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2015届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期):K单元概率


K 单元概率 目录 K 单元概率 1 K1 随事件的概率 1 K2 古典概型 3 K3 几何概型 6 K4 互斥事件有一个发生的概率 7 K5 相互对立事件同时发生的概率 7 K6 离散型随机变量及其分布列 7 K7 条件概率与事件的独立性 11 K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 11 K9 单元综合 12

K1 随事件的概率 【数学理卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412) 】18. (本小题满分 12 分)有一 种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则如下表:明 文由表中每一排取一个字符组成, 且第一排取的字符放在第一位, 第二排取的字符放在第二 位, 第三排取的字符放在第三位, 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组组成. 第一排[] 第二排 第三排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 A 11 E 21 M 1 B 12 F 22 N 2 C 13 G 23 P 3 D 14 H 24 Q 4

设随机变量 ? 表示密码中所含不同数字的个数. (Ⅰ)求 P(? ? 2) ; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和它的数学期望. 【知识点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率.K1 K6

1 101 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 8 ;(Ⅱ) 32
解析: (I)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码的第 1,2 列分别总 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码. (II)由题意可知, ? 的取值为 2,3,4 三种情形. 若 ? ? 3 ,注意表格的第一排总含有数字 1,第二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字 1,
? P(? ? 2) ? 23 1 ? . 43 8 ………4 分

1

? P(? ? 3) ?
2, 3 或 1,2,4.

1 2(22 A3 ? 2C32 ? 1) 19 ? . 32 43



? ? 4, 则 P(? ? 4) ?

1 2 2 A3 A2 ? A32 A2 9 ? 3 4 32 (或用 1 ? P (? ? 2) ? P (? ? 3) 求得). ……8 分

? ? 的分布列为:

1 19 9 101 ? E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 32 32 32 ……………………………………12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码 的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码,由此可求 P(ξ=2) ; (Ⅱ)取得 ξ 的取值,分别求出相应的概率,即可得到 ξ 的概率分布列和它的数学期望.

【数学文卷· 2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考 (201412) word 版】 16. (本 小题满分 12 分) 已知某单位有 50 名职工,从中按系统抽样抽取 10 名职工. (1)若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职 工的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤) ,获 得体重数据的茎叶图如图所示,现从这 10 名 职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工,求体重为 76 公斤的 职工被抽取到的概率. 【知识点】随事件的概率 K1

4 【答案】 (1)2,7,12,17,22,27,32,37,42,47(2) 5
【解析】 (1)由题意,第 5 组抽出的号码为 22.因为 22=5×(5-1)+2 所以第 1 组抽出的号 码应该为 2,抽出的 10 名职工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47 (2)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工,共有 10 种不同的取法: (73,76) , (73,78) , (73,79) , (73,81) , (76,78) , (76,79) , (76,81) , (78,79) ,

4 (78,81) , (79,81) .故所求概率为:P= 5 .
【思路点拨】 (1)利用系统抽样的特点,可确定其抽样比,第 1 组抽出的号码,得所有被抽 出职工的号码. (2)通过列举,利用古典概型概率公式,可得结果

2

K2 古典概型 【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】18.(本题满分 12 分) 某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况, 该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中 学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2) 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概 率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生, 用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列. 【知识点】随机抽样古典概型离散型随机变量以及分布列 I1 K2 K6

【答案】 (1)

2 ;(2) 7 ;(3)

.

【解析】解析: (1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,

抽取的样本容量与总体个数的比值为 ∴应从

. . …………… 4 分

四所中学抽取的学生人数分别为

(2)设“从 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件 M , 从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 来自同一所中学的取法共有
2 C50 ? 1225 种,… 5 分

2 2 2 C15 ? C20 ? C10 ? C52 ? 350 . …………… 6 分

P( M ) ?


350 2 ? 1225 7 .

