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宁武县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

宁武县高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时, 下列四个结论:①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥面 SAC;④EP∥面 SBD 中恒成立的为( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.②④

B.③④

C.①②

D.①③ <0,且 f(2)=4,则不等式 f(x)﹣

2. 定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足: >0 的解集为( A.(2,+∞) ) B.(0,2) C.(0,4) D.(4,+∞)

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 3. 如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 上, 点 Q 在曲线 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1上, 那么 | PQ | 的最小值为 ( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 5 ? 1 B.



4 ?1 5


C. 2 2 ?1

D. 2 ? 1

4. 下列函数中,既是奇函数又是减函数的为( A.y=x+1 B.y=﹣x2 C. D.y=﹣x|x|

? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? 5. 已知, y 满足不等式 ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? x ? 1, ?
A.3 B.



13 2


C.12

D.15

6. 下列命题中的说法正确的是(
2

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1>0” D.命题“在△ ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆否命题为真命题

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7. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=﹣1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一 定错误的是( A. ) B. C. ) D.

8. 执行如图所示的程序框图,输出的结果是(

A.15

B.21

C.24

D.35

9. P 是双曲线

=1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则△ PF1F2 ) C.c D.a+b﹣c )

的内切圆圆心的横坐标为( A.a B.b

10.设 0<a<1,实数 x,y 满足

,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是(

A.

B.

C.

D.

11.若函数 y=ax﹣(b+1)(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限,则有( A.a>1 且 b<1 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b>0 D.0<a<1 且 b<0

) )

12.单位正方体(棱长为 1)被切去一部分,剩下部分几何体的三视图如图所示,则(

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A.该几何体体积为

B.该几何体体积可能为 D.该几何体唯一 ) )

C.该几何体表面积应为 +

13.已知 a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a

14.某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为(

A.20+2π

B.20+3π

C.24+3π

D.24+3π

15.若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 分别在直线: x ? y ? 11 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 上移动,则 AB 中点 M 所 在直线方程为( A. x ? y ? 6 ? 0 ) B. x ? y ? 6 ? 0 C. x ? y ? 6 ? 0 ▲ . D. x ? y ? 6 ? 0

二、填空题
16.设幂函数 f ? x ? ? kx? 的图象经过点 ? 4, 2 ? ,则 k ? ? = 恒成立,则实数的取值范围是 . . . 17.设函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? ax 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,且对不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 18.已知 tanβ= ,tan(α﹣β)= ,其中 α,β 均为锐角,则 α= 19.若直线 y﹣kx﹣1=0(k∈R)与椭圆

恒有公共点,则 m 的取值范围是

三、解答题
20.(本小题满分 12 分)

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?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , m ? (sin B,5sin A ? 5sin C) ,

n ? (5sin B ? 6sin C,sin C ? sin A) 垂直. (1)求 sin A 的值;
(2)若 a ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值.

21.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 C (2, 0) 的直线与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于点 A 、 B 两点,设

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .
(1)求证: y1 y2 为定值; (2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程 和弦长,如果不存在,说明理由.

22.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a、b、c,不等式 x2cos C+4xsin C+6≥0 对一切实数 x 恒 成立. (1)求 cos C 的取值范围; (2)当∠C 取最大值,且△ABC 的周长为 6 时,求△ABC 面积的最大值,并指出面积取最大值时△ABC 的 形状. 【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.

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23.已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆 的方程; 交于 、

的离心率

,且点

在椭圆

上.

(Ⅱ)直线 与椭圆 面积的最大值.

两点,且线段

的垂直平分线经过点

.求



为坐标原点)

24.已知函数 f(x)=x|x﹣m|,x∈R.且 f(4)=0 (1)求实数 m 的值. (2)作出函数 f(x)的图象,并根据图象写出 f(x)的单调区间 (3)若方程 f(x)=k 有三个实数解,求实数 k 的取值范围.

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25.在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ρ2﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0,以极点为原点,极轴方向为 x 正半轴 方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 (Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ)设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的切线,求这条切线长的最小值. (t 为参数).

