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2.3.1-2直线与平面所成的角_图文

直线与平面所成的角

复习引入 1.直线与平面垂直的定义

如果直线 l 与平面α 的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面α 互相垂直,记作:l ⊥α . 他们的公共交点P叫做垂足。

2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 l 直,则该直线与此平面垂直。
?
m P n

新课讲解 如图,若一条直线PA和一个 平面α相交,但不垂直,那么 这条直线就叫做这个平面的 斜线,斜线和平面的交点A叫 做斜足。
斜线

斜足

P

?

A

O

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过 垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上 的射影.

例1 如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)直线AB1在平面ABCD上的射影 (3)直线AB1在平面ADD1A1上的射影
(4)直线AB1在平面BB1D1D上的射影
D1 C1 B1

直线AB
直线AA1 直线B1O

(2)直线AB1在平面BB1C1C上的射影 直线BB1

A1

D A

C

o

B

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

l α A

P

规定:

O

一条直线垂直于平面,我们说 它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行,或在平面 内,我们说它们所成的角是0°的角。

直线和平面所成角的范围是: 0°≤θ≤90°.

例题示范,巩固新知
例2 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求 (1)直线A1B和平面ABCD所成的角。 45o

(2)直线A1B和平面BCC1B1所成的角。 45o
(3)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
D1 A1

30o
C1 B1

小结: 一“作” 二“证” 三“计算”
A

O
D C B

巩固练习

1.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)直线A1C1与面ABCD所成的角 0o (2)直线A1C1与面BB1D1D所成的角 (3)直线A1C1与面BB1C1C所成的角 (4)直线A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
1.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D A B

C

巩固练习
1.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)直线A1C1与面ABCD所成的角

(2)直线A1C1与面BB1D1D所成的角
(3)直线A1C1与面BB1C1C所成的角
o 45 D1
B1 C1

(4)直线A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D A B

C

巩固练习
1.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)直线A1C1与面ABCD所成的角

(2) 直线A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) 直线A1C1与面BB1C1C所成的角

(4)直线A1C1与面ABC1D1所成的角

D1 B1
E

C1

30o

A1

D A B

C

2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,

求直线BD1与平面ADD1A1所成的角的正切值.
D1 A1 D C1

B1
C B

2 2

A

3.如图,正四面体A-BCD的棱长为a,
(1)求证:顶点A在底面BCD内射影是 △BCD外心; (2)求直线AD与面BCD所成的角的余弦值;
A
3.如图,正四面体A-BCD的棱长为 a,E为AD 的中点,连接CE (3)求CE与面BCD所成角的正弦值
A
E

B
O

F
D

C

B
O

D

C




新课讲解 如图,若一条直线PA和一个 平面α 相交,但不垂直,那么 这条直线就叫做这个平面的 斜线,斜线和平面的交点 A叫 做斜足。
斜线

一、斜线在平面内的射影 1、垂线、斜线、射影 二、直线和平面所成的角

斜足

P

?

A

O

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过 垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上 的射影.

1、定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

l α A

P O

规定:
一条直线垂直于平面,我们说 它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行,或在平面 内,我们说它们所成的角是0°的角。

直线和平面所成角的范围是: 0°≤θ ≤90°.

2、求直线和平面所成的角的步骤:

一“作”二“证”三“计算”
三、数学思想方法:转化的思想
空间问题
平面问题

作业: P74 A组9题,B组2,4题

3.如图,正四面体A-BCD的棱长为 a,E为AD 的中点,连接CE (3)求CE与面BCD所成角的正弦值
(2)求直线AD与面BCD所成的角的余弦值; (1)求证:顶点A在底面BCD内射影是 △BCD外心;
A

E

B
O

F
D

C


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