2 答:从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 7 . … 7 分
(3)由(1)知, 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 .
3

依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,

………… 8 分

2 1 1 2 C10 C15 C10 C15 3 1 7 P(? ? 0) ? 2 ? P(? ? 1) ? ? P(? ? 2) ? 2 ? 2 C25 20 , C25 2, C25 20 .…… 11 分

∴ ? 的分布列为: …

12 分

【思路点拨】 (1)由题意知抽取的样本容量与总体个数的比值为

,由此能求出应从 A,

B,C,D 四所中学抽取的学生人数; (2)利用组合的意义分别计算出从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生的方法和这两名学生来自同一所中学的取法, 再利用古典概型的 概率计算公式即可得出; (3)由(1)知,在参加问卷调查的 50 名学生中,来自 A,C 两所 中学的学生人数分别为 15,10.可得 ξ 的可能取值为 0,1,2.利用超几何分布的概率计算

P (? ? k) ?
公式 可得出.

2? k k C10 .C15 (k ? 0, 1, 2), 2 C25 即可得到分布列,利用数学期望的概率计算公式即

【数学理卷·2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试(201412) 】9.从个位数与十位数 之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为 0 的概率是()

1 1 4 2 A. 9 B. 3 C. 9 D. 9
【知识点】古典概型 K2 【答案】D 【解析】个位数与十位数之和为奇数的两位数中,其个位数与十位数有一个为奇数,一个为 偶数,共有
1 1 C5 C5 C1 C1 + 5 4 =45 记:“个位数与十位数之和为奇数的两位数中,其个位数为 0”

为事件 A,则 A 包含的结果:10,30,50,70,90 共 5 个由古典概率的求解公式可得,

1 P(A)= 9
【思路点拨】先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数 n,然后再求个位数与十位数 之和为奇数的两位数的个数,由古典概率的求解公式可求.

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】17. (本题 满分 13 分)从某校高三学生中抽取 n 名学生参加数学竞赛,根据成绩(单位:分)的分组
4

及各数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知成绩的范围是区间 [40, 100),且成绩在区间 [70, 90)的学生人数是 27 人.⑴求 n 的值; ⑵若从数学成绩(单位:分)在[40,60)的学生中随机选取 2 人进行成绩分析,求至少有 1 人 成绩在[40, 50)内的概率.

【知识点】用样本估计总体;古典概型. I2

K2

7 90 ? 的频率是: 【答案】 【解析】 (1)50; (2) 10 .解析:⑴成绩在区间 ?70,
1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54,



n?

27 ? 50 0.54 人.
40, 50 ?
的学生人数是:50×0.04=2 人,

⑵成绩在区间 ? 成绩在区间 ?

50, 60 ?

的学生人数是:50×0.06=3 人, 的学生分别是 A1,A2,成绩在区间 ?

设成绩在区间 ? B3,

40, 50 ?

50, 60 ?

的学生分别是 B1,B2,

60 ? 的学生中随机选取 2 人的所有结果有:(A1,A2),(A1,B1), 从成绩在 ?40,
(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 种情况.

50 ? 内的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2, 至少有 1 人成绩在 ?40,
B1),(A2,B2),(A2,B3)共 7 种情况.

50 ? 内的概率 P= 10 . ∴至少有 1 人成绩在 ?40,

7

频数 90 ? 的频率,由频率= n 得 n 值; 【思路点拨】 (1)先求成绩在区间 ?70, (2)分别求出成
绩在区间 ?

40, 50 ?

的学生人数 2 人,和成绩在区间 ?

50, 60 ?

的学生人数 3 人,用列举法写出

50 ? 内的结果有 7 从这 5 人中随机选取 2 人的所有情况共 10 种, 其中至少有 1 人成绩在 ?40,
5

种,从而得所求概率.

K3 几何概型 【数学理卷· 2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 (201411) 】 5.已知

? ? ? x, y ? x ? 1, y ? 1

?

?,A 是曲线 y ? x 与 y ?
2

x 围成的区域,若向区域 ? 上随

机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为()

1 A. 3

1 B. 4

1 C. 8

1 D. 12
y ? x2 y? x

【知识点】几何概型 K3

? ? ? ? 【答案】 【解析】D 解析:联立得 ?

?x ? 1 ? y ?1 ,解得 ?

