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推荐高中数学人教A版选修2-1习题:第三章空间向量与立体几何检测(A)

如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

推荐高中数学人教 A 版选修 2-1 习题:第三章空间向量与立 体几何检测(A)

(时间:90 分钟

满分:120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 在空间四边形 ABCD 中,连接 AC,BD,若△BCD 为正三角形,且 E 为其 中心,则化简的结果是( A. B.2 ) C.0 D.2

解析:如图,F 是 BC 的中点,E 为 DF 的三等分点, 于是, , 则=0.故选 C. 答案:C

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

2 设平面 α 内的两个向量 a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是 α 的法向量的是( A.(-1,-2,5) C.(1,1,1) )

B.(-1,1,-1) D.(1,-1,-1)

解析:设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z),则取 y=1,得 n=(-1,1,-1). 答案:B 3 在以下命题中,不正确的个数为( )

①“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b 共线”的充要条件; ②若 a∥b,则存在唯一的实数λ ,使 a=λ b; ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若=2-2,则 P,A,B,C 四点共 面; ④|(a·b·c)|=|a||b||c|.
A.2 B.3 C.4 D.5

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

解析:①|a|-|b|=|a+b|? a 与 b 的夹角为 π ,是充分不必要条件,故不 正确;②当且仅当 b 为非零向量时成立,故不正确;③由 2-2-1≠1,结合 共面向量定理知,不正确;④由基底的定义知正确;⑤由向量的数量积的 性质知不正确. 答案:C 4 若向量 a=(1,x,2),b=(2,-1,2),a,b 夹角的余弦值为,则 x 等于 ( A.2 ) B.-2 C.-2 或 D.2 或-

解析:cos<a,b>=, 解得 x=-2 或 x=. 答案:C 5 已知两个不同的平面 α 与 β 的法向量分别为 m=(3,1,-5),n=(6,-2,10),则( A.α ⊥β ) B.α ∥β D.以上都不对

C.α 与 β 相交但不垂直

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

解析:∵n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),

∴n=-2m.∴m∥n.∴α 与β 平行.
答案:B 6 已知点 A(-3,4,3),O 为坐标原点,则 OA 与坐标平面 yOz 所成角的 正切值为( A. ) B. C. D.1

解析:∵点 A 在平面 yOz 上射影为 B(0,4,3),且|OB|=5,∴OA 与平面 yOz 所成角 θ 满足 tan θ =. 答案:B 7 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,若 ∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,则 A1C 的长为( A. C. B.2 D. )

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

答案:A 8 在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°.将菱形沿对角线 AC 折起, 使折起后 BD=1,则二面角 B-AC-D 的余弦值为( A. B. C. D. )

解析:设菱形对角线 AC 与 BD 相交于点 O,则∠BOD 为二面角 B-AC-D 的 平面角, 由余弦定理可得 cos ∠BOD=. 答案:A 9 若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λ b)⊥a,则实数 λ 的值是( A.-1 B.0 C.1 D.-2 )

解析:a+λ b=(0,1,-1)+(λ ,λ ,0)=(λ ,1+λ ,-1).由(a+λ b)⊥a,知 (a+λ b)·a=0. 所以 λ ×0+(1+λ )×1-1×(-1)=0, 解得 λ =-2.

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

答案:D 10 已知正三角形 ABC,BC? 平面 α ,点 A 在 α 上的射影为点 A',∠BA'C=90°,则平面 ABC 与平面 α 所成的二面角的正弦值等于 ( A. ) B. C. D.

解析:如图所示,过点 A'作 A'D⊥BC,垂足为 D,连接 AD,则易知∠ADA'为 所求二面角的平面角,令 BC=a,则 AB=AC=a,

∴A'B=A'C=a, ∴A'A=a.
又∵

=) =, ∴sin ∠ADA'=.
答案:A

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的 横线上) 11 若空间三点 A(1,5,-2),B(2,4,1),C 共线,则 p+q= 解析:由已知,得=(1,-1,3),. .

∵,∴, ∴p=,q=8.故 p+q=.
答案: 12 若 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)·(a+2b)= 答案:-200 13 若由空间向量 a=(1,2,3),b=(1,-1,1)构成向量集合 A={x|x=a+kb,k∈Z},则向量 x 的模|x|的最小值为 答案: 14 在空间四边形 OABC 中,若 OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则 cos <>的值 是 . . .

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

解析:cos <>=

==0.
答案:0 15 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 CD,CC1 的中点, 则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 .

解析:如图,以点 D 为原点,以 DA,DC,DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系. 设正方体的棱长为 2,则=(2,-1,2),=(0,2,1),=0, 故异面直线 A1M 与 ND 所成的角为 90°. 答案:90° 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 16(8 分)已知 a=(1,2,-2). (1)求与 a 共线的单位向量 b;

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

(2)若 a 与单位向量 c=(0,m,n)垂直,求 m,n 的值. 分析(1)a 与 b 共线,则 b=(λ ,2λ ,-2λ ),根据|b|=1,可求得 λ ;(2)a⊥c,则 a·c=0,且|c|=1,注意讨论解的情况. 解:(1)设 b=(λ ,2λ ,-2λ ),而 b 为单位向量,

∴|b|=1,即λ 2+4λ 2+4λ 2=9λ 2=1,∴λ =±. ∴b=或 b=.
(2)由题意,知 解得 17(8 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上一点,CP=m.试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0 ,1). 则=(-1,-1,0),=(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0). 又由=0,=0 知,
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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

