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《高考研究系列》之多面体与旋转体

考试内容: 棱柱(包括平行六面体)。棱锥。棱台。多面体。 圆柱。圆锥。圆台。球。球冠。旋转体。 体积的概念与体积公理。棱柱、圆柱的体积。棱锥、圆锥的体积。棱台、圆台的体积。球和 球缺的体积。 考试要求: (1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质。 (2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的 面积、球缺的体积公式(球缺体积公式不要求记住),并能运用这些公式进行计算。 (3)了解多面体和旋转体的概念,能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台 的直观图。 (4)对于截面问题,只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面,棱柱的 直截面,圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面,球的截面)以及已给出图形或它 的全部顶点的其他截面的有关问题。 一、选择题

如果正方体 ABCD-A’B’C’D’的棱长为 a,那么四面体 A‘-ABD 的体积是( (1)3 分)

)(85 年

(A)

(B)

(C)

(D)

如果圆锥的底半径为 (A)4 π (B)2 π

,高为 2,那么它的侧面积是( (C)2 π (D)4 π

)(89 年(3)3 分)

已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心的同一侧,且相距为 1,那么这 个球的半径是( )(89 年(8)3 分) (A)4 (B)3 (C)2 (D)5 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等于( )90 年(3)3 分)

(A)

(B)

(C)

(D)

已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是 ( )(92 年(5)3 分) (A)6:5 (B)5:4 (C)4:3 (D)3:2 长方体的全面积为 11,十二条棱长之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为( (18)3 分) (A)2 (B) (C)5 (D)6 )(92 年

当圆锥的侧面积和底面积的比值是 (A)45° (B)60° (C)90° (D)120°

时,圆锥的轴截面顶角是(

)(93 年(3)3 分)

若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( (A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥

)(93 年(13)3 分)

如果圆柱轴截面的周长 l 为定值,那么圆柱体积的最大值是( (A) π (B) π (C) π (D)

)(93 年(14)3 分)

圆柱正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积为( (A)32 (B)28 (C)24 (D)20

)(94 年(7)4 分)

圆柱过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球 面面积是( )(94 年(13)5 分) (A) π (B) π (C)4π (D)
2

π )(95 年(4)4 分)

正方体的全面积是 a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是(

(A)

π

(B)

π

(C)2π a (D)3π a

2

2

将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为( )(96 年(9)4 分)

(A)

(B)

(C)

(D) )(96 年(14)5 分)

母线长为 l 的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角 φ 等于(

(A)

π (B)

π

(C)

π

(D)

π

长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的 表面积是( )(97 年(8)4 分) (A)20 π (B)25 π (C)50π (D)200π )(97 年(12)5 分)

圆台上、下底面积分别为 π 、4π ,侧面积为 6π ,这个圆台的体积是(

(A)

π

(B)2

π

(C)

π

(D)

π )(98 年

已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( (8)4 分) (A)120° (B)150° (C)180° (D)240° 如果棱台的两底面积分别为 S,S’,中截面积是 S0,那么( (A)2 (C)2S0=S+S‘ )(98 年(9)4 分) (D)S0 =2SS’
2

向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如图所示,那么 水瓶 的形状是( )(98 年(10)4 分)

球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 为 4π ,那么这个球的半径为( )(98 年(13)分) (A)4 (B)2 (C)2 (D)

,经过这 3 个点的小圆面积

若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中,量得水面的高度为 6cm,若将这些水倒入轴 截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(99 年(7)4 分) (A)6 cm (B)6cm (C)2 cm (D)3 cm

如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 距离为 2,则该多面体的体积为(99 年(10)4 分) (A) (B)5 (C)6 (D)

,EF 与面 AC 的

如果圆台的上底面半径为 5,下底面半径为 R,中截面把圆台分成上下两个圆台,它们的侧面 积之比为 1:2,那么 R=(99 年(12)5 分) (A)10 (B)15 (C)20 (D)25 二、填空题 (1) 在 xoy 平面上,四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0),(1,0),(2,1),(0,3),则这个四 边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为___________.(86 年(13)4 分) (2)一个正三棱台的下底和上底周长分别为 30cm 和 12cm,而侧面积等于两底面积之差,则斜 高为_________.(87 年(15)4 分) 注:满足条件“侧面积等于两底面积之差”的三棱台不存在, 只有“压缩”成平面图形方可, 而此时所求“斜高”实为内、外两正方形(上、下底)对应边的距离。 (3)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 E,F 分别为 AB,AC 中点,平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1,V2 的两部分,那么 V1:V2=_______.(90 年(20)3 分) (4)已知正三棱台上底面边长为 2,下底面边长为 4,且侧棱与底面所成的 角是 45°,那么这个正三棱台的体积等于________.(91 年(18)3 分)

