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高中数学 第四章 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

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4.2.1
[学习要求]

直线与圆的位置关系

1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离; 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系; 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. [学法指导] 通过观察图形,探究出圆心到直线的距离与圆半径的大 小关系是判断直线与圆位置关系的依据,从而理解并掌 握判断直线与圆位置关系的方法,感悟数形结合的思 想. 通过判断直线与圆的方程组成的方程组的解的情况, 理解代数法也可以判断直线与圆的位置关系.
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填一填·知识要点、记下疑难点

直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 公共点个数 几何法:设圆心到直 线的距离d= |Aa+Bb+C| A2+B2 d < r d= r d > r 相交 相切 相离

2个

1个

0个

判 定

代数法:由 方 ? ?Ax+By+C=0 2 2 2 法 ? ? ??x-a? +?y-b? =r 消元得到一元二次方 程的判别式Δ

Δ > 0 Δ=0 Δ < 0
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[问题情境] 在初中我们判断直线与圆的位置时,是通过图形看直线与 圆有几个交点,当它们有两个公共点时,直线与圆相交; 有一个公共点时相切;没有公共点时相离.现在我们学习 了直线与圆的方程后,如何用直线和圆的方程判断它们之 间的位置关系?本节我们就来探讨这个问题.

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探究点一 导引 判定直线与圆的位置关系的方法 一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的 km的圆形区域.已知小岛中心位

中心为圆心,半径为30

于轮船正西70 km处,港口位于小岛中心正北40 km处.如 果这艘轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险? 问题1 通过怎样的方法把这个实际问题转化为数学问题?
答 以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示 的直角坐标系.

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问题2 如何表示导引中的圆的方程及轮船沿直线返港时的直线 的方程? 答 取10 km为单位长度.则受暗礁影响的圆形区域所对应的

圆心为O的圆的方程为x2+y2=9;轮船航线所在直线的方程 为4x+7y-28=0.

问题3


轮船沿直线返港是否会有触礁危险的问题归结为怎样
归结为圆与直线有无公共点,若有公共点则会触礁,若没

的数学问题?
有公共点,则不会触礁.

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问题4 怎样用几何法判断直线与圆的位置关系?



利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系判断它们

之间的位置关系,若d>r,直线与圆相离;若d=r,直线与 圆相切;若d<r,直线与圆相交.
问题5 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?

(1)如果直线l和圆C的方程分别为:Ax+By+C=0,(x-a)2 |Aa+Bb+C| 2 2 +(y-b) =r .可以用圆心C(a,b)到直线的距离d= A2+B2 答 与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系; (2)把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组 ? ?Ax+By+C=0 成的方程组 ? 2 2 的解的个数问题,这样 ? x + y + Dx + Ey + F = 0 ?
当方程组无解时,直线与圆相离;方程组有一解时,直线与 圆相切;方程组有两解时,直线与圆相交.
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例1 已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4

=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求它们交点 的坐标. 解 方法一 由直线与圆的方程, ? ?3x+y-6=0 得? 2 2 . ? x + y - 2 y - 4 = 0 ?
消去y,得x2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2=1>0, 所以,直线与圆相交,有两个公共点.
方法二 圆的方程配方,得x2+(y-1)2=5,圆心C的坐标为 (0,1),半径长为 5,圆心C到直线的距离 |3×0+1×1-6| 5 d= = < 5. 10 32+12
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所以,直线与圆相交,有两个公共点. 由方程x2-3x+2=0, 解得x1=1,x2=2. 可求得两个交点坐标为(1,3),(2,0). 小结 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法:一是利用 直线与圆的交点个数;二是利用圆心到直线的距离d与圆半径 长的大小关系.

