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高三数学一轮复习 抛物线课件 新人教B版_图文

? ? ? ? ? ? 重点难点 重点:抛物线定义、几何性质及标准方程 难点:抛物线几何性质及定义的应用 知识归纳 相等 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l (F?l) 的距离 的点的轨迹叫做抛物线. ? 2.抛物线的标准方程和几何性质(如下表所 示) ? 误区警示 ? 1.关于抛物线定义 ? 要注意点F不在直线l上,否则轨迹不是抛 物线,而是一条直线. ? 2.关于抛物线的标准方程 ? 由于选取坐标系时,坐标轴有四种不同的 方向,因此抛物线的标准方程有四种不同 的形式,这四种标准方程的共同点在于: ? (1)p的几何意义:焦参数p是焦点到准线 的距离,所以p恒为正数. (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称 相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. 1 (3)焦点的非零坐标是一次项系数的 . 4 ? 1.抛物线的焦点弦 ? 若直线l过抛物线的焦点与抛物线相交于 两点A、B,则线段AB通常称作抛物线的 焦点弦,焦点与抛物线上任一点的连线段 ,通常称作抛物线的焦半径,涉及焦半径 (或焦点弦)的问题,常考虑应用定义求解 ?p ? 2 . 直线 l 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F?2,0?时,常 ? ? ? 若抛物线 py2=2px(p>0)的焦点弦为AB, 设 l:x=my+2以简化运算. A(x1,y1),B(x2,y2),则有如下结论: ? 2.关于抛物线的最值问题 ? (1)A为抛物线弧内一定点,F为焦点,P 为抛物线上任一点,求|PA|+|PF|的最小 值问题常用定义转化,由A向抛物线的准 线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的 P点. ? (2)直线l与抛物线无公共点,求抛物线上 的点到l的最小值问题,一般可设出抛物 线上的点,用点到直线距离公式转化为二 次函数求最值,或设出与l平行且与抛物 线相切的直线,转化为两平行直线间的距 离,后者更简便. ? 3.抛物线的标准方程. ? 由于抛物线的标准方程有四种不同形式, 故求抛物线标准方程时,一定要注意区分 焦点在哪个轴上加以讨论. ? 4.韦达定理的应用. ? 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜 率问题时要注意利用韦达定理,以避免求 交点坐标的复杂运算. ? [例1] 已知动圆过点(1,0),且与直线x= -1相切,则动圆圆心的轨迹方程为( ) ? A.x2+y2=1 B.x2-y2=1 ? C.y2=4x D.x=0 ? 分析:由条件知,动圆圆心C到点(1,0)和 直线x=-1的距离相等,可用直译法求 解,也可以用定义法求解.应注意圆锥曲 线定义在解题中的应用. 解析:触法一:设圆心坐标为(x,y),由题意,x-(- 1)= ?x-1?2+y2,整理得 y2=4x,故选 C. 解法二:动圆圆心 C 到定点(1,0)和定直线 x=-1 距 离相等,∴C 点轨迹是以(1,0)为焦点,x=-1 为准线的 抛物线,∴p=2,∴方程为 y2=4x. 答案:C ? (文)抛物线x2=-8y上一点P到焦点的距 离为5,则点P的纵坐标为( ) ? A.5 B.-5 ? C.3 D.-3 ? 解析:抛物线的准线方程为y=2,且点P 到准线距离为5 ,∴yP=-3. ? 答案:D (理)已知点 P 为抛物线 y2=2x 上的动点, 点P在y轴 7 上的射影是 M,点 A 的坐标是 A( ,4),则|PA|+|PM|的最 2 小值是( 11 A. 2 ) B.4 9 C.2 D.5 1 解析:如图,焦点 F( ,0),当 P、A、F 三点共线 2 1 时|PA|+|PM|才有最小值, 此时|PA|+|PM|=|PA|+|PF|- , 2 1 即 |PA| + |PM| 的最小值为 |FA| - = 2 1 9 -2=2,故选 C. 答案:C 7 12 1 2 ? - ? +4 - = 5 2 2 2 [例 2] x2 y2 双曲线 - =1(mn≠0)离心率为 2,有一个 m n ) 焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 mn 的值为( 3 3 A. B. 16 8 16 8 C. 3 D.3 分析:由双曲线的一个焦点与抛物线 y2 =4x 焦点 F(1,0)重合知, 双曲线焦点在 x 轴上, 从而 a2=m, b2=n, c c =m+n,e= =2.且 m+n=1,可解得 m、n 的值. a 2 ? m+n ? =2 解析:由条件知? m ? m+n=1 ? 3 ∴mn=16.故选 A. 1 ? ?m=4 ,解得? ?n=3 ? 4 . ? 答案:A ? 点评:解决这类问题一定要抓准各种曲线 的基本量及其关系. ? 设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0) 的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ) ? A.y2=±4x B.y2=±8x ? C.y2=4x D.y2=8x 解析:由已知抛物线焦点为 ∴AF 所在直线方程为 ?a ? F?4,0?, ? ? ? ? a? a? y=2?x-4?,∴A?0,-2?, ? ? ? ? 1 ?? a?? ?a? a2 ? ?= =4, ∴S△OAF= ×??-2??· 2 ?? ?? ?4? 16 ∴a2=64,∴a=± 8,∴抛物线的方程为 y2=± 8x. 答案:B [例 3] 已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点, A(8,8)且直线 l 经过抛物线的焦点 F,则线段 AB 的中点到 准线的距离为( 25 A. 4 ) 25 B. 2 25 C. 8 D.25 ? 分析:由直线l经过抛物线的焦点F及点 A(8,8)可求l的方程,由l与抛物线方程联 立可求得B点坐标(或依据根与系数关系, 求得AB中点M的横坐标,进一步即可求 得M到准线的距离),M到准线的距离为 解析:因为抛物线的焦点为 F

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