f(x)=x2+4x+1,f(x)<x+5, 即 x2+4x+1<x+5,∴x2+3x-4<0, 解得-4<x<1, ∴不等式的解集为{x|-4<x<1}.

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一元二次不等式的解法

? ? 探究点四 一元二次不等式的实际应 用例4 某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润
? 点 10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整 面 出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每 讲 ? 3x ? 考 a- ? 万元(a>0),剩下的员工平均每人 向 年创造利润为10 ? 500? ?

每年创造的利润可以提高0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000 名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第 三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始 终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多 少?
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一元二次不等式的解法

思考流程 (1)条件:调整前,平均每人每年创造利润
? 点 面 讲 考 向

10 万元,调整后,剩下的员工平均每人每年创造的利润可 以提高 0.2x%; 目标: 剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润;方法:列出一次二次不等式 并解之. (2) 条件:调 整出 的员工 平均 每人每 年创 造利 润为
? 3x ? 10?a-500?万元(0<x≤500);目标:调整出的员工创造的年 ? ?

总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润;方法:列出 不等式,将求 a 的取值范围转化为恒成立问题利用基本不 等式求解.

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一元二次不等式的解法

解:(1)由题意得:10(1 000-x)(1+0.2x%)≥10×1 000,
? 点 面 讲 考 向

即 x2-500x≤0,又 0<x≤500. 即最多调整 500 名员工从事第三产业.
? 3x ? (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10?a- ?x 万 500? ?

元,从事原来产业的员工的年总利润为 10(1 万元, 则
? 3x ? 10?a- 500?x≤10(1 ? ?

? 1 ? 000-x)?1+ x? 500 ? ?

? 1 ? 000-x)?1+500x?, ? ?

3x2 1 2 2x2 所以 ax-500≤1 000+2x-x- 500x ,所以 ax≤500 + 1 000+x,
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一元二次不等式的解法

? 点 面 讲 考 向

2x 1 000 即 a≤ + +1 恒成立, 500 x 2 1 000 2x 1 000 因为500x+ ≥2 500· =4, x x 2x 1 000 当且仅当500= ,即 x=500 时等号成立. x 所以 a≤5,又 a>0,所以 0<a≤5, 即 a 的取值范围为(0,5].

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一元二次不等式的解法

归纳总结

以实际应用问题的形式给出的不等关系, 首先

要选择一个变量建立这个问题的函数模型或者不等式模型, 然
? 点 后再根据问题的求解目标,选择使用不等式的方法,通过解不 面 讲 等式或者证明不等式达到解题的目的. 考 向

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一元二次不等式的解法

变式题

一类产品按质量共分为 10 个档次,最低档次

产品每件利润 8 元,每提高一个档次每件利润增加 2 元,一
? 点 天的工时可以生产最低档次产品 60 件,提高一个档次将减少 面 讲 3 件,求生产何种档次的产品获利最大? 考 向

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一元二次不等式的解法

解:将产品从低到高依次分为 10 个档次.
? 点 面 讲 考 向

设生产第 x 档次的产品(1≤x≤10,x∈N),利润为 y 元, 则 y=[60-3(x-1)][8+2(x-1)]=(63-3x)(6+2x)
?(21-x)+(3+x)? ?2 =6(21-x)(3+x)≤6? ? ? 2 ? ?

=6×144=864. 当且仅当 21-x=3+x,即 x=9 时取等号. 答:生产第 9 档次的产品获利最大.

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一元二次不等式的解法

易错究源12


忽视等价转化而致误
1-x 的定义域为( x+2 )

函数f(x)=

? 多 元 提 能 力

A.[-2,1] B.(-2,1] C.[-2,1) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

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一元二次不等式的解法

错解

1-x x-1 A ≥0? ≤0, x+2 x+2

?(x-1)(x+2)≤0,① ?-2≤x≤1.故选A.

? 多 元 提 能 力

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一元二次不等式的解法

[错因] x≠-2.

①处:与原不等式不等价,因为x+2≠0,

[正解]

B

? 多 元 提 能 力

? 1-x x-1 ?(x-1)(x+2)≤0, ≥0? ≤0?? ? ? x+2 x+2 ?x+2≠0 ? ?-2≤x≤1, ? ?-2<x≤1. ? ?x≠-2

故选 B.

