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2015年江苏省连云港、徐州、淮安、宿迁四市高三一模数学试题与答案解析

徐州、淮安、宿迁、连云港四市 2015 届高三第一次模拟考试 数学试卷 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案直接填写 在答题卡相应位置上, 1.己知集合 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?2,3,4,5?,则 A B 中元素的个数为_______. 2.设复数 z 满足 i( z ? 4) ? 3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为_______. 3.如图,茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩, 则方差较小的那组同学成绩的方差为_______. 4.某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人,若每名应聘者被录用 的机会均等,则甲、乙 2 人中至少有 1 入被录用的概率为_______. 5.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为_____. 6. 已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥的体积为 ______. 7. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 (2 ? x) , 则 f (0) ? f (2) 的值为_____. 8. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a8 ? 11 ,则 3a3 ? a11 的值为______. 9. 若实数 x, y 满足 x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y ? 6x ? 2 y ? 10 的最小值为_____. 2 2 10. 已知椭圆 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A, B1 , B2 , F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点, a 2 b2 若直线 AB2 与直线 B1 F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为______. 11.将函数 y ? 2sin(? x ? ? 4 )(? ? 0) 的图象分别向左、向右各平移 ? 个单位长度后,所得的两个 4 图象对称轴重合,则 ? 的最小值为______. 12.己知 a,b 为正数,且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互相平行,则 2a+3b 的最小值为________. 2 ? ?? x , x ? 0, 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ,则不等式 f ( f ( x)) ? 3 的解集为______. ? ? x 2 x, x ? 0 ·1 · 14.在△ ABC 中,己知 AC ? 3, ?A ? 45 ,点 D 满足 CD ? 2BD ,且 AD ? 13 ,则 BC 的长 为_______ . 二、解答题:本大题共 6 小题.15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请在答题 卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 己知向量 a ? (1, 2sin ? ), b ? (sin(? ? (1)若 a ? b ,求 tan ? 的值: (2)若 a / / b ,且 ? ? (0, ? 3 ),1) , ? ? R . ? 2 ) ,求 ? 的值. 16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P- ABC 中,已知平面 PBC ? 平面 ABC. (1)若 AB ? BC,CD ? PB,求证:CP ? PA: (2)若过点 A 作直线上平面 ABC,求证: //平面 PBC. 17.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,己知点 A(?3, 4), B(9, 0) ,C,D 分别为线段 OA,OB 上的动点,且 满足 AC=BD. (1)若 AC=4,求直线 CD 的方程; (2)证明: ? OCD 的外接圈恒过定点(异于原点 O). ·2 · 18.(本小题满分 16 分) 如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km,AD 为 4 km.,地块的一角是湿地(图中阴影部 分),其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不 计).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km),△ BEF 的面积为 S(单位: km ). (I)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km ?并说明理由. 2 2 19.(本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 1, an ? an?2 ? ? ? 2an?1 , n ? N ? , ? 为常数. (1)证明: a1 , a4, a5 成等差数列; (2)设 cn ? 2 an ? 2 ?an ,求数列 的前 n 项和 Sn ; (3)当 ? ? 0 时,数列 ?an ? 1? 中是否存在三项 as?1 ? 1, at ?1 ? 1, ap?1 ? 1 成等比数列,且 s, t , p 也 成等比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分 16 分) ·3 · 己知函数 f ( x) ? ln x ? 1 2 ax ? x, a ? R 2 (1)若 f (1) ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值: (3)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ? 5 ?1 2 附加题部分 21.【选做题】本题包括 A, B, C, D 四小

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