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宁武县高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 A 【解析】解:如图所示,连接 AC、BD 相交于点 O,连接 EM,EN. 在①中:由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线, 不可能 EP∥BD,因此不正确; 在②中:由正四棱锥 S﹣ABCD,可得 SO⊥底面 ABCD,AC⊥BD, ∴SO⊥AC. ∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面 SBD, ∵E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点, ∴EM∥BD,MN∥SD,而 EM∩MN=M, ∴平面 EMN∥平面 SBD,∴AC⊥平面 EMN,∴AC⊥EP.故正确. 在③中:由①同理可得:EM⊥平面 SAC, 若 EP⊥平面 SAC,则 EP∥EM,与 EP∩EM=E 相矛盾, 因此当 P 与 M 不重合时,EP 与平面 SAC 不垂直.即不正确. 在④中:由②可知平面 EMN∥平面 SBD, ∴EP∥平面 SBD,因此正确. 故选:A.

【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

2. 【答案】B 【解析】解:定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足: ∵f(2)=4,则 2f(2)=8, <0.

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f(x)﹣ >0 化简得 当 x<2 时, ? 故得 x<2, ∵定义在(0,+∞)上.



成立.

∴不等式 f(x)﹣ >0 的解集为(0,2). 故选 B. 【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式,从已知条件入手,找个关系求解.属于中档题. 3. 【答案】A 【解析】 试题分析:根据约束条件画出可行域 Z ?| PQ | 表示圆上的点到可行域的距离,当在点 A 处时,求出圆心到可 行域的距离内的点的最小距离 5 ,?当在点 A 处最小, | PQ | 最小值为 5 ? 1 ,因此,本题正确答案是 5 ? 1 .

考点:线性规划求最值. 4. 【答案】D 【解析】解:y=x+1 不是奇函数; y=﹣x2 不是奇函数; 是奇函数,但不是减函数; y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数,

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故选:D. 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性,难度不大,属于基础题. 5. 【答案】C

考点:线性规划问题. 【易错点睛】线性规划求解中注意的事项:(1)线性规划问题中,正确画出不等式组表示的平面区域是解题 的基础.(2)目标函数的意义,有的可以用直线在 y 轴上的截距来表示,还有的可以用两点连线的斜率、两 点间的距离或点到直线的距离来表示.(3)线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得,特别地 对最优整数解可视情况而定. 6. 【答案】D
2 2 【解析】解:A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 错误,

B.由 x2+5x﹣6=0 得 x=1 或 x=﹣6,即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件,故 B 错误, C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1≤0﹣5,故 C 错误, D.若 A>B,则 a>b,由正弦定理得 sinA>sinB,即命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的为真命 题.则命题的逆否命题也成立,故 D 正确 故选:D. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断,含有量词的命 题的否定,比较基础. 7. 【答案】C 【解析】解;∵f′(x)= f′(x)>k>1, ∴ >k>1,

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即 当 x= 即 f( 故 f( 所以 f( 故选:C. 8. 【答案】C

>k>1, 时,f( ) )> )< , ,一定出错, )+1> ﹣1= ×k= ,

【解析】【知识点】算法和程序框图 【试题解析】 否, 则输出 S=24. 故答案为:C 9. 【答案】A 否, 否, 是,

【解析】解:如图设切点分别为 M,N,Q, 则△PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 Q 横坐标相同. 由双曲线的定义,PF1﹣PF2=2a. 由圆的切线性质 PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a, ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c, ∴F2Q=c﹣a,OQ=a,Q 横坐标为 a. 故选 A.

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质,强调了双曲线的定义.

