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2018年高中数学北师大版选修4-5课件:§4 不等式的证明(一)_图文

§4 不等式的证明(一) 学习目标 在理解比较法的基础上,会用作差、作商两种形式的 比较法比较两个代数式的大小,会用比较法证明较简单的 不等式. 课前探究学习 课堂讲练互动 预习自测 因为a>b?_______ 1. a-b>0 ,要证a>b,只需要证_______ a-b>0 ,同样要证 求差比较法 . a-b<0 .这种方法称为___________ a<b,只需证_______ a >1 ;如果a、b都 如果 a 、 b 都是正数,要证 a > b ,只需证 ____ b 2. a <1 是负数,要证a>b,只需证____ ________ b .这种方法称为求商比较 法. ___ 课前探究学习 课堂讲练互动 自主探究 比较法作差后怎样变形?变形的目的是什么? 1. 提示 作差后为了容易判别差的正、负,常用变形方法 为:一是配方法,二是分解因式. 具有什么特点的不等式的证明适合作商比较法?哪种类型 2. 的不等式证明常用作商、哪些常用作差? 提示 当不等式两端的式子同号时,可用作商比较法.一 般地,证指数不等式常用作商法,证对数不等式时,常用 作差法. 课前探究学习 课堂讲练互动 典例剖析 知识点1 两代数式大小的比较 (x+y)的大 【例1】已知x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· 小. 解 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] =-2xy(x-y). ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0, ∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 课前探究学习 课堂讲练互动 a 【反思感悟】 实数大小的比较常用 a>b?a-b>0 或“ >1, b 且 b>0? a>b” 来解决,比较法的关键是第二步的变形,一般 来说,变形越彻底,越有利于下一步的符号判断. 课前探究学习 课堂讲练互动 1.设a>0,b>0且a≠b,试比较aabb与abba的大小. ?a ?a- b aa bb a-b b-a 解 · b =? ? . b a= a ab ?b ? ?a ?a- b a 当 a>b>0 时, >1, a- b>0,则? ? >1, b ?b ? a a b b a 于是 a b >a b .当 b>a>0 时, 0< <1, a- b<0, b ?a ?a- b 则? ? >1,于是 aabb>abba. ?b ? 综上所述,对于不相等的正数 a、 b,都有 aabb>abba. 课前探究学习 课堂讲练互动 知识点2 作差比较法证明不等式 【例2】设 ?a2? ?b2? a>0,b>0,求证? b ?2+? a ?2≥a2+b2. ? ? ? ? 1 1 1 1 证明 法一 左边-右边 ( a)3+( b)3 = -( a+ b) ab ( a+ b)(a-2 ab+b) = ab ( a+ b)( a- b)2 = ≥0. ab ∴原不等式成立. 课前探究学习 课堂讲练互动 法二 左边>0,右边>0. 左边 ( a+ b)(a- ab+b) a- ab+b = = 右边 ab( a+ b) ab 2 ab- ab ≥ =1, ab ∴原不等式成立. 【反思感悟】 用比较法证不等式,一般要经历作差(或作 商)、变形、判断三个步骤,变形的主要手段是通分、因 式分解或配方,在变形过程中,也可利用基本不等式放 缩. 课前探究学习 课堂讲练互动 已知:a>b>c,求证:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 2. 证明 a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2) =(b-c)a2+(c2-b2)a+b2c-bc2 =(b-c)[a2-(b+c)a+bc]=(b-c)(a-b)(a-c). ∵a>b>c,∴b-c>0,a-b>0,a-c>0. ∴a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)>0. ∴a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 课前探究学习 课堂讲练互动 知识点3 作商比较法证明不等式 已知 a>b>c>0,求证:a b c 【例3】 a b c 1 + + >(abc)3(a b c). 【反思感悟】 作商后通常利用不等式的性质、指数函数 的性质、对数函数的性质来判断商式与1的大小. 课前探究学习 课堂讲练互动 |a|+|b| |a-b| 3.设 m= ,n= ,那么它们的大小关系是 m____n. |a+b| ||a|-|b|| |a |+|b | m |a+b| (|a|+|b |) ||a |-|b || 解析 = = n |a-b| |a+b|· |a-b| ||a |-|b || |a2-b2| = 2 =1,∴m=n. |a -b2| 答案 = 课前探究学习 课堂讲练互动 课堂小结 比较法有两种形式,一是作差;二是作商.用作差证明不 1. 等式是最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本 性质. 步骤是:作差(商)―→变形―→判断.变形的目的是为了 2. 判断.若是作差,就判断与0的大小关系,为了便于判 断,往往把差式变为积或完全平方式.若是作商,两边为 正,就判断与1的大小关系. 有时要先对不等式作等价变形再进行证明,有时几种证明 3. 方法综合使用. 课前探究学习 课堂讲练互动 随堂演练 1.设a,b∈R,下面的不等式成立的是 A.a2+3ab>b2 a a+1 C. < b b+1 ( ). B.ab-a>b+ab D.a2+b2≥2(a-b-1) 答案 系是 D ( B.1+qm+n<qm+qn D.不能确定 ). 2.若q>0,且q≠1,m,n∈N+,则1+qm+n与qm+qn的大小关 A.1+qm+n>qm+qn C.1+qm+n=qm+qn 答案 A 课前探究学习 课堂讲练互动 3.若a、b为实数,

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