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高三-高考预测理科数学


2016 年预测卷 全国Ⅰ卷 理科数学

理科数学
考试时间:____分钟
题型 得分 单选题 填空题 简答题 总分

单选题 (本大题共 12 小题,每小题____分,共____分。)

1.已知 A. {(1,1),(-1,1)} B. {1} C. [0,1] D. 2. 在复平面内,复数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限



.则





对应的点位于(

)

3. 设随机变量ξ 服从正态分布 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

,若

=

,则 c 的值是

4. 有一个古老的数列,它的意义非同一般,是意大利数学家里昂那多 .斐波那契首次提出。 现在给出如图所示的程序框图(算法流程图),那么它的输出结果是( )

A. B. C. D. 5.下列叙述正确的个数 是 ( ) ①l 为直线,α 、β 为两个不重合的平面,若 l⊥β ,α ⊥β ,则 l∥α ②若命题 ,则

③在△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件 ④若向量 a,b 满足 a·b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为

A.

B.

C.

D.

7.定义在 上的函数 ,都有 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 8. 已知

满足 是 的(

, )条件.

,任意的

中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 ,则 等于 ( )



A. B. C. 2 D.

9. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), f(2-x)=f(x),且当 x∈[0,1]时,其图象 是四分之一圆(如图所示),则函数 H(x)= |xe |-f(x)在区间 上的零点个数为 ( )
x

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 在今年的五一期间,某高校 4 名大学生申请去 A,B,C 三个旅游景点做志愿者,景区管 委会给他们这样安排,每个景点至少分配一人,每人只能到一个景点。在安排的时候。甲要 求不去景点 A,则不同的安排方案共有( ) A. 20 种 B. 24 种 C. 30 种 D. 36 种 11. 设双曲线 根分别为 ( A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定 12.已知函数 则 的取值范围是 ( ) ,若 互不相等,且 , ) 的右焦点为 ,若一个三角形的三边长为 ,方程 ,则边长为 的实数 的边所对的角是

A. B. C. D.

填空题 (本大题共 4 小题,每小题____分,共____分。)

13. 如果

展开式中

项的系数为

14.我们知道,把所有的正整数按照不同的方式排列,就会出现很多不同的意义。现在把 所有正整数按从小到大的顺序排成如图所示的数表,其中第 行共有 个正整数,设 表示位于这个数表中从上往下数第 行,从左往右数第 个数,若 , 则 的和为____.

15. 已知函数 ,则

的图象恒过定点 P,若点 P 在直线 的最小值为___________.

上,其中

16. 定义在 上的函数 列命题:①10 是 ② 的图像关于

满足

,且

为奇函数,给出下

的周期. 对称.



的图像关于

对称.



的最大值为

.

则正确命题的序号为____.

简答题(综合题) (本大题共 6 小题,每小题____分,共____分。)

已知等比数列 17.若

中,

. ,求数列 的通项公式;

为等差数列,且满足

18.若数列

满足

,求数列

的前 项和 .

如图,在直三棱柱

中,





的中点,

19.当

时,求证 与平面

20.当 为何值时,直线 所成的角的正弦值为 .

每年四月,很多学校都会组织运动会。在某所大学的运动会中,有一项篮球的投篮比赛。 已知某专业的一名同学每次投进篮筐的概率是 ,且各次投篮的结果互不影响。 21.假设这名同学投篮 5 次,求有 3 次连续投进篮筐,另外 2 次没有投进的概率; 22.假设这名同学投篮 5 次,求恰有 2 次投进的概率; 23.假设这名同学投篮 3 次,每次投进得 1 分,没有投进得 0 分,在 3 次投篮中,若有 2 次 连续投进,而另外 1 次没有投进,则额外加 1 分;若 3 次全投进,则额外加 3 分,记 为 这名同学投篮 3 次后的总的分数,求 的分布列及数学期望。

已知

分别为椭圆

的左右焦点, 两点,且椭圆的离心率为

分别为其左右顶点,过

的直线 与椭圆相交于 形 的面积等于 2,

。 当直线 与 轴垂直时,四边

24.求此椭圆的方程; 25.设不过原点 O 的直线 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等 差数列,求△OPQ 面积的取值范围. 已知函数 26.若函数 27.证明: 请考生在以下三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 【选修 4—1】几何证明选讲(请回答 28、29、30 题) 如图:已知 PA 切圆 O 于 A,PBC 是割线,弦 CD∥AP,AD 交 BC 于 E,F 在 CE 上,且 。 在(0,1)上为增函数,求实数 a 的取值范围;

