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【双元教育】2018年合肥高三第二次教学质量检测数学(理)试卷+答案


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安徽省合肥市 2018 届高三第二次教学质量检测 数学试题(理科)
注意事项: 1.答题前,务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。 2.答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、笔 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水 签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在 试题卷、草稿纸上答题无效。

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知复数 z 满足 z ? A.第一象限 2.已知集合 A. ,则复数 z 在复平面内对应的点在( ?1 ? 2i ? ? i ( i 是虚数) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

A ? ? x | ?2 ? x ? 3? ,集合 B ? ? x | x ? 1? ,则 A ? B ? (
B.

? ?2,1?

? ?2,3?

C.

? ??,1?

D.

? ??,3?


3.命题 A. ?a B. ?a C. ?a D. ?a

p : ?a ? 0 ,关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 有实数解,则 ?p 为( ? 0 ,关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 有实数解 ? 0 ,关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 没有实数解 ? 0 ,关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 没有实数解 ? 0 ,关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 有实数解 ? ?

4.在直角坐 标系中,若角 ? 的终边经过点 P ? sin

5? 5? ? , cos ? ,则 sin ? ? ? ? ? ? ( 3 3 ?
D.



A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

3 2

5.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题: “九百九十斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.

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题意 是:把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多 17 斤绵,那么第 8 个儿子分到的绵是( A.174 斤 ) C.191 斤 D.201 斤

B.184 斤

6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 1,则输入 x 的的值为( A.3 或-2 B.2 或-2 C. 3 或-1 D.-2 或-1 或 3



7.小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午 5:00 -6:00 之间送货上门,已知小李下班到家的时间为下午 5:30-6:00. 快递员到小李家时,如果小李未到家,则快递员会电话联系 小李.若小李能在 10 分钟之内到家,则快递员等小李回来;否则, 就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为( A. )

1 9

B.

8 9

C.

5 12

D.

7 12
, G 的平面截

8.在正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F , G 分别为棱 CD , CC1 , A1 B1 的中点,用过点 E , F


正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为(

A.

B.

C.

D.

9.已知函数 A. b ? a

f ? x? ?

1 ? 2x 1 ? 2x

,实数 a , b 满足不等式

f ? 2a ? b ? ? f ? 4 ? 3b ? ? 0 ,则下列不等式恒成立的是(
D. a ? 2b ?



?2

B. a ? 2b

?2

C.

b?a ? 2

2

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??? ? ???? x2 y2 10.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 , A , B 是双曲线 C 上的两点,且 AF 1 ? 3F1B , a b cos ?AF2 B ?
A.

3 ,则该双曲线的离心率为( 5
B.



10

10 2

C.

5 2

D.

5

11.已知函数

?? ? ?? ? f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? ??? ? 0, 0 ? ? ? ? ? , f ? ? ? 2 , f ? ? ? 0 ,且 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上单调. ?8? ?2?


下列说法正确的是( A. ?

?

1 2

B.

? ?? f ?? ? ? ? 8?

6? 2 2

C.函数

?? ? f ? x ? 在 ? ?? , ? ? 上单调递增 2? ?

D.函数

? 3? ? y ? f ? x ? 的图象关于点 ? , 0 ? 对称 ? 4 ? 1 ? ?ACI ? ?BAC ,对满足上述条件的所有 ?ABC ,下列 2

12.已知点 I 在 ?ABC 内部, AI 平分 ?BAC , ?IBC 说法正确的是( )[来源:学_科_网]

A. ?ABC 的三边长一定成等差数列 B. ?ABC 的三边长一定成等比数列 C.

?ABI , ?ACI

, ?CBI 的面积一定成等差数列

D. ?ABI , ?ACI , ?CBI 的面积一定成等比数列

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 14.在

?

?

? ? ? ? ? ,则 2a ? b ? a ? b ? 3

?

??

?



? 2 x ? 1? ? x ? 2 ?
2

3

的展开式中, x 的系数等于

2



15.已知半径为 3cm 的球内有一个内接四棱锥 S 锥S

? ABCD ,四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长都相等,底面是正方形,当四棱 cm .