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10.【答案】A 【解析】解:0<a<1,实数 x,y 满足 轴对称, 在(0,+∞)上单调递增,且函数的图象经过点(0,1), 故选:A. 【点评】本题主要指数式与对数式的互化,函数的奇偶性、单调性以及特殊点,属于中档题. 11.【答案】B
x 【解析】解:∵函数 y=a ﹣(b+1)(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限, 0 ∴根据图象的性质可得:a>1,a ﹣b﹣1<0,

,即 y=

,故函数 y 为偶函数,它的图象关于 y

即 a>1,b>0, 故选:B 12.【答案】C 【解析】解:由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为 1 的正方体,截掉一个角(三棱锥)得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为 1 该几何体的表面积由三个正方形,有三个两直角边为 1 的等腰直角三角形和一个边长为 故其表面积 S=3?(1×1)+3?( ×1×1)+ 故选:C. 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求表面积, 其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题 的关键. 13.【答案】C 【解析】解:由对数和指数的性质可知, ∵a=log20.3<0 b=20.1>20=1 c=0.21.3 < ∴a<c<b 故选 C. 14.【答案】B 【解析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体(一个半圆柱与正方体的组合体), 其底面面积 S=2×2+ =4+ ,
0.20=1

的正三角形组成

?(

2 )=



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底面周长 C=2×3+

=6+π,高为 2,

故柱体的侧面积为:(6+π)×2=12+2π, 故柱体的全面积为:12+2π+2(4+ 故选:B 【点评】 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图, 其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解 答的关键. 15.【答案】 D 【解析】 )=20+3π,

考 点:直线方程

二、填空题
16.【答案】 【解析】
3 2

1 3 ? 试题分析:由题意得 k ? 1, 4 ? 2 ? ? ? ? k ? ? ? 2 2 考点:幂函数定义
17.【答案】 (??, ?1] 【解析】

?1 ? ,2 ? ?2 ? ?

3 3 2 2 试题分析:因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故得不等式 x1 ? x2 ? ?1 ? a ? x1 ? x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 ,即

?

?

x ?x ? x1 ? x2 ? ? ?? 1 2 ?

2 ? 3x1 x2 ? ? ?1 ? a ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 ,由于 ? ? ? 2 2 f ' ? x ? ? 3x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ,令 f ' ? x ? ? 0 得方程 3x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ? 0 ,因 ? ? 4 ? a 2 ? a ? 1? ? 0 , 故 2

2 ? x1 ? x2 ? ? ?1 ? a ? ? 1 ? 3 2 , 代入前面不等式,并化简得 ?1 ? a ? ? 2a ? 5a ? 2 ? ? 0 ,解不等式得 a ? ?1 或 ? a ? 2 , ? 2 ?x x ? a 1 2 ? 3 ?

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因此, 当 a ? ?1 或

1 ?1 ? ? a ? 2 时, 不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立,故答案为 (??, ?1] ? , 2 ? . 2 ?2 ?

考点:1、利用导数研究函数的极值点;2、韦达定理及高次不等式的解法. 【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法,属于难题.要解答本 题首先利用求导法则求出函数 f ? x ? 的到函数,令 f ' ? x ? ? 0 考虑判别式大于零,根据韦达定理求出

x1 ? x2 , x1x2 的值,代入不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,得到关于的高次不等式,再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 18.【答案】 .

【解析】解:∵tanβ= ,α,β 均为锐角,

∴tan(α﹣β)=

=

= ,解得:tanα=1,

∴α=

. .

故答案为:

【点评】本题考查了两角差的正切公式,掌握公式是关键,属于基础题. 19.【答案】 [1,5)∪(5,+∞) . 【解析】解:整理直线方程得 y﹣1=kx, ∴直线恒过(0,1)点,因此只需要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上即可, 由于该点在 y 轴上,而该椭圆关于原点对称, 故只需要令 x=0 有 5y2=5m 2 得到 y =m 要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上,则 y≥1 即是 y2≥1 得到 m≥1 ∵椭圆方程中,m≠5 m 的范围是[1,5)∪(5,+∞) 故答案为[1,5)∪(5,+∞) 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.本题采用了数形结合的方法,解决问题较为直观.

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三、解答题
20.【答案】(1) 【解析】 试题分析: (1)由向量垂直知两向量的数量积为 0,利用数量积的坐标运算公式可得关于 sin A,sin B,sin C 的 等式,从而可借助正弦定理化为边的关系,最后再余弦定理求得 cos A ,由同角关系得 sin A ;(2)由于已知 边及角 A , 因此在 (1) 中等式 b ? c ? a ?
2 2 2

4 ;(2)4. 5

6bc 中由基本不等式可求得 bc ? 10 , 从而由公式 5

S?