(5)在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,那么 这个球面的面积是_________.(91 年(20)3 分)

(6)设圆锥底面圆周上两点 A、 间的距离为 2,圆锥顶点到直线 AB 的距离为 B 的距离为 1,则该圆锥的体积为________.(94 年(19)4 分)

,AB 和圆锥轴

(7)已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为 台的体积与球的体积之比为________.(95 年(17)4 分)

,则圆

(8)在半径为 30m 的圆形广场上空,设置一个照明光源,射向地面的光成圆锥形,其轴截面顶 角为 120,若要光源恰好照亮整个广场,其高度应为______(精确到 0.1m)(97 年) (9)如图:在直四棱柱 ABCD-A‘B’C‘D’中, 当底面四边形 ABCD 满足条件_______时, 有 A‘C⊥B’D‘.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)(98 年 (18)4 分)

三、解答题 (1) 如图:三棱锥 P-ABC 中,已知 PA⊥BC,PA=BC=l,PA 和 BC 的公垂线 ED=h,求证:三棱锥

P-ABC 的体积 V=

.(87 年(17)12 分)

(2) 如图:正三棱锥 S-ABC 的侧面是边长为 a 的正三角形,D 是 SA 的中点,E 是 BC 的中点, 求△SDE 绕直线 SE 旋转一周所得到的旋转体的体积.(88 年(26)10 分)

(3) 如图:在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,

∠A1AB=∠A1AD= . Ⅰ.求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的角平分线上; Ⅱ.求这个平行六面体的体积.(89 年(20)10 分)

(4)如图:A1B1C1-ABC 是直三棱柱,过点 A1,B,C1 的平面 和平面 ABC 的交线为 l. Ⅰ.判定直线 A1C1 和 l 的位置关系,并加以证明; Ⅱ.若 AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点 A1 到直线 l 的距离.(93 年(26)8 分)

(5)如图:已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点. Ⅰ.证明:AB1∥平面 DBC1; Ⅱ.假设 AB1⊥BC1,求以 BC1 为棱 DBC1 与 CBC1 为面的二面角 α 的度数.(94 年(23)12 分)

(6)如图:圆柱的轴截面 ABCD 是正方形, 点 E 在底面圆周上,AF⊥DE,F 是垂足 Ⅰ.求证:AF⊥DB; Ⅱ.如果圆柱与三棱锥 D-ABC 的体积比等于 3π , 求直线 DE 与平面 ABCD 所成的角.(95 年(23)12 分)

(7)如图:在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E∈BB1,截面 A1EC⊥侧面 AC1.

Ⅰ.求证:BE=EB1; Ⅱ.若 AA1=A1B1,求平面 A1EC 与平面所成二面角(锐角)的度数. (96 年(22)12 分)

注意:在下面横线上填上适当内容,使之成为Ⅰ的完整证明,并解答Ⅱ. Ⅰ.证明:在截面 A1EC 内,过 E 作 EG⊥A1C,G 是垂足, ①∵_____________, ∴EG⊥侧面 AC1;取 AC 的中点 F,连结 BF,FG,由 AB=BC 得 BF⊥AC, ②∵_____________, ∴BF⊥侧面 AC1;得 BF∥EG, 则 BF,EG 确定一个平面,交侧面 AC1 于 FG, ③∵_____________, ∴BF∥FG,四边形 BEGF 是平行四边形,BE=FG. ④∵_____________, ∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC ⑤∵_____________,

∴FG=

,即 BE=

,故 BE=EB1.

(8)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点. Ⅰ.证明 AD⊥D1F; Ⅱ.求 AE 与 D1F 所成的角; Ⅲ.证明面 AED⊥面 A1FD1;

Ⅳ.设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1 的体积 VF-A1ED1.(97 年(23(12 分)

(9)已知斜三棱柱 ABC-A’B‘C’的侧面 A‘ACC’与底面 ABC 垂直, ∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3 且 AA‘⊥A’C,AA‘=A’C. ①求侧棱 AA‘与底面 ABC 所成角的大小; ②求侧面 A’ABB‘与底面 ABC 所成二面角的大小; ③求顶点 C 到侧面 A’ABB‘的距离.(98 年(23)12 分)

(10)如图,已知四棱柱 ABCD-A’B‘C’D‘,点 E 在棱 D’D 上, 截面 EAC∥D‘B,且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45°,AB=a

(1)求截面 EAC 的面积 (2)求异面直线 A’B‘与 AC 之间的距离 (3)求三棱锥 B’-EAC 的体积(99 年(21)12 分)


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