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浙江财经数学分析(3)期末练习题一

10 统计专业和数学专业数学分析(3)期末练习题一 填空题 1. 函数 z ? arcsin 2. 函数 z ?

y ? xy 的定义域是 x
.

.

x ? y 的定义域是

3. 设 f ( x, y ) ? ln( x ?

x 2 ? y 2 ) ,其中 x ? y ? 0 ,则 f ( x ? y, x ? y ?) x 2 2 4. 设 f ( x, y ) ? x ? y ? xy tan ,则 f (tx, ty ) ? . y
5. 设 E ? R 为
2

.

点集,则 E 在 R 中至少有一个聚点. 。
?

2

6. 7.

f ( x, y, z) ? xy 2 ? yz 3 ,则 gradf (2,?1,1) ?

u ? xy 2 ? z 3 ? xyz 在点 P0 (1,1,2) 处沿方向 l (其中方向角分别为 600 ,450 ,600 )的 方向导数为 u ? ( P0 ) ? .
l

8. z ? x , 其中 x ? 0, x ? 0, 则 dz ?
y

。 。

9. 函数 f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微,则 ?f ? df ? 函数。

10. 若函数 f ( x, y) 在区域 D 上存在偏导数,且 f x ? f y ? 0, ,则 f ( x, y) 在区域上为

1 sin y ? 0 确定的隐函数 y ? f (x) 的导数 f '( x) ? 2 dy 2 4 3 ? 12. 设 x y ? 3x y ? 4 ? 0 , 则 . dx
11. 由方程 F ( x, y ) ? y ? x ? 13. 平面上点 P 的直角坐标 ( x, y ) 与极坐标 ( r , ? ) 之间的坐标变换公式为

.

.

其雅可比行列式

?( x, y) ? ?(r , ? )

.

14. 直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r , ? ,? ) 之间的变换公式为

.

其雅可比行列式

? ( x, y , z ) ? ? (r , ? , ? )

.

15. 设平面曲线由方程 F ( x, y) ? 0 给出, 它在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内满足隐函数定理的 条件,则该曲线在点 P0 处存在切线和法线,其方程分别为 切线: 法线: , .

16. 设 空 间 曲 线 由 参 数 方 程 L : x ? x(t ), y ? y(t ), z ? z (t ),? ? t ? ? 给 出 , 它 在 点

P ( x0 , y0 , z0 ) ? ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) 处的切线和法平面方程为 0
切线: ,

法平面: 17. 设空间曲线 L 由方程组 ?

.

? F ( x, y, z ) ? 0, 给出, 若它在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内满足 0 ? G( x, y, z ) ? 0

隐函数定理的条件,则该曲线在点 P0 处存在切线和法平面,其方程分别为 切线: 法平面: , .

18. 设曲面由方程 F( x, y, z ) ? 0 给出,它在点 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 的某邻域内满足隐函数定理条 件,则该曲面在 P0 处有切平面与法线,它们的方程分别是 切平面: 法线: 19. 条件极值问题的一般形式是在条件组 的限制下,求目标函数 其拉格朗日函数是 其中 ?1 , ?2 ,?, ?m 为拉格朗日乘数. 20. 若 f ( x, y) 在矩形区域 R 上连续, 则对任何 x0 ??a, b? , 都有 lim 21. (可微性)若函数 f ( x, y) 与其偏导数 续,则 I ( x) ? , .

?k ( x1 , x2 ,?, xn ) ? 0, k ? 1,2,?, m(m ? n)
的极值. ,

y ? f ( x1 , x2 ,?, xn )

x ?x0 c

?

d

f ( x, y)dy ?

.

?

d

c

? f ( x, y ) 都在矩形区域 R ? ?a, b?? ?c, d ? 上连 ?x d d . f ( x, y)dy 在 ?a, b? 上可微,且 ? f ( x, y )dy ? dx c

22. ( 可 微 性 ) 设 f ( x, y), f x ( x, y) 在 R ? ?a, b?? ? p, q? 上 连 续 , c?x ?, d ?x ? 为 定 义 在

?a, b? 上其值含于 ? p, q?内的可微函数,则函数 F ( x) ? ?c( x)
F '( x) ?

d ( x)

f ( x, y)dy 在 ?a, b? 上可微,且
.

23. (两个累次积分的关系)若 f ( x, y) 在矩形区域 R ? ?a, b?? ?c, d ? 上连续,则

?

b

a

dx ? f ( x, y)dy ?
c

d

.

