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二次函数与圆结合的综合题


1.如图,已知抛物线 y = ax + bx-3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,

2

经过 A、B、C 三点的圆的圆心 M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M 的半 径为 5 .设⊙M 与 y 轴交于 D,抛物线的顶点为 E. (1)求 m 的值及抛物线的解析式;∴抛物线的解析式为 y=x2-2x-3 (2)设∠DBC = ?,∠CBE = ?,求 sin(?-?)的值; (3)探究坐标轴上是否存在点 P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCE 相 似?若存在,请指出点 P 的位置,并直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明 理由.

,、B(31) ,. 2.如图所示, 已知在直角梯形 OABC 中,AB ∥ OC,BC ⊥ x 轴于点 C,A(11) 动
点 P 从 O 点出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动.过 P 点作 PQ 垂直于直 .

P Q 线 , △O .OA ,垂足为 Q .设 P 点移动的时间为 t 秒( 0 ? t ? 4 )
叠部分的面积为 S . (1)求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式; (2)求 S 与 t 的函数关系式;

与直角梯形 OABC 重

(3)将 △OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90 ° ,是否存在 t ,使得 △OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛 物线上?若存在,直接写出 t 的值;若不存在,请说明理由. y 2

A 1 Q

B

C O P 1 3

x

∴所求抛物线解析式为 y ? ?

1 2 4 x ? x 3 3

3.如图甲,四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,顶点在 B 点的抛物 线交 x 轴于点 A、D,交 y 轴于点 E,连接 AB、AE、BE.已知 tan∠CBE= ,A(3,0) , D(﹣1,0) ,E(0,3) . (1)求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标; (2)求证:CB 是△ABE 外接圆的切线; (3)试探究坐标轴上是否存在一点 P,使以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似,若存 在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)设△AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度(0<t≤3)时,△AOE 与△ABE 重叠部分的 面积为 s,求 s 与 t 之间的函数关系式,并指出 t 的取值范围.

点 B(1,4) .综上,得:P1(0,0) ,P2(9,0) ,P3(0,﹣ ) . ∴y= -x 2 +2x+3 .

4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点,且与两坐标轴分
2 y y ? x 交于点 别交于 A、B、C、D 四点.抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 轴交于点 D ,与直线

M 、N ,且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C .
(1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ,连结 DE ,延长 DE 交圆 O 于 F ,求 EF 的长. (3) 过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P , 判断点 P 是否在抛物线上, 说明理由.

y

D

N

E A O F M B C x

5.如图,在平面直角坐标系中,顶点为( 4 , ? 1 )的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴于 B ,

C 两点(点 B 在点 C 的左侧). 已知 A 点坐标为( 0 , 3 ).
(1)求此抛物线的解析式;答案∴抛物线为:

1 12 2 y ?( x ? 4 ) ? 1 ?x ? 2 x ? 3 4 4

(2) 过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D , 如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切, 请判断抛物线的对称轴 l 与⊙ C 有怎样的位置关系,并给出证明; (3)已知点 P 是抛物线上的一个动点,且位于 A , C 两点之间,问:当点 P 运动到什么

P A C的面积最大?并求出此时 P 点的坐标和 ? P A C的最大面积. 位置时, ?
y

D A

O

B

C

x

6.

(1)求点 C 的坐标; ⑵ 点 P Q?P B 最小值. ⑶ C E 是过点 C 的 ⊙M 的切线,点 E 是切点,求 O E 所在直线的解析式.

Q?8, m ?

1 y ? x2 ?b x?c 6 在抛物线 上, P 点为此抛物线对称轴上一个动点,求

则抛物线的解析式为: 故 C(0,2) ;



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