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广东理科数学前三道大题专项训练(精选45题)

前三道大题专项训练(2)
1.已知函数 f ( x) ? 4 cos( x ? ?

?
4

) ( ? 0)图像与函数 g ( x ) ? 2 sin(2x ? ? )? 1的图像的对称 ?

轴完全相同. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

? ? (Ⅱ)当函数 f ( x ) 的定义域为 [ ? , ] 时,求函数 f ( x ) 的值域. 6 3
2.已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an ?1 ? 2n (n ? 2 且 n∈N*) .
?an ? 的通项公式;
Sn

(Ⅰ)求数列

> n?3 2 n S S ?a ? (Ⅱ)设数列 n 的前 n 项之和 n ,求 n ,并证明: 2 .
3.(本小题满分 14 分)
1 已知 AB ? 平面BED, AB // CD, BE ? ED , AB ? BE ? ED ? 4 ,CD ? 2 , F 是 ED 中点, 2

G 是 CF 中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE ? 平面CDF ;

A

(Ⅱ)求 AG 与平面 ABC 所成角的余弦值. 4、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin ?

?x ?? ?x ?? ? ? cos ? ? ? ? sin( x ? ? ) 。 ?2 4? ?2 4?
E

C B F G D

(1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)若将 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 6

?0,? ?

上的最大值和最小值

5、 (本小题满分 12 分)第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日 在深圳举行 ,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志 愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm) : 若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” , 身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” , 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” 。 (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐” 的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。

6、 (本小题满分 14 分) ? BM ? AC 交 AC 于点 M , 如图,AC 是圆 O 的直径, B 在圆 O 上, BAC ? 30? , 点 EA ? 平面 ABC , FC // EA , AC ? 4,EA ? 3,FC ? 1 . E (1)证明: EM ? BF ; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

F A
7、 (本小题 12 分)

O
?

M

C

B

在钝角三角形 ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (2b ? c, cosC) ,

n ? (a, cos A) ,且 m ∥ n .
(1)求角 A 的大小;
2 (2)求函数 y ? 2sin B ? cos(

?
3

? 2 B) 的值域.

8、 (本小题 12 分) 张先生的鱼缸中有 7 条鱼,其中 6 条青鱼和 1 条黑鱼,计划从当天开始,每天中午从该 鱼缸中抓出 1 条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉.若黑鱼未被抓出, 则它每晚要吃掉 1 条青鱼(规定青鱼不吃鱼) . (1)求这 7 条鱼中至少有 6 条被张先生吃掉的概率; (2)以 X 表示这 7 条鱼中被张先生吃掉的鱼的条数,求 X 的分布列及其数学期望 EX . 9、 (本小题 12 分) 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , S n 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2n?1 , n ? N * .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式和 Tn ; (2) 是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 10、 (本小题 12 分) 在等腰梯形 ABCD 中,AB ? 3 ,AD ? BC ? 2 ,CD ? 1 ,E 为 AB 上的点且 AE ? 1 , 将 ?AED 沿 DE 折起到 A1 ED 的位置,使得二面角 A1 ? CD ? E 的平面角为 30°.

(1)求证: DE ? A1 B (2)求二面角 B ? A1C ? D 的余弦值.

11.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? (I)求函数 f ( x) 的值域;

? ?

π? π? ? 2 ?x ,x ? R (其中 ? ? 0 ) ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 6? 6? 2 ?

(II)若对任意的 a ? R ,函数 y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅 有两个不同的交点,试确定 ? 的值(不必证明) ,并求函数 y ? f ( x),x ?R 的单调增区 间 12. (本小题满分 12 分) 某公司向市场投放三种新型产品,经调查发现第一种产品受欢迎的概率为

4 ,第二、第 5

三种产品受欢迎的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同种产品是否受欢迎相互独立。记

? 为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量,其分布列为

?

0

1

2

3

p

2 45

a

d

8 45

(I)求该公司至少有一种产品受欢迎的概率; (II)求 p , q 的值; (III)求数学期望 E? . 13.(本小题满分 12 分) 已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. ( I ) 求数列 {an } 的通项公式;
* (II) 若数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N ) ,且 b1 ? 3 ,求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

14.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?BAD=60 ,
0

AB=2 , PA=1 , PA ? 平面 ABCD , E 是 PC 的中点, F 是 AB 的
中点. (Ⅰ) 求证: BE ∥平面 PDF ; (Ⅱ)求证:平面 PDF ⊥平面 PAB ;

(Ⅲ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的大小.

