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高二年级期中考试数学试题(必修5综合)


高二年级期中考试数学试题
一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1、在等比数列 {an } 中, a1 ? ?16, a4 ? 8, 则 a7 ? ( ) A. ? 4 B. ? 4 C. ? 2 D. ? 2 ) 2、在三角形 ABC 中,如果 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc ,那么 A 等于( A. 30 0 3、在⊿ABC 中, a ? 2 A、 60 或120
? ?

B. 60 0

C. 1200

D. 1500 )

3, b ? 2 2, B ? 45?, 则∠A 的大小为(
? ?

B、 30 或150

C、 60

?

D、 120

?

4、设等差数列 {an } 的前 n 项之和为 S n ,已知 S10 A、12 B、20 C、40 D、100

? 100 ,则 a4 ? a7 ? (



5、 数列{an}的通项公式是 a n = A.12 B.11

10 1 (n∈N*),若前 n 项的和为 ,则项数为 11 n(n ? 1)

C.10

D.9 )

6、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3 A. 10 7、若 a ? 1, 则 a ? A. 2 B. 1 3 C. 1 8

S3 1 S6 = ,则 为 ( S6 3 S12
D. 1 9

1 的最小值是( ) a ?1

B. a

C. 3

D.

2 a a ?1

8、已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 ( A .15 B.17 C.19 D .21

)

9、在直角坐标系内,满足不等式 x 2 ? y 2 ? 0 的点 ( x, y ) 的集合(用阴影表示)正确的是

1

10、在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成 立,则 a 的取值范围为( ) A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ?
3 1 ?a? 2 2 1 3 ?a? 2 2

D. ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卷上,填写 在本卷上无效) 11、已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,那么它的通项公式为 an=_________ 12、若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3 a +3 b 的最小值是______________ 13、不等式
2x ?1 ? 1 的解集是 3x ? 1

. ;② y ? x ?
4 4 ?2; ? 2 ;③ y ? x ? x x

14、在下列函数中: ① y ? ④ y ?| x ?

x2 ? 2 x2 ?1

1 | ;⑤ y ? log2 x ? log x 2, 其中 x ? 0 且 x ? 1 ;⑥ y ? 3 x ? 3? x .其中最小值为 x 2 的函数是 (填入序号).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、(本小题满分 12 分) 已知不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x2 ? x ? 6 ? 0 的解集为 B。 (1)求 A∩B; (2)若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 A∩B,求不等式 ax 2 ? x ? b ? 0 的解集。 16、(本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)求 ?an ? 的通项; (2)数列 ?an ? 从哪一项开始小于 0; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 值。

2

17、(本小题满分 14 分)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已 知c ? 2,C ?
? . 3

(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积

18.(本小题满分 14 分)
2 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? ?3n ? 22n+1 ,

(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式. (Ⅱ)求数列{| an |}的前 n 项和 T n .

19.(本小题满分 14 分) 某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率 分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不 超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个 项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

3

20、(本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 an?1 ? 2Sn ? 1, n ? N .
?

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; ( Ⅱ ) 等 差 数 列 {bn } 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 为 Tn , 且 T3 ? 15, 又

a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn ;
(III)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Pn .

4

高二数学答题卷
班级________ 座号______ 姓名_________ 一、 选择题(共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分________

二、填空题(共 20 分) 11、______________ 13、_______________ 三、解答题(共 80 分) 12、_______________ 14、_______________

5

高二年级期中考试数学参考答案
一、 选择题 1—5 ABABC 二、填空题 11、 an =2n 三、解答题 15、解:(1)由 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A=(-1,3) 由 x2 ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 ,所以 B=(-3,2), ∴A∩B=(-1,2) (2)由不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为(-1,2), ……2 分 ……4 分 ……6 分 12、6
1? ? 13、 ? x | -2 ? x ? - ? 14、①③④⑥ 3? ?