? ABCD 的体积最大时,它的底面边长等于

16.为保护环境,建设美丽乡村,镇政府决定为

A, B, C 三个自然村建造一座垃圾处理站,集中处理 A, B, C 三个自然村的 A 村相距 5km ,且与 C 村相距 31km 的地方.已知 B 村在 A 村的正 3km ,则垃圾处理站 M
与 B 村相距

垃圾,受当地条件限制,垃圾处理站 M 只能建在与

东方向,相距 3km , C 村在 B 村的正北方向,相距 3

km .

双元教育个性化学习中学教研室 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知等比数列

?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 4S5 ? 3S4 ? S6 ,且 a3 ? 9 .

Ⅰ ? ? 求数列 ?an ? 的通项公式;

?Ⅱ? 设 bn ? ? 2n ? 1? ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Tn .

18. 为了解

A 市高三数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制

如图所示的频率分布直方图.

(精确到个位) Ⅰ ? ? 根据频率分布直方图,估计该市此次检测理科数学的平均成绩 u0 ;

?Ⅱ? 研究发现,本次检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 X

~ N ? u , ? 2 ? ( u ? u0 , ?

约 19.3).

① 按以往的统计数据,理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占 46% ,据此估计本次检测成绩达到升一本的
理科数学成绩大约是多少分?(精确到个位)[来源:学§科§网 Z§X§X§K][来 x|k.Cm]

② 已知 A 市理科考生约有 1000 名,某理科学生此次检测数学成绩为 107 分,则该学生全市排名大约是多少名?
(说明: P

? x ? x1 ? ? 1 ? ? ? ?

x1 ? u ? ? x1 ? u ? ? 表示 x ? x1 的概率, ? ? ? 用来将非标准正态分布化为标准正态分布, ? ? ? ? ? ? x1 ? u



X ~ N ? 0,1? ,从而利用标准正态分布表 ? ? x0 ? ,求 x ? x1 时的概率 P ? x ? x1 ? ,这里 x0 ?

?

.相应于 x0 的值

? ? x0 ? 是指总体取值小于 x0 的概率,即 ? ? x0 ? ? P ? x ? x0 ? .参考数据: ? ? 0.7045 ? ? 0.54 , ? ? 0.6772 ? ? 0.46 , ? ? 0.21? ? 0.5832 ).

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19. 在四棱锥 P ?

平面 PAD ? 平面 ABCD ,AB / / CD ,AB ? AD , ABCD 中, O 为 AD 中点,PA ? PD ? 5 ,

AD ? AB ? 2CD ? 2 . Ⅰ ? ? 求证:平面 POB ? 平面 PAC ;

?Ⅱ? 求二面角 A ? PC ? D 的余弦值.

20. 已知点

A ?1, 0 ? 和动点 B ,以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 .

Ⅰ ? ? 求动点 B 的轨迹方程;

?Ⅱ? 已知点 P ? 2, 0 ? , Q ? 2, ?1? ,经过点 Q 的直线 l 与动点 B 的轨迹交于 M , N 两点,求证:直线 PM 与直线 PN
的斜率之和为定值.

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21. 已知函数

f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? ax 2 ( e 是自然对数的底数)

Ⅰ ? ? 判断函数 f ? x ? 极值点的个数,并说明理由;

?Ⅱ? 若 ?x ? R , f ? x ? ? e x ? x 3 ? x ,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x? t ? 2 ? 已知过点 P ? 0, ?1? 的直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,在以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极 ? y ? ?1 ? 3 t ? ? 2
坐标系中,曲线 C 的方程为 2a sin ?

? ? cos 2 ? ? 0 ?a ? 0 ? .

Ⅰ ? ? 求曲线 C 的直角坐标方 程;

?Ⅱ? 若直线 l 与曲线 C 分别交于点 M , N ,且 PM



MN



PN

成等比数列,求 a 的值.