?x ? 0 ? y ?0, 或?

设曲线与曲线围成的面积为 S,则

1 S ? ? 0( x-x2)dx ?

1 ? ? ? x, y ? x ? 1, y ? 1 3 ,而 ,

?

?

表示的区域是一个边长为 2 的正方形,∴Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A(阴影部分)

1 S 1 P ? 阴影 ? 3 ? S 2 ? 2 12 ,故选 D. 中的概率

【思路点拨】本题利用几何概型求解.欲求恰好落在阴影范围内的概率,只须求出阴影范围 内的面积与正方形的面积比即可.为了求出阴影部分的面积,联立由曲线 y ? x 和曲线
2

y ? x 两个解析式求出交点坐标,然后在 x ? (0, 1) )区间上利用定积分的方法求出围成的
面积即可.

【数学理卷· 2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试 (201411) 】 4. 已知实数 执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为( )

x ? ?1,9?



6

5 3 2 1 A. 8 B. 8 C. 3 D. 3
【知识点】程序框图几何概型 L1 K3 【答案】 【解析】B 解析:设实数

x ? ?1,9?



经过第一次循环得到 x=2x+1,n=2 经过第二循环得到 x=2(2x+1)+1,n=3 经过第三次循环得到 x=2[2(2x+1)+1]+1,n=3 此时输出 x 输出的值为 8x+7 令 8x+7≥55,得 x≥6

9?6 3 ? 由几何概型得到输出的 x 不小于 55 的概率为= 9 ? 1 8 ,故选择 B.
【思路点拨】由程序框图的流程,写出前三项循环得到的结果,得到输出的值与输入的值的 关系,令输出值大于等于 55 得到输入值的范围,利用几何概型的概率公式求出输出的 x 不 小于 55 的概率.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】14.随机向边长为 5, 5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是____. 【知识点】几何概型的概率求法. K3 ? 1? 【答案】 【解析】 24 解析:分别以三角形三个顶点为圆心,1 为半径作圆,则在三角形内 部且在三圆外部的区域,即为与三角形三个顶点距离不小于 1 的部分,

1 ? ?12 ? P ? 1? 2 ? 1? 1 24 ?6? 4 2 即 .
【思路点拨】求出三角形中,到三顶点距离都大于 1 的点构成的区域面积,此面积除以三角 形面积,即为所求概率.

K4 互斥事件有一个发生的概率 K5 相互对立事件同时发生的概率 K6 离散型随机变量及其分布列 【数学理卷· 2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 (201411) 】 20. (本小题满分 12 分) 节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先 后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公
7

路的车速 (km/h) 分成六段 [80,85), [85,90), [90,95), [95,100), [100,105), [105,110) 后得到 如下图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法? (Ⅱ) 求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (Ⅲ)若从车速在 [80,90) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出 的 2 辆车中车速在 [85,90) 的车辆数 ? 的分布列及 数学期望. 【知识点】频率分布直方图,分布列与数学期望 I2 K6 【答案】 【解析】 (Ⅰ)系统抽样(Ⅱ)中位数的估计值

为 97.5 ( Ⅲ ) ? 的 分 布 列 为

均值

E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? 15 15 3 .

解析: (I)系统抽样……………………2 分 (II)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 97.5 , 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 95) ? 0.5 ,解得 x ? 97.5
即中位数的估计值为 97.5 ……………………6 分 (Ⅲ)从图中可知,车速在 车速在

?80,85? 的车辆数为 m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆).

?85,90? 的车辆数为 m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ,?? ? 0,1, 2
2 0 1 1 0 2 C2 C4 1 C2 C4 8 C2 C4 6 ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

P ?? ? 0 ? ?

? 的分布列为
E (? ) ? 0 ? 1?
均值

8 6 4 ? 2? ? 15 15 3 .

……………………12 分
8

【思路点拨】 (II)众数的估计值为最高的矩形的中点(Ⅲ)由题意求出

P ?? ? 0 ? ?

2 0 1 1 0 2 C2 C4 1 C2 C4 8 C2 C4 6 ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

即可求得分布列与期望.