1 bc sin A 2

可得面积的最大值. 试题解析:(1)∵ m ? (sin B,5sin A ? 5sin C) , n ? (5sin B ? 6sin C,sin C ? sin A) 垂直, ∴ m ? n ? 5sin B ? 6sin B sin C ? 5sin C ? 5sin A ? 0 ,
2 2 2

考点:向量的数量积,正弦定理,余弦定理,基本不等式.111] 21.【答案】(1)证明见解析;(2)弦长为定值,直线方程为 x ? 1 . 【解析】

(2)根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为 ?4(1 ? a) x1 ? 8a ? 4a

2

,进而得

a ? 1 时为定值.

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试题解析:(1)设直线 AB 的方程为 my ? x ? 2 ,由 ? 得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,∴ y1 y2 ? ?8 , 因此有 y1 y2 ? ?8 为定值.111]

?my ? x ? 2,
2 ? y ? 4 x,

x1 ? 2 y1 , ) , AC ? ( x1 ? 2)2 ? y12 , 2 2 1 1 1 ( x1 ? 2) 2 ? y12 ? x12 ? 4 , E 点到直线 x ? a 的距离 因此以 AC 为直径圆的半径 r ? AC ? 2 2 2 x ?2 d ?| 1 ?a|, 2 x ?2 1 2 2 2 所以所截弦长为 2 r ? d ? 2 ( x1 ? 4) ? ( 1 ? a)2 ? x12 ? 4 ? ( x1 ? 2 ? 2a) 2 4 2
(2)设存在直线: x ? a 满足条件,则 AC 的中点 E (

? ?4(1 ? a) x1 ? 8a ? 4a 2 .
当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,弦长为定值 2,这时直线方程为 x ? 1 . 考点:1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质;2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 22.【答案】 【 解 析 】

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23.【答案】 【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】(Ⅰ)由已知 点 在椭圆上, ,解得 , .

所求椭圆方程为 (Ⅱ)设 当直线 , 的斜率 时, , 的垂直平分线过点 , 的斜率 存在.

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当且仅当 当直线 的斜率 消去 由 . , , 时, 设 得:

时, .



的中点为

由直线的垂直关系有

,化简得



由①②得 又 到直线 的距离为 ,

时, 由 即 综上: 24.【答案】 【解析】解:(1)∵f(4)=0, ∴4|4﹣m|=0 ∴m=4, (2)f(x)=x|x﹣4|= , 时, ; ,解得 ;

. ;

图象如图所示:

由图象可知,函数在(﹣∞,2),(4,+∞)上单调递增,在(2,4)上单调递减.

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(3)方程 f(x)=k 的解的个数等价于函数 y=f(x)与函数 y=k 的图象交点的个数, 由图可知 k∈(0,4).

25.【答案】 【解析】 【专题】计算题;直线与圆;坐标系和参数方程. 【分析】(Ⅰ)运用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,即可得到曲线 C1 的直角坐标方程,再由代入法,即可化 简曲线 C2 的参数方程为普通方程; (Ⅱ)可经过圆心(1,﹣2)作直线 3x+4y﹣15=0 的垂线,此时切线长最小.再由点到直线的距离公式和勾 股定理,即可得到最小值.
2 【解答】解:(Ⅰ)对于曲线 C1 的方程为 ρ ﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0, 2 2 可化为直角坐标方程 x +y ﹣2x+4y+4=0, 2 2 即圆(x﹣1) +(y+2) =1;

曲线 C2 的参数方程为

(t 为参数),

可化为普通方程为:3x+4y﹣15=0. (Ⅱ)可经过圆心(1,﹣2)作直线 3x+4y﹣15=0 的垂线,此时切线长最小. 则由点到直线的距离公式可得 d= 则切线长为 = . . =4,

故这条切线长的最小值为

【点评】 本题考查极坐标方程、 参数方程和直角坐标方程、 普通方程的互化, 考查直线与圆相切的切线长问题, 考查运算能力,属于中档题.

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