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跟踪训练1 已知圆的方程x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值 时:(1)圆与直线有两个公共点; (2)圆与直线只有一个公共点; (3)圆与直线没有公共点.
解 方法一 圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离 |b| 为d= ,圆的半径r= 2. 2

(1)当d<r,即-2<b<2时,直线与圆相交,有两 个公共点;
(2)当d=r,即b=± 2时,直线与圆相切,有一个公共点; (3)当d>r,即b>2或b<-2时,直线与圆相离,无公共点.
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消去y2得2x2+2bx+b2-2=0,Δ=16-4b2.

(1)当Δ>0,即-2<b<2时,直线与圆有两个公共点;
(2)当Δ=0,即b=± 2时,直线与圆有一个公共点;
(3)当Δ<0即b>2或b<-2时,直线与圆无公共点.

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探究点二 与直线截圆所得弦长有关的问题 例2 已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所 截得的弦长为4 5,求直线l的方程. 解 将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25,所以,

圆心的坐标是(0,-2),半径r=5.

因为直线被圆截得的弦长为4 5,
4 52 所以,弦心距为 5 -? ? = 5, 2 设过点M的直线方程为y+3=k(x+3),
2

即kx-y+3k-3=0. |0+2+3k-3| 由弦心距为 5,得 = 5, 2 k +1 1 解得k=-2,或k=2,

所以,所求直线有两条,它们的方程分别为x+2y+9=0,或 2x-y+3=0.
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小结

涉及与圆的弦长有关问题,常用垂径定理和由半弦长、弦

心距及半径所构成的直角三角形解之,以简化运算.

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跟踪训练2 A.2 5 直线x+ 3 y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B ( B ) C. 3 D.1 B. 2 3

两点,则弦AB的长度等于

解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解.
|0+ 3×0-2| ∵圆心到直线x+ 3 y-2=0的距离d= 2 2 =1, 1 +? 3? 半径r=2,

∴弦长|AB|=2 r2-d2=2 22-12=2 3.

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1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
解析 1 2 圆心到直线的距离d= = <1, 1+1 2

( B )

又∵直线y=x+1不过圆心(0,0),∴选B.

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2.已知P={(x,y)|x+y=2},Q={(x,y)|x2+y2=2},那 么P∩Q为 A.? C.{(1,1)}
解析

( C ) B.(1,1) D.{(-1,-1)}
,得x=y=1.

2 2 ? ?x +y =2 解方程组? ? ?x+y=2

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2 2 3.直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为________ . 解析 方法一 求出圆心到直线的距离,利用“弦心距、半弦
长、半径”构成直角三角形求解. ∵x2+(y-2)2=4,∴圆心坐标为(0,2). 2 又点(0,2)到直线y-x=0的距离为 = 2,且圆的半径为2, 2 由“弦心距、半弦长、半径”构成直角三角形可知,弦长为 2 4-2=2 2. 方法二 将y=x代入x2+(y-2)2=4求出两交点坐标,根据弦长 公式求解. 将y=x代入x2+(y-2)2=4,解得y=0或y=2,
故直线y=x与圆x2+(y-2)2=4的两交点坐标为A(0,0),B(2,2). 故|AB|=2 2.
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4.过点M(3,2)作⊙O:x2+y2+4x-2y+4=0的切线,则切
y=2或5x-12y+9=0 . 线方程是______________________
解析 易知所求切线不可能垂直于x轴,故切线斜率必定存在. 设切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0, |-2k-1+2-3k| 5 由 =1,得k= 或k=0,代入即可求得. 2 2 12 k +?-1?

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1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中,几何法要结合圆 的几何性质进行判断,一般计算较简单.而代数法则是通 过解方程组进行消元,计算量大,不如几何法简捷. 2.一般地,在解决圆和直线相交的问题时,应首先考虑圆心 到直线的距离,弦长的一半,圆的半径构成的直角三角 形.还可以联立方程组,消去x或y,组成一个一元二次方 程,利用方程根与系数的关系表达出弦长l= k2+1· ?x1+x2?2-4x1x2= k2+1|x1-x2|. 3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点 求圆的切线方程时,要考虑该点是否在圆上.当点在圆上 时,切线只有一条;当点在圆外时,切线有两条.
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