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专题检测卷(九) 专题三 第二讲


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专题检测卷(九)
三角恒等变换 (40 分钟) 一、填空题 1.已知 sin 错误! 未找到引用源。 =-错误! 未找到引用源。 ,则 sin2x= .

2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ = .

3.(2013·南京模拟)已知角α ,β ,γ 构成公差为错误!未找到引用源。的等差 数列,若 cosβ =-错误!未找到引用源。,则 cosα +cosγ = .

4.已知 cosα =错误!未找到引用源。,cos(α +β )=-错误!未找到引用源。,α , β 都是锐角,则 cosβ = . . .

5.若 tanα =错误!未找到引用源。,则 cos 错误!未找到引用源。= 6.已知错误! 未找到引用源。 =-错误! 未找到引用源。 ,则 cosα +sinα =

7.tanθ 和 tan 错误!未找到引用源。是方程 x2+px+q=0 的两根,则 p,q 之间的关 系是 .

8.(2013·江西高考)函数 y=sin2x+2 错误!未找到引用源。sin2x 的最小正周期 为 .

9.(2013·常州模拟)sin 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则 sin2 α = .
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10.已知α ,β 均为锐角且 sinα =错误!未找到引用源。,sinβ =错误!未找到引 用源。,则α +β = .

11.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设θ 为第二象限角,若 tan θ +错误! 未找到引用源。 =错误!未找到引用源。,则 sinθ + cosθ = . .

12.(2013·重庆高考改编)4cos50°-tan40°= 二、解答题

13.如图,A,B 是单位圆 O 上的点,且 A,B 分别在第一、二象限.C 是圆与 x 轴正半 轴的交点,△AOB 为正三角形.若 A 点的坐标为错误!未找到引用源。.记∠COA= α .

(1)求错误!未找到引用源。的值. (2)求 cos∠COB 的值. 14.(2013·德州模拟)已知 cos 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。<x<错误!未找到引用源。. (1)求 sin2x 的值. (2)求错误!未找到引用源。的值. 15.(2013·常州模拟)已知 sinθ +cosθ =错误!未找到引用源。,θ ∈错误!未 找到引用源。.
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(1)求θ 的值. (2)求函数 f(x)=sin(x-θ )+cosx 在 x∈[0,π ]上的单调增区间.

答案解析
1.【解析】因为 sin 错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,所以错误! 未找到引用源。(sinx+cosx)=-错误!未找到引用源。,两边平方得: 错误!未找到引用源。(1+sin2x)=错误!未找到引用源。, 解得:sin2x=-错误!未找到引用源。. 答案:-错误!未找到引用源。 2. 【解析】 f(x)=sinx-2cosx=错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 sin(xφ)

