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(新)人教版高中数学必修一1.3.1《单调性与最大(小)值》优秀课件(共21张PPT)_图文

第2课时 函数的最大值、最小值 1 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义;(重点) 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质;(难点) 2 观察下列函数的图象,找出函数图象上的最 高点或者最低点处的函数值. 最低点处的函数值是0. 最高点处的函数值是0. 3 函数图象最低点处的函数值的刻画:函数图象在最低点 处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数 f(x)=x2而言,即对于函数定义域中任意的x∈R,都有 f(x)≥f(0). 最小值的“形”的定义:当一个函数f(x)的图象有最低 点时,我们就说这个函数有最小值.当函数图象没有最低 点时,我们就说这个函数没有最小值. 4 函数图象最高点处的函数值的刻画:函数图象在最高点 处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数 f(x)=-x2而言,即对于函数定义域中任意的x∈R,都有 f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义:当函数图象有最高点时, 我们就说这个函数有最大值.当函数图象无最高点时, 我们就说这个函数没有最大值. 5 探究点1 函数最大(小)值的定义 函数最大值定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M。 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. 6 请同学们仿此 给出函数最小 值的定义 函数最小值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果存在实数N满足: (1)对任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? N ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? N . 那么,我们就称N是函数y=f(x)的最小值. 7 探究点2 对函数最值的理解 1.函数最大值首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I , 使得 f ? x0 ? ? M.并不是所有满足 f ( x) ? M 的函数都有 最大值M.如函数 f ( x) ? x, x ? (?1,1) ,虽然对定义域上 的任意自变量都有 f ( x) ? 1 ,但1不是函数的最大值. 2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质,即这个函 数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小 的函数值. 8 探究点3 例题解析 例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时 间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出 后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多 少(精确到1 m)? 9 分析:烟花的高度是时间的二次函数,根据题意 就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值, 以及这个最大值是多少. 解:画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点, 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐 标就是这时距地面的高度. 10 由二次函数的知识,对于函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18 我们有: 14.7 当t ? ? ? 1.5时,函数有最大值 2 ? (?4.9) 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 h? ? 29. 4 ? (?4.9) 于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度约为29m. 11 例4.已知函数 f ( x) ? 值和最小值。 分析:这个函数在区间[2,6]上,显然解析式的分母是正 2 ( x ? [2, 6]) ,求函数f(x)的最大 x ?1 值且随着自变量的增大而增大,因此函数值随着自变量的 增大而减少,也就是说这个函数在区间[2,6]上是减函数, 因此这个函数在定义的两个端点上取得最值. 解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 单调性求最 值 2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x2 ? x1 ) ? ? . ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 12 由2 ? x1 ? x2 ? 6, 得x2 ? x1 ? 0,( x1 ?1 ) ( x2 ?1) ? 0, 于是f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ). 2 是区间[2,6]上的减函数. 所以,函数 f(x) = x-1 2 f(x) = x-1 因此,函数 在区间[2,6]的两个端点上分别取得 最大值与最小值,即在x=2时取得最大值,最大值是2,在 x=6时取得最小值,最小值是0.4. 【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明,然 后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过 程分为两个部分,证明函数在[2,6]上是减函数,求这个 函数的最大值和最小值. 13 求函数 f ( x) ? 3x 在区间[-1,3]的最大值和最小值。 【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数. 【答案】最大值是9,最小值是-3. 14 1. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6]内递减,则a的取值 范围是( (A)a≥3 (C)a≥-3 D ) (B)a≤3 (D)a≤ -3 2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞,-2]上递减,在[-2, [21,49] +∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值域为____________. 15 3.求函数 f ( x) ? x2 在区间[-1,3]上的最大值和最小值. 【提示】根据二次函数的性质,函数在区间[-1,0]上是 减函数,在区间(0,3]上是增函数,最小值一定在x=0时 取得,最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的. 【答案】最大值是9,最小值是0.

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