6—10 ACBBD

? 1? a ? b ? 0 ?a ? ?1 所以 ? ,解得 ? ?4 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?2
∴ ? x2 ? x ? 2 ? 0 ,解得解集为 R. 16、.解: (1)? a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3 (2) ? 28 ? 3n ? 0 ? n ? 9

……10 分 ……12 分

? an ? 28 ? 3n
1 3

……3 分

∴数列 ?an ? 从第 10 项开始小于 0

……6 分

(3) a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项
10 ? 9 ? (?6) ? ?20 2 17、解:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b2 ? ab ? 4 ,

其和 S ? 10 ? 25 ?

……12 分

1 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A ,当 cos A ? 0 时, A ?
? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

6

1 2 3 所以 △ ABC 的面积 S ? bc ? 2 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?
1 2 3 . ab sin C ? 2 3

解:⑴由Sn =-3n 2 +22n+1, ∴当n=1时,a1 =S1 =-3+22+1=20 当n ? 2时,a n =Sn -Sn-1 =-3n 2 +22n+1+3(n-1) 2 -22n+22-1=-6n+25 且当n=1时不适合上式 n=1 ?20 ∴a n = ? ?-6n+25 n ? 2
⑵由第一问知,当n ? 4时,a n >0,当n ? 5时a n <0, ∴当n ? 4时,Tn =Sn =-3n 2 +22n+1 当n ? 5时,Tn =a1 +a 2 +a 3 +a 4 -(a 5 +a 6 +…+a n )      =S4-(Sn -S4) =2S4 -Sn =3n 2 -22n+81 ? ?-3n +22n+1 综上,Tn = ? 2 ? ?3n -22n+81
2

y (0,18 )

n?4 n?5

19、解:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资 M(4,6) 甲、乙两个项目, ? x ? y ? 10, ?0.3x ? 0.1y ? 1.8, (10,0 ? 由题意知 ? ) (6,0) x O x ? 0 , ? x+y=10 0.3x+0.1y=1. ? x+0.5y=0 y ? 0, 8 ? 目标函数 z = x+0.5y 上述不等式组表示的平面区域如图所示, 阴影部分(含边界)即为可行域. 作直线 l0: x+0.5y =0,并作平行于 l0 的 一组直线 x+0.5y = z, z∈R,与可行域相交, 其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x+0.5y =0 的距离最大,这里 M 点是直

(0,10 )

7

? x ? y ? 10, 线 x+y=10 和 0.3x+0.1y =1.8 的交点.解方程组 ? 得 x =4, y =6. ?0.3x ? 0.1y ? 1.8, 此时 z = 1×4+0.5×6=7(万元). 因为 7>0,所以当 x =4, y =6 时,z 取得最大值
20、解:(Ⅰ)当 n ? 2 时, an?1 ? an ? (2Sn ? 1) ? (2Sn?1 ? 1) ? 2an , 即 an?1 ? 3an , 又 a1 ? 1, a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ? 3a1 , 所以 {an } 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列.故 an ? 3n?1 . (Ⅱ)设数列 {bn } 的公差为 d , 则 d ? 0 . 由 T3 ? 15, 得 b2 ? 5 . 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 则

? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3?
Tn ? 3n ?

2

,得 d ? 2 .故 b1 ? 3 ,

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n . 2

n?1 n ?1 (III)由 an ? 3 , bn ? 1 ? 2n ,所以 anbn ? (1 ? 2n)3 ,

2 n?1 故P , n ? 3?1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 3 ? ?? ? 2n ? 1? 3

3Pn=     3? 3+5 ? 32 +7 ? 33 +…+(2n+1) ? 3n
两式相减得, ?2 Pn ? 3 ? 2(3 ? 32 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ) ? ? 2n ? 1? 3n ,
3

? 3 ? 3 ? 3n ?1 ? 1? ? ? 2n ? 1? 3n ? ?2n ? 3n ,
n ∴P n ? n?3 .

8



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