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【创新设计】高考数学 4-1-2圆的一般方程配套训练 新人教A版必修2

【创新设计】 2014 届高考数学 4-1-2 圆的一般方程配套训练 新人教 A 版必修 2

双基达标
2 2 2 2

限时20分钟 ).

1.方程 x +y +2ax+2by+a +b =0 表示的图形是( A.以(a,b)为圆心的圆 C.点(a,b)
2

B.以(-a,-b)为圆心的圆 D.点(-a,-b)
2

解析 由题意配方得(x+a) +(y+b) =0,所以方程表示点(-a,-b). 答案 D 2.若圆 x +y -2x-4y=0 的圆心到直线 x-y+a=0 的距离为
2 2

2 ,则 a 的值为 2 ( ).

A.-2 或 2 C.2 或 0

1 3 B. 或 2 2 D.-2 或 0

|1-2+a| 2 解析 由圆心(1,2)到直线的距离公式得 = 得 a=0 或 a=2.故选 C. 2 2 答案 C 3.已知圆 x +y -mx+y=0 始终被直线 y=x+1 平分,则 m 的值为( A.0 B.1 C.-3 D.3 1? 1 m ?m 解析 圆心? ,- ?在直线 y=x+1 上,所以- = +1,m=-3. 2? 2 2 ?2 答案 C 4.(2012·合肥高一检测)设直线 2x+3y+1=0 和圆 x +y -2x-3=0 相交于点 A,B,则 弦 AB 的垂直平分线方程是________________. 解析 由圆 x +y -2x-3=0,可得(x-1) +y =4. 2 圆心坐标为(1,0),kAB=- , 3 3 ∴AB 垂直平分线的斜率为 . 2 3 从而由点斜式,得 y-0= (x-1). 2 ∴直线方程为 3x-2y-3=0. 答案 3x-2y-3=0
2 2 2 2 2 2 2 2

).

5.设圆 x +y -4x+2y-11=0 的圆心为 A,点 P 在圆上,则 PA 的中点 M 的轨迹方程是 ________. 解析 将 x +y -4x+2y-11=0 配方,得(x-2) +(y+1) =16,则圆心 A(2,-1),设 PA 的中点 M(x,y),则 P(2x-2,2y+1),代入方程 x +y -4x+2y-11=0,化简,得 x +y -4x+2y+1=0. 答案 x +y -4x+2y+1=0 6.若 A(5,0)、B(-1,0)、C(-3,3)三点的外接圆为⊙M,点 D(m,3)在⊙M 上,求 m 的值. 解 设过 A(5,0)、B(-1,0)、C(-3,3)的圆的一般方程为
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

x2+y2+Dx+Ey+F=0.
依题意有 5 +0 +5D+E×0+F=0, ? ? 2 2 +0 -D+E×0+F=0, ? - ? ? - 2+32-3D+3E+F=0,
2 2

D=-4, ? ? 25 解得?E=- , 3 ? ?F=-5.



25 2 2 即所求圆的方程为 x +y -4x- y-5=0. 3 因为点 D(m,3)在⊙M 上, 25 2 2 所以 m +3 -4m- ×3-5=0. 3 解得 m=-3 或 m=7. 综合提高
2 2 2

限时25分钟 ).

7.如果圆的方程为 x +y +kx+2y+k =0,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为( A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(0,-1)

3k ? k?2 2 2 2 2 2 解析 ∵x +y +kx+2y+k =0,∴?x+ ? +(y+1) =1- ,∵k =0 时面积最大,∴圆 4 ? 2? 心坐标为(0,-1). 答案 D 8.圆 x +y -2x-1=0 关于直线 2x-y+3=0 对称的圆的方程是( 1 2 2 A.(x+3) +(y-2) = 2
2 2 2 2

2

).

1 2 2 B.(x-3) +(y+2) = 2
2 2

C.(x+3) +(y-2) =2 D.(x-3) +(y+2) =2

解析 已知圆的圆心为(1,0), 它关于直线 2x-y+3=0 的对称点为(-3,2), 此点即为对称 圆的圆心,两圆的半径未变,故选 C. 答案 C 9.圆 x +y -4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是 ________. 解析 由题意可化圆为(x-2) +(y-2) =18,圆心为(2,2),r=3 2,则圆心到直线 x+y -14=0 的距离 d= 10 2 =5 2.∵d>r,∴直线与圆相离.
2 2 2 2

故最大距离与最小距离的差是半径的两倍,即 6 2. 答案 6 2 10.已知点 P 是圆 C:x +y +4x+ay-5=0 上任意一点,P 点关于直线 2x+y-1=0 的对 称点也在圆 C 上,则实数 a=________. 解析 由题意知圆心?-2,- ?应在直线 2x+y-1=0 上,代入解得 a=-10,符合 D +E 2? ?
2 2 2

?

a?

2

-4F>0 的条件. 答案 -10 11.(2012·菏泽学院附中高一检测)已知 Rt△ABC 中,A(-1,0),B(3,0),求(1)直角顶点

C 的轨迹方程;(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程.
解 (1)设 C(x,y), 则 kAC= ,kBC= . x+1 x- 3

y

y

∵AC⊥BC,∴kAC·kBC=-1, 即

y y · =-1, x-3 x+1
2 2

化简得 x +y -2x-3=0. 由于 A、B、C 不共线,∴y≠0. 故顶点 C 的轨迹方程为

x2+y2-2x-3=0(y≠0).
(2)设 M(x,y),C(x1,y1), 由(1)知(x1-1) +y1=4(y≠0).① 又 B(3,0),M 为 BC 中点, 由中点坐标公式, 知 x=
2 2

x1+3
2

,y= , 2

y1

即 x1=2x-3,y1=2y.

代入①式,得中点 M 的轨迹方程为 (2x-4) +(2y) =4, 即(x-2) +y =1(y≠0). 12.(创新拓展)已知方程 x +y -2(t+3)x+2(1-4t )y+16t +9=0(t∈R)表示的图形是 圆. (1)求 t 的取值范围; (2)求其中面积最大的圆的方程; (3)若点 P(3,4t )恒在所给圆内,求 t 的取值范围. 解 (1)已知方程可化为 (x-t-3) +(y+1-4t ) =(t+3) +(1-4t ) -16t -9, ∴r =-7t +6t+1>0.即 7t -6t-1<0, 1 解得- <t<1. 7 (2)r= -7t +6t+1=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2

? 3?2 16 -7?t- ? + . ? 7? 7

3 ? 1 ? 4 7 当 t= ∈?- ,1?时,rmax= ,此时圆的面积最大, 7 ? 7 ? 7

? 24?2 ? 13?2 16 对应的圆的方程是?x- ? +?y+ ? = . 7 ? ? 49? 7 ?
(3)当且仅当
? ?-7t +6t+1>0, ? 2 2 2 ? -t- + t +1-4t ?
2

2

<-7t +6t+1,

2

时,

点 P 恒在圆内, 3 2 ∴8t -6t<0,即 0<t< . 4

? 3? 显然?0, ? ? 4?

?-1,1?, ? 7 ? ? ?

3 ∴t 的取值范围是 0<t< 4


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