【选修 4—4】坐标系与参数方程(请回答 31、32 题) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C 的极坐标方程为 ,直线 l 的极坐标方程为 。
1

【选修 4—5】不等式选讲(请回答 33、34 题) 已知函数 28.求证:∠EDF=∠P; 29.求证: 的最小值是

30.若
1

,DE=6,EF=4.求 PA 的长。

31.写出曲线 C 与直线 l 的直角坐标方程; 32.设 Q 为曲线 C 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值。
1

33.求 a 的值; 34.解不等式:

答案
单选题 1. D 2. 12. C 填空题 13. -2 14. 1004 15. D 3. C 4. D 5. B 6. A 7. C 8. D 9. B 10. B 11. A

16. ②③ 简答题 17.

18. (Ⅱ) 19. 设 AB=2,则 AB=BC=PA=2 根据题意得: 所以 20.

21.

22.

23.

24.

25.

S 的取值范围为 (0,1).
△OPQ

26. 实数 a 的取值范围为 27. 由(I)知,当 a=1 时, 得 ,即 在(0,1)上为增函数, .



???8 分

当 k 为正整数时,令



故 28. 证明:∵

∴ 又∵∠DEF=∠CED ∴△DEF∽△CED ∴∠C=∠EDF ∴∠C=∠P. ∴∠EDF=∠P. 29. 证明: 由(1)得∠EDF=∠P,又∠FED=∠PEA, ∴△FED∽△AEP. ∴ ∴ ∴ 30. 又 . 又 CD∥AP,

31. C 的直角坐标方程:
1

;直线 l 的直角坐标方程

32.

33. a=1 34.

解析
单选题 1. , ,所以

2. ,则实部大于 0、虚部小于 0,所以 在复平面内对应的点位于第四象限。 3. 由正态分布曲线可知, =2 为曲线的对称轴。 c 和 c-2 关于 x=2 对称,

c=3 4. 由 判断 z=2 满足 在得到 5. 对于第一个命题,直线 l 有可能含于平面α ;第二个是对的;第三个也是对的,主要它有 一个前提,在△ABC 中,这就限制了角 A 的范围,所以根据正弦定理都可判断。第四个是 错的,向量 a,b 满足 a·b<0,有可能它们的夹角是 180 度,是平角,而不是钝角。 6. 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 正方形的四棱锥组成,且高都为 因此该几何体的表面积为 半个圆锥的侧面积 半个圆锥的底面积 , 得到 ,然后令 , ,继续执行下一步??

后不满足,下一步就是 z=34+55=89 满足条件。输出 z 即可。

四棱锥的侧面积 四棱锥的底面积 所以,整个组合体的表面积为 7. 由 函数;当 因为对任意的 , 时, 得函数的对称轴 是减函数。 ,都有 。所以 。若 ,显然若 不在 在 的单调递减区间内,则 ;由 得 时, 是增

的单调递减区间内,则必有

, 又 是 若

,由函数的对称性可得存在

使得

,所以 ,都有



,所以 。由此可得对任意的 的充分条件。 中必有一个小于 ,不妨设 ,都有 ,所以 ,所以 ,若 。若 。当

,可得

,当

时,

是减函数。所以对任意的 得存在 函数,所以 对任意的 8. 由余弦定理 得: 使得 ,都有

,由函数的对称性可 时, 是增

,所以对任意的 ,都有 是 的必要条件。

。由此可得



,即

又因为

,所以



即 即 由正弦定理得

即 所以, 9.

f(-x)=f(x), f(2-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数、周期是 2
令 ,则

求导得, 且

在[-3, -1]上单调递增,在[-1, -0]上单调递减,在 , , ,

上单调递增。 。 在

根据 单调性和以上函数值对应的画出函数 图象,会发现函数 与函数 区间[-3,1]上共有四个公共点,即函数 H(x) 在区间[-3,1]上共有 4 个零点。 10. 若甲单独一组,则有 若甲不单独一组,则 种. ,

所以不同的安排方案共有 24 种。 11. 设边长为 由于离心率 的边所对的角是θ ,且

所以 以了。

,显然

是一个大于 0 的数,所以我们只需要判断分子就可



由于双曲线的离心率 e>1,所以 12.