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数

f ? x ? ? 3x ? m

.

Ⅰ ? ? 若不等式 f ? x ? ? m ? 9 的解集为 ? ?1,3? ,求实数 m 的值;

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?Ⅱ? 若 m ? 0 ,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于 60,求 m 的取值范围.

试卷答案 一、选择题
1-5: BDCAB 6-10: ADCCB 11、12: CB

二、填空题
13.

1 2

14.10

15.4

16.2 或 7

三、解答题
17. Ⅰ 设数列 由 4 S5

??

?an ? 的公比为 q .

? 3S 4 ? S6 ,得 S6 ? S5 ? 3S5 ? 3S 4 ,即 a6 ? 3a5 ,∴q ? 3 ,

∴an ? 9 ? 3n ?3 ? 3n ?1 .

?Ⅱ? bn ? ? 2n ? 1? ? an ? ? 2n ? 1? ? 3 n?1 ,
∴Tn ? 1 ? 30 ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? …? ?2n ? 1 ?? 3 n ?1 , 3Tn ? 1 ? 31 ? 3 ? 32 ? … ? ?2n ? 3 ? ? 3 n ?1 ? ?2n ? 1 ?? 3 n ,

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∴? 2Tn ? 1 ? 2 ? 31 ? 2 ? 3 2 ? …? 2 ? 3 n ?1 ? ?2n ? 1 ?? 3 n ? ?2 ? ?2 ? 2n ?? 30 ∴Tn ? ? n ? 1? ? 3n ? 1 .
18. Ⅰ 该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为: u0

,[来源:学科网]

??

? 65 ? 0.05 ? 75 ? 0.08 ? 85 ? 0.12 ? 95 ? 0.15

?105 ? 0.24 ? 115 ? 0.18 ? 125 ? 0.1 ? 135 ? 0.05 ? 145 ? 0.03 ? 103.2 ? 103 .

?Ⅱ? ① 记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 x1 ,
根据题意, P

? x ? x1 ? ? 1 ? ? ? ?

x1 ? u0 ? ? x1 ? 103 ? ? ? 0.46 ? ? 1? ? ? ? 19.3 ? ? ? ?

,即 ? ?

? x1 ? 103 ? ? ? 0.54 . ? 19.3 ?

由?

? 0.7054 ? ? 0.54 得,

x1 ? 103 ? 0.7054 ? x1 ? 116.6 ? 117 , 19.3

所以,本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 117 分.

? 107 ? 103 ? ②P ? x ? 7 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ?0.2072 ? ? 1 ? 0.5832 ? 0.4168 ? 19.3 ?
所以,理科数学成绩为 107 分,大约排在 10000 ? 0.4168 ? 19. Ⅰ 由条件可知, Rt ?ADC≌Rt ?BAO ,∴?DAC



4168 名.

??

? ?ABO ,

∴?DAC ? ?AOB ? ?ABO ? ?AOB ? 90? ,∴AC ? BO . ? PA ? PD ,且 O 为 AD 中点, ∴PO ? AD . ?平面PAD ? 平面ABCD ? ?平面PAD ? 平面ABCD ? AD ?? ? PO ? AD ? ? PO ? 平面PAD
又? AC 又? BO ? PO

,∴PO

? 平面 ABCD .

? 平面 ABCD ,∴AC ? PO . ? O ,∴AC ? 平面 POB .[来源:Zxxk.Com]

? AC ? 平面 PAC ,∴平面 POB ? 平面 PAC .

?Ⅱ? 以 O 为空间坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 P ? 0, 0, 2 ? , A ?1, 0, 0 ? , D ? ?1, 0, 0 ? ,C ? ?1,1, 0 ? ,
??? ? ???? ??? ? ??? ? PA ? ?1, 0, ?2 ? , AC ? ? ?2,1, 0 ? , PD ? ?1, 0, ?2 ? , CD ? ? 0,? 1, 0? ,
设 n1

??