15. (本题满分 10 分) 设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求

1 c. 2

tan A 的值; tan B (Ⅱ)求 tan(A ? B) 的最大值,并判断当 tan(A ? B) 取最大值时 △ ABC 的形状.
16.(本题满分 12 分) 如图,已知矩形 ACEF 的边 CE 与正方形 ABCD 所在平面垂直,

AB ? 2 , AF ? 1 , M 是线段 EF 的中点。
(1)求证: CM // 平面 BDF ; (2)求二面角 A ? DB ? F 的大小。 17. (本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为

1, 2,… , 8,其中 ξ ? 5 为标准 A , ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系
数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生产该产品,且该厂的产品都符合相应 的执行标准. (1)从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数 3 ? ξ ? 5 的为三等品,试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)已知该厂生产一件该产品的利润 y(单位:元)与产品的等级系数 ξ 的关系式为:

?1, ? y ? ? 2, ? 4. ?

3?? ?5 5 ? ? ? 7 ,从该厂生产的产品中任取一件,其利润记为 X ,用这个样本的频 ? ?7

率分布估计总体分布,将频率视为概率,求 X 的分布列和数学期望.

18. (本题满分 12 分)在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且

b2 ? c2 ? bc ? a 2
(1)求∠A; (2)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围。
2 2

19. (本题满分 13 分)高三第一学期期末四校联考数学第 I 卷中共有 8 道选择题,每道选择 题有 4 个选项,其中只有一个是正确的;评分标准规定: “每题只选一项,答对得 5 分,

不答或答错得 0 分。 某考生每道题都给出一个答案, ” 已确定有 5 道题的答案是正确的, 而其余选择题中, 1 道题可判断出两个选项是错误的, 有 有一道可以判断出一个选项是 错误的,还有一道因不了解题意只能乱猜,试求出该考生: (1)得 40 分的概率 (2)得多少分的可能性最大? (3)所得分数 ? 的数学期望 20. (本题满分 13 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上 的射影恰为点 B,且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在线段 B1C1 上确定一点 P,使 AP ? 14 ,并求出二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余 弦值. 21. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x . cos x

C1 B1

A1

(1) 求 f ( x ) 的 定 义 域 ; (2) 设 ? 是 第 二 象 限 的 角 , 且 tan ? = ?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

C B

A

22. (本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变



x1 和 x2 。根据市场分析, x1 和 x2 的分布列分别为: x1
P 5% 0.8 10% 0.2

x2
P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元, y1 和 y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 求方差 Dy1 、 Dy2 ; (2)将 x(0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目, 100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x ) 的最小值, 并指出 x 为何值时,

f ( x) 取到最小值.(注: D(ax ? b) ? a 2 Dx )

23.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2 AD, AD ? CD , M 为线段

AB 的中点.将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如
图 2 所示. (1) 求证: BC ? 平面 ACD ;(2) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值.

D

C

D

A

M

.

C B A B

24. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? .

图1

M

图2

(1)写出 a2、a3 的值(只写结果)并求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ,若 bn an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

? m 恒成立,

求实数 m 的取值范围。

25.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b, c ,且 A , B , C 成等差数列. (1)若 b ? 3, a ? 1,求 c 的值; (2)求 sinA+sinC 的最大值. 26.(本小题满分 14 分) 已知在递增等差数列 {a n } 中, a1 ? 2 , a1 , a3 , a7 成等比数列数列 { b n } 的前 n 项和为 Sn, 且 Sn ? 2n?1 ? 2 . (1)求数列 {a n } 、 { b n } 的通项公式; (2)设 c n ? a bn ,求数列 { c n } 的前 n 和 Tn . 27. (本小题满分12分) 已知向量 m ? ? sin A,cos A? , n ? (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

??

?

?

?? ? 3, ?1 ,且 m ? n ? 1 , A 为锐角.

?

28. (本题满分 12 分) 某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动。 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率; (2)商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高 180 元,同时 允许顾客每购买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会, 若中奖, 则每次中奖都可获得奖 金 100 元, 假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的, 试分析此种有奖促销方案对 商场是否有利。 29.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中 1
A1 A

点, AA ? AB ? 2 . 1 (1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 , 1 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
C1 C B1 D

B

30. (本小题满分14分)

x2 y 2 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 a b
???? ? ???? ? 1 AB 上的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l : y ? x 上. 2
(1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1上,求椭圆的方程.
2 2

31. (本小题满分 14 分) 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常 数). (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn?1 ,(n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

32.(本小题满分 14 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的 理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布 列与期望. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

不喜爱打篮球 5

合计

10 50

3 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

33. (本小题满分 14 分) 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视 图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面 角的余弦值.