,即角 恒为锐角。

的周期为 2,所以当 又因为 以 填空题 13. 互不相等,且 。答案 C。

时,

关于 ,所以

对称,所以 。所以

。 。所

,所以 。 14.



的系数为

最后一个数是首项为 1,等比为 2 的前 n 项和,n+1 表示行数,当 n=10 时,即第 11 行的最 后一个数为 2047,第 11 行共有 是第 11 行,第 993 个数,11+993=1004 15. 点 P(2,2),代入直线得 2m+2n=1,( 16. ①因为 ,所以 ,函数的周期 )(2m+2n)=4+ +2 =1024 个数,2047-2016=31,1024-31=993,即 2016



为奇函数,所以

的图像关于

对称.②对

③因为

为奇函数,所以 ,于是

,由 ,对称轴为



,③对

④判断不出单调性,所以④不对。 简答题 17. 解:(Ⅰ)在等比数列 所以,由 中, 得 , . . 因此, .

在等差数列 所以, 18. (Ⅱ)若数列 因此有

中,根据题意,

可得,

满足

,则



. 19. 解:以点 B 为坐标原点,分别以直线 BA、BC、BB 为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系 O-xyz。 设 AB=2,则 AB=BC=PA=2 根据题意得: 所以 20. 设 AB=2,则 根据题意:
1

又因为

所以

平面 B C,所以由题意得
1



即 21.

时,直线 PA 与平面 BB C C 所成的角的正弦值为
1 1

解:设为事件 没有投进”为事件 ,则

;“这名同学在 5 次投篮中,有 3 次连续投进,另外 2 次

=

= 22. 解:设 为这位同学在 5 次投篮中投进的次数,则 ~ .在 5 次投篮中,恰有 2 次

投进篮筐的概率

23. 解:由题意可知, 的所有可能取值为

=

所以 的分布列是

的数学期望为 24. 当直线 与 x 轴垂直时,由 ,得 .



,又



解得 25.

. 因此该椭圆的方程为椭圆方程为



由题意可设直线 l 的方程为 y=kx+m (m≠0),P(x ,y ),Q(x ,y ),
1 1 2 2



消去 y 得(1+4k )x +8kmx+4(m -1)=0,
2 2 2

则△=64 k b -16(1+4k b )(b -1)=16(4k -m +1)>0,
2 2 2 2 2 2 2




2


2

故 y y =(kx +m)(kx +m)=k x x +km(x +x )+m .
1 2 1 2 1 2 1 2

因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等差数列, 所以

所以

,又因为 m≠0,所以

=0,所以 k=0.

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得-1<m<1.

设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S = d | PQ |= | x -x | | m |=
△OPQ 1 2



所以 S 26. 因为 所以 当 当 令 所以

△OPQ

的取值范围为 (0,1).

在(0,1)上为增函数, 在(0,1)上恒成立. 时, 时, 成立. 得 ,则其在(0,1)上为增函数, ,即 . 恒成立

综上所述,实数 a 的取值范围为 27. 由(I)知,当 a=1 时, 得 ,即 在(0,1)上为增函数, .



???8 分

当 k 为正整数时,令



故 28. 证明:∵ ∴ 又∵∠DEF=∠CED ∴△DEF∽△CED

∴∠C=∠EDF ∴∠C=∠P. ∴∠EDF=∠P. 29. 证明:

又 CD∥AP,

由(1)得∠EDF=∠P,又∠FED=∠PEA, ∴△FED∽△AEP. ∴ ∴ ∴ 30. 证明: 设 CE=3k,EB=2k. ∵ ,∴ . 又 .

又 CE=3k=9, k=3,EB=2k=6. 由(2)得 ,



.



∴ 31. 根据

.



可以得到

C 的直角坐标方程:
1

;直线 l 的直角坐标方程

32. 由 可设曲线 C 上的任意一动点 Q
1



∴点 Q 到直线 的距离

33. 可以先不考虑参数 a,令

画出图形,即可知道函数

的最小值是

因为函数 所以 a=1

的最小值是

【三级考点】不等式的基本性质,绝对值不等式的解法 34. 把 a=1 代入 利用零点分段法可以得到此不等式的解集是


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