? ? x , y , z ? 为平面 PAC 的一个法向量,

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?? ??? ? 1 ? ? n1 ? PA ? 0 ? x ? 2 z ? 0 ? ?z ? x 由 ? ?? ???? 得? ,解得 ? 2 . ? 2 x ? y ? 0 n ? AC ? 0 ? ? ? ? 1 ? y ? 2x
令x

?? ? 2 ,则 n1 ? ? 2, 4,1? . ?? ? ? ? ?2, 0,1? ,
.

?? ?? ? n1 ? n2 3 105 ∴二面角 A ? PC ? D 的平面角 ? 的余弦值 cos ? ? ?? ?? ? ? ? 35 105 n1 n2

同理可得,平面 PDC 的一个法向量 n2

20. Ⅰ 如图,设以线段

??

AB 为直径的圆的圆心为 C ,取 A′ ? ?1, 0 ? .

依题意,圆 C 内切于圆 O ,设切点为 D ,则 O , C , D 三点共线,

′B ? 2OC . ? O 为 AA′ 的中点, C 为 AB 中点,∴A ∴ BA′ ? BA ? 2OC ? 2 AC ? 2OC ? 2CD ? 2OD ? 4 ? AA′ ?2
依椭圆得定义可知,动点 B 的轨迹为椭圆,其中:

BA′ ? BA ? 2a ? 4 , AA′ ? 2c ? 2 , ∴a ? 2 , c ? 1 ,∴b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , ∴动点 B 的轨迹方程为 x2 y2 ? ? 1. 4 3

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x2 y2 ?Ⅱ? 当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x ? 2 ,此时直线 l 与椭圆 ? ? 1 相切,与题意不符.当直 4 3
线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? 2 ? .

? y ?1 ? k ?x ? 2? ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 得 ? 4k ? 3 ? x ? ?16k ? 8k ? x ? 16k ? 16k ? 8 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4 ? 16k 2 ? 8k x ? x ? ? 1 2 4k 2 ? 3 ? 16k 2 ? 16k ? 8 ? 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 ? x1 x2 ? , 2 4 k ? 3 ? 1 ? ?? ? 0 ? k ? 2 ? ∴k PM ? k PN ? ? 2k ? k ? x1 ? 2 ? k ? x2 ? 2 ? y1 y2 ? ? ? ? 2k ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 ? 1 1 ? ? ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?

x1 ? x2 ? 4 x1 ? x2 ? 4 ? 2k ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

? 16k 2 ? 8k ? ? ??4 4k 2 ? 3 ? ? ? 2k ? ? 16k 2 ? 8k 16k 2 ? 16k ? 8 ? 2 ? 2 4k 2 ? 3 ? 4k ? 3
x

? ??4 ?

? 2k ? 3 ? 2k ? 3 .

21. ? Ⅰ ? x ? ? xe ? 2ax ? x e ? 2a , ? ? f′
x

?

?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上单 调递减,在 ? 0, ?? ? 上单调递增,∴f ? x ? 有 1 个极值点; 当0 ? a ?

1 时,f ? x ? 在 ? ??, ln 2 a ? 上单调递增, 在 ? ln 2 a, 0 ? 上单调递减, 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, ∴f ? x ? 2

有 2 个极值点;

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1 时, f ? x ? 在 R 上单调递增,此时 f ? x ? 没有极值点; 2 1 当 a ? 时, f ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上单调递增,在 ? 0, ln 2 a ? 上单调递减,在 ? ln 2 a, ?? ? 上单调递增,∴f ? x ? 2
当a ? 有 2 个极值点;

∴当 a ? 0 时, f ? x ? 有 1 个极值点;当 a ? 0 且 a ?
极值点.