【数学理卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412) 】18. (本小题满分 12 分)有一 种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则如下表:明 文由表中每一排取一个字符组成, 且第一排取的字符放在第一位, 第二排取的字符放在第二 位, 第三排取的字符放在第三位, 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组组成. 第一排[] 第二排 第三排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 A 11 E 21 M 1 B 12 F 22 N 2 C 13 G 23 P 3 D 14 H 24 Q 4

设随机变量 ? 表示密码中所含不同数字的个数. (Ⅰ)求 P(? ? 2) ; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和它的数学期望. 【知识点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率.K1 K6

1 101 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 8 ;(Ⅱ) 32
解析: (I)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码的第 1,2 列分别总 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码. (II)由题意可知, ? 的取值为 2,3,4 三种情形. 若 ? ? 3 ,注意表格的第一排总含有数字 1,第二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字 1,
? P(? ? 2) ? 23 1 ? . 43 8 ………4 分

? P(? ? 3) ?
2, 3 或 1,2,4.

1 2(22 A3 ? 2C32 ? 1) 19 ? . 32 43



? ? 4, 则 P(? ? 4) ?

1 2 2 A3 A2 ? A32 A2 9 ? 3 4 32 (或用 1 ? P (? ? 2) ? P (? ? 3) 求得). ……8 分

? ? 的分布列为:

9

1 19 9 101 ? E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 32 32 32 ……………………………………12 分 【思路点拨】 (Ⅰ)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码

的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码,由此可求 P(ξ=2) ; (Ⅱ)取得 ξ 的取值,分别求出相应的概率,即可得到 ξ 的概率分布列和它的数学期望.

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】18.(本题满分 12 分) 某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况, 该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中 学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2) 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概 率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生, 用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列. 【知识点】随机抽样古典概型离散型随机变量以及分布列 I1 K2 K6

【答案】 (1)

2 ;(2) 7 ;(3)

.

【解析】解析: (1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,

抽取的样本容量与总体个数的比值为 ∴应从

. . …………… 4 分

四所中学抽取的学生人数分别为

(2)设“从 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件 M , 从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有
2 C50 ? 1225 种,… 5 分

10

来自同一所中学的取法共有

2 2 2 C15 ? C20 ? C10 ? C52 ? 350 . …………… 6 分

P( M ) ?


350 2 ? 1225 7 .

2 答:从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 7 . … 7 分
(3)由(1)知, 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , ………… 8 分

2 1 1 2 C10 C15 C10 C15 3 1 7 P(? ? 0) ? 2 ? P(? ? 1) ? ? P(? ? 2) ? 2 ? 2 C25 20 , C25 2, C25 20 .…… 11 分

∴ ? 的分布列为: …

12 分

【思路点拨】 (1)由题意知抽取的样本容量与总体个数的比值为

,由此能求出应从 A,

B,C,D 四所中学抽取的学生人数; (2)利用组合的意义分别计算出从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生的方法和这两名学生来自同一所中学的取法, 再利用古典概型的 概率计算公式即可得出; (3)由(1)知,在参加问卷调查的 50 名学生中,来自 A,C 两所 中学的学生人数分别为 15,10.可得 ξ 的可能取值为 0,1,2.利用超几何分布的概率计算

P (? ? k) ?
公式 可得出.

2? k k C10 .C15 (k ? 0, 1, 2), 2 C25 即可得到分布列,利用数学期望的概率计算公式即

K7 条件概率与事件的独立性 K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】6.甲、乙、 丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表: 甲 平均成绩 x 89 乙 89 丙 86 丁 85

11

方差 S

2

2.1

3.5

2.1

5.6

从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛,最佳人选是( ) A. 甲 B.乙 C.丙 D.丁 【知识点】均值与方差的意义. K8 【答案】 【解析】A 解析:均值反映一组数据的平均水平,其越大越好;方差反映一组数据 波动程度,其越小越好.故选 A. 【思路点拨】根据均值与方差的意义得正确选项.

K9 单元综合

12



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