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一元二次不等式的解法

自我检评

(1)[2012· 太原模拟] 不等式x2-4>3|x|的解 log0.5(4x2-3x)

集是________. (2)[2013· 郑州一中月考] 函数y= 的定义域为________.

? 多 元 提 能 力

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一元二次不等式的解法

[答案] (1)(-∞,-4)∪(4,+∞) ? 1 ? ?3 ? (2)?-4,0?∪?4,1? ? ? ? ?
[解析] (1)若x>0,则x2-3x-4>0,解得x>4;若x≤0, 则x2+3x-4>0,解得x<-4. 2 (2) 由题意得: log (4 x -3x)≥0,则由对数函数性质 0.5 ? 多
元 2 ? 0<4 x -3x, ? 提 2 求得函数的定义域为 能 得:0<4x -3x≤1,即? 2 ? ?4x -3x≤1, 力
? 1 ? ?3 ? ?- ,0?∪? ,1?. ? 4 ? ?4 ?

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一元二次不等式的解法

备选理由

例1是解含有参数的不等式,需要对首项系

数进行分类,还需要使用求根公式,可以作为探究点二的参 考;例2说明不等式模型的应用,作为探究点四的参考.

? 教 师 备 用 题
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一元二次不等式的解法

例1

已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0.

解:(1)a=0时,解集为x>0. (2)a>0时,Δ=4-4a2. ①当Δ>0,即0<a<1时,方程ax2-2x+a=0两根为 1± 1-a2 , a ∴不等式的解集为
? 教 师 备 用 题

②当Δ=0,即a=1时,x∈?; ③当Δ<0,即a>1时,x∈?.
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一元二次不等式的解法

? ? ?x ? ?

? ? 教 ? ?x 师 ? 备 ?
用 题

(3)当a<0时, ①Δ >0,即-1<a<0时,不等式的解集为 2 2? ? 1 + 1 - a 1 - 1 - a ? ? 或x> ?) , ?x< a a ? ? ? ②Δ =0,即a=-1时,不等式化为(x+1)2>0, ∴解集为{x|x∈R且 x≠-1}. ③Δ <0,即a<-1时,x∈R. 综上所述,当a≥1时,原不等式的解集为?; 当0<a<1时,解集为 2? ?1- 1-a2 1 + 1 - a ? ? <x< ?); ? a a ? ? ?
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一元二次不等式的解法

当a=0时,解集为{x|x>0}; 当-1<a<0时,解集为 ? ? ?x ? ? 1-a2 1- 1-a2 ? ? 或x> ?) ; a a ? ? 当a=-1时,解集为{x|x∈R且 x≠-1}; 当a<-1时,解集为R.
? ? 1+ ?x< ?

? 教 师 备 用 题
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一元二次不等式的解法

例2

为了通过计算机进行较大规模的计算,人们目

前普遍采用下列两种方法: 第一种传统方法是建造一台超级计算机.此种方法在 过去曾被普遍采用.但是人们逐渐发现建造单独的超级计 算机并不合算,因为它的运算能力和成本的平方根成正 比. 另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统.它是 通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网 络.这样的网络具有惊人的计算能力,因为整个网络的计 算能力是各个工作站的效能之和. ? 教 假设计算机的计算能力的单位是MTPS(即每秒执行百

师 备 万条指令的次数),一台运算能力为6 000 MTPS 的传统巨 用 题 型机的成本为100万元;而在分布式系统中,每个工作站
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一元二次不等式的解法

的运算能力为300 MTPS,其价格仅为5万元.需要说明的 是,建造分布式计算系统需要较高的技术水平,初期的科 技研发及网络建设费用约为600万元. 请问:在投入费用为多少的时候,建造新型的分布式 计算系统更合算?

? 教 师 备 用 题
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一元二次不等式的解法

解:设投入的资金为x万元,两种方法所能达到的计算 能力分别为y1,y2MTPS, 则y1=k x. 把x=100,y1=6 000代入上式得k=600,故y1=600 x. x-600 又y2= ×300=60(x-600), 5 由y2≥y1得60(x-600)≥600 x,即x-10 x-600≥0,
? 教 师 计算系统更合算. 备 用 题

解得x≥900(万元). 答:在投入费用为900万元以上时,建造新型的分布式

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