1 1 时, f ? x ? 有 2 个极值点;当 a ? 时 , f ? x ? 没有 2 2

?Ⅱ? 由 f ? x ? ? e x ? x 3 ? x 得 xe x ? x 3 ? ax 2 ? x ? 0 .
ex ? x2 ? 1 当 x ? 0 时, e ? x ? ax ? 1 ? 0 ,即 a ? 对 ?x ? 0 恒成立. x
x 2

? x ? 1? ? e ? x ? 1? ex ? x2 ? 1 设 g ? x? ? ,则 g′ . ? x? ? x x2
x

设 h ? x ? ? e ? x ? 1 ,则 h′ ? x? ? e ?1.
x x

? x ? 0 ,∴h′ ? x? ? 0 , ∴h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, ∴h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 ,即 e x ? x ? 1 , ∴g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, ∴g ? x ? ? g ?1? ? e ? 2 ,∴a ? e ? 2 .
当 x ? 0 时,不等式恒成立, a ? R ; 当 x ? 0 时, e ? x ? ax ? 1 ? 0 . 设 h ? x ? ? e ? x ? ax ? 1 ,则 h′ ? x ? ? e ? 2x ? a .
x 2 x x 2

设 ? ? x ? ? e ? 2 x ? a ,则 ?′ ? x? ? e ? 2 ? 0 ,
x x

∴h′ ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上单调递减,∴h′ ? x ? ? h′ ? 0? ? 1? a .
若 a ? 1 ,则 h′ ? x ? ? 0 ,∴h ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上单调递增,∴h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 . 若 a ? 1 ,? h′ ? 0 ? ? 1 ? a ? 0 ,∴?x0 ? 0 ,使得 x ? ? x0 , 0 ? 时, h′ ? x? ? 0 , 即 h ? x ? 在 ? x0 , 0 ? 上单调递减,∴h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 ,舍去.

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∴a ? 1 .
综上可得, a 的取值范围是 ? ??, e ? 2 ? . 22. ? Ⅰ ? ? 2a sin ? ? ? cos ? ? 0 ,∴2a ? sin ? ? ? cos ? ? 0 ,即 x ? 2ay ? a ? 0 ? .
2 2 2 2

? ? ? ?4 3a 2 ? 4 ? 8a ? 0, 1 ? ? x? t ? 2 ? ? 2 2 代入 x ? 2ay ,得 t ? 4 3at ? 8a ? 0 ,得 ?t1 ? t2 ? 4 3a , ①. ?Ⅱ? 将 ? ? y ? ?1 ? 3 t ?t t ? 8a. ? ?12 ? 2 ? ? a ? 0 ,∴解 ① 得 a ? 2 . 3
2 2

?

?

? PM , MN , PN 成等比数列,∴ MN ? PM ? PN ,即 t1 ? t2 ? t1t2 , ∴? t1 ? t2 ? ? 4t1t2 ? t1t2 ,即 4 3a
2

?

?

2

? 40a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ?

?a ?

2 5 ,∴a ? . 3 6 ? ?9 ? m ? 0①, ? ? 3 x ? m ? 9 ? m②.

5 . 6

23. ? Ⅰ ? 由题意得 ? 解 ① 得 m ? ?9 .

?9 ? 2 m ? x ? 3. 3 ?9 ? 2 m ? 不等式 f ? x ? ? 9 的解集为 ? ?1,3? ,∴ ? ?1 ,解得 m ? ?3 ,满足 m ? ?9 . 3 ② 可化为 ?9 ? m ? 3 x ? m ? 9 ? m , ∴ m ? ?3

?Ⅱ? 依题意得, g ? x ? ? 3x ? m ? 2 x ? 1 .
? m? ? ?? x ? m ? 2 ? x ? ? 3 ? , ? ? ? ? ? m ? 又? m ? 0 ,∴g ? x ? ? ?5x ? m ? 2 ? ? ? x ? 1 ? , ? 3 ? ? ? x ? m ? 2 ? x ? 1? . ? ? ? 2?m ? ? m 2m ? B? , 0? , C ?? ,? ? 2? , g ? x ? 的图象与 x 轴围成的 ?ABC 的三个顶点的坐标为 A ? ?m ? 2, 0 ? , 3 ? 5 ? ? 3 ?

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∴S ?ABC

4 ? m ? 3? 1 ? AB ? yC ? ? 60 ,解得 m ? 12 . 2 15
2


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