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高三总复习用样本估计总体教师版


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 055A

用样本本去估计总体(教案)A 知识梳理:(必修 3 教材 65-83) 1.作频率分布直方图的步骤: (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ; (2)决定组距与组数; (3)将数据分组; (4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图 注:频率分布直方图中小正方形的面积=组距×

频率 =频率。 组距

2.频率分布折线图和总体密度曲线 折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图 总体密度曲线:当样本容量足够大,分组越多,折线越接近于一条光滑的曲线, 此光滑曲线为总体密度曲线。 3.用茎叶图刻画数据的两个优点, (1)所有数据都可以从数据中得到; (2)茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况,但当样本数据较多或数据较 大时,茎叶图的效果就不是很好了. 4.平均数、众数、中位数、标准差和方差 (1) 、平均数:平均数是用来表示数据的平均水平。 一般用x来表示, 计算公式: (2) 、众数:一组数据中出现次数最多的数。 (3) 、中位数:将数据从小到大的顺序排列,若有奇数个数,则最中间的数是中 位数。若有偶数个数,则中间两个数的平均数是中位数。 (4) 、 标准差: 是样本数据到平均数的一种平均距离, 用来刻画数据的分散程度, 一般用 s 来表示,计算公式: 据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小。 (5)方差:方差是标准差的平方,它也可以用来刻画数据的分散程度,计算公 式: 。 ,标准差越大,数

5.有样本频率分布估计总体分布通常分为两种情况: (1) 、当总体中的个体取不同值很少时,其频率分布表由所取样本的不同值及其 相应频率表示,就是相应的条形图; (2) 、当总体中的个体不同值很多时,就用频率分布直方图来表示相应的样本的

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频率分布。 6、利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数 在频率分布直方图中,众数的估计值 是其中最高矩形底边中点的横坐标;中位数 ...... ... 的左边和右边的直方图面积相等; 平均数 的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形 ... 的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。 二、题型探究 [探究一]图形信息题 例 1:为了解某小学五年级女生身高(单位:cm)情况,对五年级一部分女生的身高 进行了测量,所得数据整理后,列出频率分布表(如下表) (1) 、求表中 m,n,M,N 所表示的两个数分别是多少?

(2) 、画出频率分布直方图,并利用它估计五年级全体女生身高的众数、中位数、和 平均数;

(3) 、试问:全体女生 中身高在哪个组范围内的人数最多?并估计五年级女生身高 在 161.5cm 以上的概率。 分组 145.5-149.5 149.5-153.5 153.5-157.5 157.5-161.5 161.5-165.5 165.5-169.5 合计 频数 1 4 20 15 8 m M 频率 0.02 0.08 0.40 0.30 0.16 N N

[探究二]用样分布估计总体分布 例 2:为估计一次性木质筷子的用量,1999 年从某县共 600 家高、中、低档饭店 抽取 10 家作样本,这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为: 0.6 3.7 2.2 1.5 2.8

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1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1)通过对样本的计算,估计该县 1999 年消耗了多少盒一次性筷子(每年按 350 个营业日计算) ; (2)2001 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查,调查的 结果是 10 个样本饭店, 每个饭店平均每天使用一次性筷子 2.42 盒. 求该县 2000 年、 2001 年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2001 年该县饭店数、全 年营业天数均与 1999 年相同) ; (3)在(2)的条件下,若生产一套学生桌椅需木材 0.07m3,求该县 2001 年使用一 次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅。计算中需用的有关数据为:每盒筷子 100 双,每双筷子的质量为 5g,所用木材的密度为 0.5×103kg/m3; (4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量,如何利用统计知识 去做,简要地用文字表述出来。 解析:(1) x ?

1 (0.6 ? 3.7 ? 2.2 ? 1.5 ? 2.8 ? 1.7 ? 1.2 ? 2.1 ? 3.2 ? 1.0) ? 2.0 10

所以,该县 1999 年消耗一次性筷子为 2×600×350=420000(盒) 。 2 (2)设平均每年增长的百分率为 X,则 2(1+X) =2.42, 解得 X1=0.1=10%,X2=-2.1(不合题意,舍去) 。 所以,平均每年增长的百分率为 10%; (3)可以生产学生桌椅套数为

0.005 ? 2.42 ? 100 ? 600 ? 350 ? 7260 (套) 。 0.5 ? 10 3 ? 0.07

[探究三]平均数、标准差(方差)的计算问题 例 3:在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手甲、乙打出的分数如下: 甲:9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 乙:9.5 8.8 9.5 9.5 9.9 9.5 9.6 根据以上数据,判断他们谁更优秀? 解析:7 个数据中去掉一个最高分和一个最低分后,余下的 5 个数为: 甲:9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5; 乙: 9.5 9.5 9.5 9.5 9.6

9.4 ? 9.4 ? 9.6 ? 9.4 ? 9.5 ? 9.46 ? 9.5 ,即 x ? 9.5 。 5 1 2 2 2 2 方差为: s ? [( 9.4 ? 9.5) ? (9.4 ? 9.5) ? ? ? ? ? (9.5 ? 9.5) ] ? 0.016 5 2 即 s ? 0.016
甲的平均数为: x ? 乙的平均数: 乙的方差为: [探究四]综合问题