因为 x=θ时,f(x)取得最大值,所以 sin(θ-φ)=1, 即 sinθ-2cosθ=错误!未找到引用源。,又因为 sin2θ+cos2θ=1, 解得:cosθ=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。
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3.【解析】因为α,β,γ构成公差为错误!未找到引用源。的等差数列, 所以α=β-错误!未找到引用源。,γ=β+错误!未找到引用源。, cosα+cosγ=cos 错误!未找到引用源。+cos 错误!未找到引用源。 =cosβcos 错误!未找到引用源。+sinβsin 错误!未找到引用源。+cosβcos 错误!未找到引用源。-sinβsin 错误!未找到引用源。 =2cosβcos 错误!未找到引用源。=cosβ=-错误!未找到引用源。. 答案:-错误!未找到引用源。 4.【解析】因为α,β是锐角,所以 0<α+β<π, 又 cos(α+β)=-错误!未找到引用源。<0,所以错误!未找到引用源。<α+β< π, 所以 sin(α+β)=错误!未找到引用源。,sinα=错误!未找到引用源。. 又 cosβ=cos(α+β-α) =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =-错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。×错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 5.【解析】因为 tanα=错误!未找到引用源。, 所以 cos 错误!未找到引用源。=-sin2α=-2sinαcosα =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。. 答案:-错误!未找到引用源。 6.【解析】由错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。可得 -错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。
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=错误!未找到引用源。(sinα+cosα), 故 cosα+sinα=-错误!未找到引用源。. 答案:-错误!未找到引用源。 7.【解析】根据根与系数之间的关系可得 tan 错误!未找到引用源。+tanθ=-p,tan 错误!未找到引用源。tanθ=q, 所以 tan 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 即 tan 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=1,所以 p-q+1=0. 答案:p-q+1=0 8.【解析】y=sin2x+2 错误!未找到引用源。sin2x =sin2x+2 错误!未找到引用源。 〃错误!未找到引用源。 =sin2x-错误!未找到引用源。cos2x+错误!未找到引用源。=2sin 错误!未找 到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以周期 T=错误!未找到引用源。=π. 答案:π 9.【解析】sin2α=-cos 错误!未找到引用源。 =-错误!未找到引用源。 =-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。. 答案:-错误!未找到引用源。 10.【解析】由 sinα=错误!未找到引用源。,sinβ=错误!未找到引用源。, α,β均为锐角, 得 cosα=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, cosβ=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,
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所以 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。×错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 又因为 0<α+β<π,所以α+β=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 【方法总结】选用三角函数的技巧 (1)一般已知正切函数值,选正切函数. (2)已知正、余弦函数值,函数的选取从以下三种情况考虑. ①若角的范围是错误!未找到引用源。选正弦或余弦函数; ②若角的范围是错误!未找到引用源。选正弦函数比余弦函数好; ③若角的范围是(0,π)选余弦函数比正弦函数好. 如本题在求α+β值时,若取其正弦时容易出错,因为 0<α+β<π,在此区间上余 弦函数是单调函数,而正弦函数在此区间不是单调函数,要求α+β的值还需将 范围缩小,比较麻烦. 11.【解析】因为θ为第二象限角,tan 错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。>0,所以角θ的终边落在直线 y=-x 的左侧,sinθ+cosθ<0,由 tan 错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。,即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以设 sinθ+cos θ=x,则 cosθ-sinθ=2x,将这两个式子平方相加得:x2=错误!未找到引用源。, 即 sinθ+cosθ=-错误!未找到引用源。. 答案:-错误!未找到引用源。 12.【解析】4cos50°-tan40°=4cos50°-错误!未找到引用源。
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=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 13.【解析】(1)因为 A 点的坐标为错误!未找到引用源。,根据三角函数定义可 知,0<α<错误!未找到引用源。,sinα=错误!未找到引用源。,cosα=错误! 未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=20. (2)因为△AOB 为正三角形,所以∠AOB=60°, 所以 cos∠COB=cos(∠COA+60°)=cos(α+60°) =cosαcos60°-sinαsin60° =错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。×错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 14.【解析】(1)因为 cos2 错误!未找到引用源。=cos 错误!未找到引用源。= -sin2x, 又 cos2 错误!未找到引用源。=2cos2 错误!未找到引用源。-1 =2×错误!未找到引用源。-1=-错误!未找到引用源。, 所以 sin2x=错误!未找到引用源。. (2)错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=sin2xtan 错误!未找到引用源。. 因为错误!未找到引用源。<x<错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用 源。<x+错误!未找到引用源。<2π,
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所以 sin 错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用 源。, 所以 tan 错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=-错误! 未找到引用源。. 15.【解析】(1)由 sinθ+cosθ=错误!未找到引用源。,两边平方, 得 1+sin2θ=错误!未找到引用源。,解得,sin2θ=错误!未找到引用源。, 又θ∈错误!未找到引用源。,所以 2θ∈错误!未找到引用源。, 此时 2θ=错误!未找到引用源。,θ=错误!未找到引用源。. (2)f(x)=sin(x-θ)+cosx=sin 错误!未找到引用源。+cosx =sinx〃错误!未找到引用源。-cosx〃错误!未找到引用源。+cosx =sinx〃错误!未找到引用源。+cosx〃错误!未找到引用源。=sin 错误!未找 到引用源。, 由-错误!未找到引用源。+2kπ≤x+错误!未找到引用源。≤错误!未找到引 用源。+2kπ,k∈Z, 解得-错误!未找到引用源。+2kπ≤x≤错误!未找到引用源。+2kπ, 而 x∈[0,π],所以 x∈错误!未找到引用源。, 故所求的单调增区间为错误!未找到引用源。.

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