24. 含参量反常积分

?

??

c

f ( x, y)dy 在 ?a, b? 上一致收敛的充要条件是:对任一趋于 ? ? 的
在 ?a, b? 上一致收敛.

递增数列 ?An ?(其中 A1 ? c ),函数项级数

25. 设有函数 g ( y ) ,使得 f ( x, y) ? g ( y), a ? x ? b, c ? y ? ??. 若

?

??

c

g ( y)dy 收敛,则

?

??

c

f ( x, y)dy 在 ?a, b? 上

.

26. ( 连 续 性 ) 设 f ( x, y) 在 ?a, b?? ?c,??? 上 连 续 , 若 含 参 量 反 常 积 分

I ( x) ? ?

??

c

f ( x, y)dy 在 ?a, b? 上

,则 I (x) 在 ?a, b? 上

.

27. ( 可 微 性 ) 设 f ( x, y) 与 f x ( x, y) 在 区 域 ?a, b?? ?c,??? 上 连 续 。 若

I ( x) ? ?

??

c

f ( x, y)dy 在 ?a, b? 上
I '( x) ?



?

??

c

f x ( x, y )dy 在 ?a, b? 上
. , B( p, q) ?

,则 I (x) 在 ?a, b?

上可微,且

28. 含参量积分: ?( s) ?

,


统称为欧拉积分,其中前者又称为格马( Gamma )函数(或写作 ? 函数 ),后者称为 贝塔( Beta )函数(或写作 B 函数). 29.

? 函 数 有 下 列 递 推 公 式 ?(s ? 1 ) ?
.

,

则 ? ( n) ?

,

1? ? ??n ? ? ? 2? ?
30. ? 函数还有其它两种形式, 它们是 ?( s) ? 和 ?( s ) ? 31. B 函数有下列递推公式 B( p, q) ?

, . , , . , . .

B( p, q) ? B( p, q) ?
32. B 函数还有其它两种形式, 它们是 B( p, q) ?

B( p, q) ?
33. ? 函数与 B 函数之间的关系是 B( p, q) ? 34.

?

L

( x ? y)ds ? _________,其中 L 是以 O(0,0), A(1,0), B(0,1) 为顶点的三角形.
( x2 ? y 2 ? z 2 )ds ? ______ , 其 中 L 为 螺 旋 线 x ? a cos t , y ? a sin t , z ? bt

35 .

?

L

(0 ? t ? 2? ) 的一段.

36.设 L 为抛物线 y ? 2x 2 从(0,0)到(1,2)的一段,积分

? xdy ? ydx =______.
L

37.

? ?

L

? xdx ? ydy ? ______,其中 L 为圆周 x 2 ? y 2 .依逆时针方向. 2 2 x ?y

38.

?

L

xdx ? ydy ? zdz ? ______,其中 L :从 (1,1,1) 到 (2,3, 4) 的直线段.

39.设 D ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? x} ,则 40.设 V ? [0,1] ? [0,1] ? [0,1] ,则 41.

??
D

xdxdy ? __________

??? ( x ? y ? z )dxdydz =__________
V

?? f ?(x
D

2

? y 2 )dxdy =__________ ,其中 D ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? R 2 }.

42.由抛物线 y 2 ? mx , y 2 ? nx ( 0 ? m ? n ) , 直线 y ? ? x , y ? ? x ( 0 ? ? ? ? ) 所围的区域的面积是__________. 43. 44.

??? ( x
?
S

2

? y 2 ? z 2 )dxdydz=______, 其中 ? 为球 { ( x, y, z) | x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1} .
2

?? ( x ? y ? z )dS =_______, 其中 S 是上半球面 x ?? ( x
S 2

? y 2 ? z 2 ? a2 , a ? 0 .

45.

? y 2 ) dS =_______, 其中 S 为立体 x 2 ? y 2 ? z ? 1, a ? 0 的边界曲面.

46.

?? x
S

2

dS 2 2 2 =_______, 其中 S 为柱面 x ? y ? R 被平面 z ? 0, z ? H 所截取的部分. 2 ?y

47.设 S 为平面 x ? y ? z ? 1 在第一卦限中的部分,则 48.

?? zdS ? ______.
S

?? xyzdS =_______, 其中 S 为平面 x ? y ? z ? 1在第一卦限中的部分.
S


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