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例 4: 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样 本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统 计表和频率分布直方图如下: 分组 频数 频率 10 0.25 [10,15) n 25 [15, 20) p m [20, 25) 2 0.05 [25,30) M 1 合计 ⑴求出表中 M 、 p 及图中 a 的值; ⑵若该校高一学生有 360 人, 试估计他们参加社区服务的次数在区间 ?15, 20? 内的人 数; ⑶在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一 人参加社区服务次数在区间 ? 20, 25? 内的概率. 解析: 【命题意图】 本小题主要考查统计与概率的相关知识, 具体涉及到频率分布表、 频率分布直方图以及概率的初步应用.

10 25 m 2 ? 0.25 , ? n, ? p, ? 0.05 . M M M M 又 10 ? 25 ? m ? 2 ? M ,解得 M ? 40 , n ? 0.625 , m ? 3 , n ? 0.075 . 则 [15, 20) 组的频率与组距之比 a 为0.125. (5分) ⑵参加在社区服务次数在区间 [15, 20) 内的人数为 360 ? 0.625 ? 225 人. (8 分) ⑶在样本中,处于 [20, 25) 内的人数为 3,可分别记为 A, B, C ,处于 [25,30) 内的人 数为 2,可分别记为 a , b . 从该 5 名同学中取出 2 人的取法有 ( A, a),( A, b),( B, a) ( B, b),(C, a),(C, b),( A, B),( A, C),( B, C),( a, b) 共 10 种;至多一人在 [20, 25) 内的情况有 ( A, a),( A, b),( B, a),( B, b),(C, a),(C, b),(a, b) 共 7 种,所以至多一人 7 参加社区服务次数在区间 ? 20,25? 内的概率为 . 10
【试题解析】解:⑴由题可知 三、方法提升 1.统计是为了从数据中提取信息,学习时根据实际问题的需求选择不同的方法 合理地选取样本,并从样本数据中提取需要的数字特征。不应把统计处理成数字运算 和画图表。 对统计中的概念 (如"总体"、 "样本"等) 应结合具体问题进行描述性说明, 不应追求严格的形式化定义 2.当总体中个体取不同值很少时,我们党用样本的频率分布标记频率分布梯形 图取估计总体体分布,总体分布排除了抽样造成的错误,精确反映了总体取值的概率 分布规律。 对于所取不同数值较多或可以在实数区间范围内取值的总体, 需用频率 分布直方图来表示相应的频率分布。当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小 时,频率分布直方图无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线.由于总体分布通 常不易知道,往往是用样本的频率分布估计总体分布。样本容量越大,估计就越 精确

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四、反思感悟:

五、课时作业 一、选择题 1.一个容量为 20 的样本数据,分组后,组别与频数如下: 组别 频数 (10,20] 2 (20,30] 3 (30,40] 4 (40,50] 5 (50,60] 4 (60,70] 2

则样本在(20,50]上的频率为 A.12%

( B.40%

) C.60% D.70%

解析: 本题考查样本的频率运算. 据表知样本分布在(20,50]的频数 3+4+5=12, 12 故其频率为 =0.6.答案:C 20 2.甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中,成绩统计用茎叶图表示如下, 若甲、乙两人的平均成绩分别是 X ( )


、X



,则下列结论正确的是

A.X 甲>X 乙,甲比乙成绩稳定 C. X 甲<X 乙,甲比乙成绩稳定

B.X 甲>X 乙,乙比甲成绩稳定 D.X 甲<X 乙,乙比甲成绩稳定

解析:由茎叶图知识,可知道甲的成绩为 6 8、69、70、71、72,平均成绩为 70; 乙的成绩为 63、68、69、69、71,平均成绩为 68;再比较标准差:甲的标准差 为 1 [(68-70)2+(69-70)2+(70-70)2+(71-70)2+(72-70)2] 5 = 2,乙的标准差为

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1 [(63-68)2+(68-68)2+(69-68)2+(69-68)2+(71-68)2] 5 = 6 5 > 2,故甲比乙的成绩稳定.答案:A 5

3.200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,时速在[50,60) 的汽车大约有 ( )

A.30 辆

B.40 辆

C.60 辆

D.80 辆

解析:面积为频率,在[50,60)的频率为 0.3,所以大 约有 200×0.3=60 辆.答案:C 4.(2009· 福建高考)一 个容量为 100 的样本,其数据的 分组与各组的频数如下: 则 样 本 数 据 落 在 (10,40] 上 的 频 率 为 ( ) A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64 组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7

解析:由列表知样本数据落在(10,40]上 的频数为 52, ∴频率为 0.52.答案:C 5.甲、乙两射击运动员进行比赛,射击相同的次数,已知 两运动员射击的环数稳定在 7,8,9,10 环, 他们的成绩频率 分布条形图如下:

由乙击中 8 环及甲击中 10 环的概率与甲击中环数的平均值都正确的一组数据依次 是( ) A.0.35 0.25 8.1 B.0.35 0.25 8.8 D.0.25 0.35 8.8

C.0.25 0.35 8.1

解析:乙击中 8 环的概率为 1-0.2-0.2-0.35=0.25;

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甲击中 10 环的概率为 1-0.2-0.15-0.3=0.35; 甲击中环数的平均值为 7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8. 答案:D 6.(2009· 四川高考)设矩形的长为 a,宽为 b,其比满足 b:a= 5-1 ≈0.618,这种 2

矩形给人以美感,称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.下面是某工 艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结 论是( )

A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 0.598+0.625+0.628+0.595+0.639 解析: x甲 = =0.617, 5

x乙 =

0.618+0.613+0.592+0.622+0.620 =0.613, 5

∴ x甲 与 0.618 更接近.答案:A 二、填空题 7.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的 中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是____________. 解析:这 10 个数的中位数为 a+b =10.5.这 10 个数的平均数为 10. 2

要使总体方差最小,即(a-10)2+(b-10)2 最小. 又∵(a-10)2+(b-10)2=(21-b-10)2+(b-10)2 =(11-b)2+(b-10)2=2b2-42b+221, ∴当 b=10.5 时,(a-10)2+(b-10)2 取得最小值. 又∵a+b=21,∴a=10.5,b=10.5.答案:10.5,10.5

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8.某地教育部门为了解学生在数学答卷中的有关信息,从上次考试的 10 000 名考 生的数学试卷中,用分层抽样的方法抽取 500 人,并根据这 500 人的数学成绩画 出样本的频率分布直方图(如图).则这 10 000 人中数学成绩在[140,150]段的约是 __ _ _____人.

解析: 本题考查了频率直方图的一些知识, 由图在[140,150]的频率为 0.008×10, 所以在 10 000 人中成绩在[140,150]的学生有 10 000×0.008×10=800 人. 答案:800 9.(2010· 珠海模拟)如图是 CBA 篮球联赛中,甲乙两名运动员某赛季一些场次得分 的茎叶图,则平均得分高的运动员是________.

解析:从茎叶图上可得甲得分:8,10,15,16,22,23,25,26,27,32,平均值为 20.4;乙 得分: 8,12,14,17,18,19,21,27,28,29, 平均值为 19.3, ∴平均得分高的运动员是甲. 答案:甲 三、解答题 10.甲、乙两台机床同时加工直径为 100 mm 的零件,为了检验产品的质量,从产 品中各随机抽取 6 件进行测量,测得数据如下(单位 mm): 甲:99,100,98,100,100,103 乙:99,100,102,99,100,100

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(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差; (2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求. 99+100+98+100+100+103 解:(1) x甲 = =100 mm, 6

x乙 =

99+100+102+99+100+100 =100 mm, 6 1

2 = [(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103 S甲 6

7 -100)2]= mm2. 3
2 = [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100 S乙 6

1

-100)2]=1 mm2.
2 2 (2)因为 S 甲 > S甲 , 说明甲机床加工零件波动比较大, 因此乙机床加工零件更符

合要求. 11.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 5 项预赛成绩记 录 如下: 甲 乙 82 95 82 75 79 80 95 90 87 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (3)现要从中选派一人参加数学竞赛, 从统计学的角度考虑, 你认为选派哪位学生 参加合适?说明理由. 解:(1)作出茎叶图如下:

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(2)记甲被抽到的成绩为 x,乙被抽到的成绩为 y,用数对(x,y)表示基本事件: (82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85) (82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85) (79,95) (79,75) (79,80) (79,90) (79,85) (95,95) (95,75) (95,80) (95,90) (95,85) (87,95) (87,75) (87,80) (87,90) (87,85) 基本事件总数 n=25. 记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件: (82,75) (82,80) (82,75) (82,80) (79,75) (95,75) (95,80) (95,90) (95,85) (87,85) (87,75) (87, 80) m 12 事件 A 包含的基本事件数是 m=12.所以 P(A)= = . n 25 (3)派甲参赛比较合适.理由如下:
2 2 x 甲=85, x 乙=85, S 甲 =31.6, S乙 =50. 2 2 ∵ x 甲= x 乙, S 甲 < S乙 ,

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 12. 从高三学生中抽取 50 名同学参加数学竞赛, 成绩的分组及各组的频数如下(单位: 分): [40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100),8. (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图; (3)估计成绩在[60,90)分的学生比例; (4)估计成绩在 85 分以下的学生比例.

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解:(1)频率分布表如下: 成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 频数 2 3 10 15 12 8 50 频率 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24 0.16 1 频率/组距 0.004 0.006 0.02 0.03 0.0 24 0.016 0.1

(2)频率分布直方图和折线图为:

(3) 所 求 的 学 生 比 例 为 0 . 2+0.3+0.24=0.74=74%.(4) 所 求 的 学 生 比 例 为 1-(0.12+0.16)=1-0.28=0.72=72%.

一、

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