为平面 BB1D1D 的一个法向量. 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ , 则 sin θ =|cos <>|=. 依题意得=sin 60°=, 解得 m=.故当 m=时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°. 18(9 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CP 的中点,AB=AC=1,PA=2. (1)求直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值; (2)求点 P 到平面 DEF 的距离. 解:(1)如图所示,以 A 为原点,AB,AC,AP 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建 立空间直角坐标系 Axyz. 由 AB=AC=1,PA=2,得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),

D,E,F.
设平面 DEF 的法向量 n=(x,y,z),

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

则 即 取 z=1,则平面 DEF 的一个法向量 n=(2,0,1). 设 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ , 则 sin θ =, 故直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为. (2)∵,n=(2,0,1),

∴点 P 到平面 DEF 的距离 d=.
19(10 分)如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面互相垂 直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE; (3)求二面角 A-BE-D 的大小. (1)证明如图,设 AC 与 BD 交于点 G,连接 EG.

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

∵EF∥AG,且 EF=1,AG=AC=1, ∴四边形 AGEF 为平行四边形,∴AF∥EG. ∵EG? 平面 BDE,AF?平面 BDE, ∴AF∥平面 BDE.
(2)证明∵正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,且 CE⊥AC,

∴CE⊥平面 ABCD.如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系 Cxyz,则 C(0,0,0),A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F. ∴=(0,-,1),=(-,0,1),∴=0-1+1=0,=-1+0+1=0. ∴CF⊥BE,CF⊥DE.又 BE∩DE=E, ∴CF⊥平面 BDE.
(3)解:由(2)知,是平面 BDE 的一个法向量, 设平面 ABE 的法向量 n=(x,y,z), 则 n·=0,n·=0. 即∴x=0,z=y.

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

令 y=1,则 z=.

∴n=(0,1,),从而 cos <n,>=. ∵二面角 A-BE-D 为锐角,∴二面角 A-BE-D 的大小为.
20(10 分)如图,在四面体 A-BCD 中,AD⊥平面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2.M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC. (1)证明:PQ∥平面 BCD; (2)若二面角 C-BM-D 的大小为 60°,求∠BDC 的大小. 方法一(1)证明:取 BD 的中点 O,在线段 CD 上取点 F,使得 DF=3FC.连接 OP,OF,FQ,因为 AQ=3QC,所以 QF∥AD,且 QF=AD. 因为 O,P 分别为 BD,BM 的中点, 所以 OP 是△BDM 的中位线, 所以 OP∥DM,且 OP=DM. 又点 M 为 AD 的中点,

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

所以 OP∥AD,且 OP=AD. 从而 OP∥FQ,且 OP=FQ,所以四边形 OPQF 为平行四边形,故 PQ∥OF. 又 PQ?平面 BCD,OF? 平面 BCD, 所以 PQ∥平面 BCD. (2)解:作 CG⊥BD 于点 G,作 CH⊥BM 于点 H,连接 GH. 因为 AD⊥平面 BCD,CG? 平面 BCD, 所以 AD⊥CG. 又 CG⊥BD,AD∩BD=D, 故 CG⊥平面 ABD. 又 BM? 平面 ABD, 所以 CG⊥BM. 又 GH⊥BM,CG∩GH=G,故 BM⊥平面 CGH,所以 GH⊥BM,CH⊥BM. 所以∠CHG 为二面角 C-BM-D 的平面角,即∠CHG=60°. 设∠BDC=θ .
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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

在 Rt△BCD 中,CD=BDcos θ =2cos θ ,

CG=CDsin θ =2cos θ sin θ , BG=BCsin θ =2sin2θ .
在 Rt△BDM 中,HG=. 在 Rt△CHG 中,tan∠CHG=. 所以 tan θ =.从而 θ =60°. 即∠BDC=60°. 方法二(1)证明:如图,取 BD 的中点 O,以 O 为原点,OD,OP 所在射线 为 y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 Oxyz. 由题意知 A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0). 设点 C 的坐标为(x0,y0,0).因为=3, 所以 Q. 因为 M 为 AD 的中点,故 M(0,,1). 又 P 为 BM 的中点,故 P,

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如果唯一 的目标 是要在 某项业 务里取 得最大 限度的 当前利 润,如 果将来 不是不 确定的 ,如果 无需为 现金和 资本可 用性焦 虑,如 果大多 数因素 可以分 解成确 定数据 ,这样 条件下 的评估 将是相 对容易 的。但 是,由 于计划 工作者 通常都 面对很 多不确 定因素 ,资本 短缺问 题以及 各种各 样 无形因素 ,评估 工作通 常很困 难,甚 至比较 简单的 问题也 是这样 。一家 公司主 要为了 声誉, 而想生 产一种 新产品; 而预测 结果表 明,这 样做可 能造成 财务损 失,但 声誉的 收获是 否能抵 消这种 损失, 仍然是 一个没 有解决 的问题 。

所以. 又平面 BCD 的一个法向量为 u=(0,0,1),故·u=0. 又 PQ?平面 BCD,所以 PQ∥平面 BCD. (2)解:设 m=(x,y,z)为平面 BMC 的一个法向量. 由=(-x0,-y0,1),=(0,2,1), 知 取 y=-1,得 m=. 又平面 BDM 的一个法向量为 n=(1,0,0), 于是|cos<m,n>|=,即=3. 又因为 BC⊥CD,所以=0, 故(-x0,--y0,0)·(-x0,-y0,0)=0, 即=2. ② ①

联立①②,解得(舍去)或所以 tan∠BDC=. 因为∠BDC 是锐角,所以∠BDC=60°.

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