正视图

侧视图

俯视图

34. (本小题满分12分)2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》. 其中规定:居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度 不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时 平均浓度的监测数据,数据统计如下: PM2.5(微克/立方 组别 米) 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90) 4 12 8 8 4 4 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ) 写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程) ; (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑, 判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;

(Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平 均浓度符合环境空气质量标准的天数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? . 35. (本小题满分 l4 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2BC ? 12 , E 为 CD 的中点,将 ?DAE 沿 AE 折起, 使 面DAE ? 面ABCE ;再过点 D 作 DQ // AB ,且 DQ ? (Ⅰ)求证: 面DAE ? 面BEQ ;

1 AB . 2

(Ⅱ)求直线 BD 与 面DAE 所成角的正弦值; (Ⅲ)求点 Q 到 面DAE 的距离.

36. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ?

1 cos 2 x , x ? R 2
A ? 4 ? ) ? ,b ? 2 , 2 3 5

(I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a 、b 、 c ,又 f (

?ABC 的面积等于 3 ,求边长 a 的值.

37. (本小题满分 l2 分) 如图,一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域.用力旋转转盘, 转盘停止转动时,箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头 指向两个区域的边界时重新转动),且箭头 A 指向每个区域的可能性都是 相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人 先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得 分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动). (Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率; (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于 8 的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率; (Ⅲ)若共有 4 个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖 的家庭数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 38. (本小题满分 14 分) 如图,已知△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径, 四边形 DCBE 为平行四边形,DC⊥平面 ABC,AB=2, tan∠EAB= (1) 证明:平面 ACD⊥平面 ADE; (2) 当 AC=x 时, V(x)表示三棱锥 A-CBE 的体积,当 V(x)取得最大值时,求 直线 AD 与平面 ACE 所成角的正弦值。 39. (本小题满分 12 分) 若 f ( x) ? 3 cos 2 ? x ? sin ? x cos ? x ?

切,并且切点横坐标依次成公差为 ? 的等差数列.

3 (? ? 0) 的图像与直线 y ? m(m ? 0) 相 2

频数

14 13

频数
12

5
2

7
4 2 1

6

3
1

160 165 170 175 180 185 190

身高/cm

150 155 160 165 170 175 180

身高/cm

男生

女生
A , 是函数 f (x) 图象 0) 2

(1)求 ? 和 m 的值;

( (2)在⊿ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边。若
的一个对称中心,且 a=4,求⊿ABC 外接圆的面积。

40、已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x) cos ? x ? cos2 ? x (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 ⑴求 ? 的值; ⑵将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的

y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 [0,

?
16

1 ,纵坐标不变,得到函数 2

] 上的最小值。

41、 为了解学生身高情况, 某校以 10% 的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查, 测得身高情况的统计图如下: ⑴估计该校男生的人数; ⑵估计该校学生身高在 170 ~ 185cm 之间的概率; ⑶从样本中身高在 165 ~ 180cm 之间的女生中任选 2 人,设身高在 170 ~ 180cm 之间 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。 42、如图,在五棱锥 P ? ABCDE中, PA ? 平面 ABCDE AB // CD , AC // ED , ,

AE // BC , ?ABC ? 45o , AB ? 2 2 , BC ? 2 AE ? 4 , ?PAB 是等腰三角形。
⑴求证:平面 PCD ? 平面 PAC ; ⑵求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; ⑶求四棱锥 P ? ACDE 的体积。 43、数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn (n ? N ) 。
*

P

A E B

D

⑴求数列 {an } 的通项 an ; ⑵求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn 。

C

44、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ( ? >0,0< ? ? ? )的最小正周期为 ? ,且 f ( ) ?

?

4

2.

(1)求 ? , ? 的值;(2)若 f ( ) ? ?

a 2

6 (0 ? ? ? ? ), 求 cos 2? 5

45、(本小题满分 12 分) 如图, 已知 E ,F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、CD 的中点,EF 与 AC 交于点 O ,PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 , NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)试确定点 M 的位置,使得 PC // 平面 MEF ; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时,求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

第 17 题图


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