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河南省各地2014届高三数学 最新模拟试题分类汇编4 导数及其应用

河南省各地 2014 届高三最新模拟数学理试题分类汇编: 导数及其应用
一、选择题 1、(河南省信阳市 2014 届高中毕业班第一次调研)定义在 R 上的函数 f(x),当 x≠-2 时,恒 有(x+2) f ?( x ) <0(其中 f ?( x ) 是函数
0.1 f(x)的导数),又 a=f( log 1 3 ),b=f[ ( ) ],c=f(ln3),则

3

1 3

A.a<b<c 答案:D

B.b<c<a

C.c<a<b

D.c<b<a

2、(河南省信阳市 2014 届高中毕业班第一次调研)已知函数 f(x)= x3 -t x 2 +3x,若对于任意 的 a,b∈[1,3]且 a<b,函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减,则实数 t 的取值范围是 A.(-∞,3] B.(-∞,5] C.[3,+∞) D.[5,+∞) 答案:D 3、(河南省长葛市第三实验高中 2014 届高三第三次考试)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导 函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( )

y

y = f ?( x)

b

a

O

x
(D). 4 个

(A).1 个

(B).2 个

(C).3 个

答案:D 4、(河南省长葛市第三实验高中 2014 届高三第三次考试)设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为

f , ( x) ,且函数 y = (1 ? x) f ' ( x) 的图像如图所示,则函数 f ( x) 有下列结论中一定成立的是(



A.有极大值 f (2) 和极小值 f (1) C.有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) 答案:C

B.有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) D. f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)

1

5、(河南省扶沟高级中学 2014 届高三第三次考试)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 答案:B 6、 (河南省内黄一中 2014 届高三 12 月月考) 已知函数 f ( x) = x3 ? ax 2 ? 1的导函数为偶函数, 则a = ( ) A.0 答案:A

B.1

C.2

D.3

x2 x3 x 4 7、(河南省南阳市 2014 届高三五校联谊期中考试)已知函数 f(x)=1+x- + - +? 2 3 4


x 2013 则下列结论正确的是 2013

A.f(x)在(0,1)上恰有一个零点 B.f(x)在(0,1)上恰有两个零点 C.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点 D.f(x)在(-1,0)上恰有两个零点 答案:C 8、(河南省淇县一中 2014 届高三第四次模拟)设 a ? R ,若函数 y = e ? 3x , x ? R 有大于零的
ax

极值点,则 A. a ? ?3 答案:B 9、 (河南省实验中学 2014 届高三上学期期中考试)函数 f ( x) = e x ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 是( ) B. y = ex ? 1 C. y = e( x ? 1) D. y = x ? e B. a ? ?3 C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

A. y = 2e( x ? 1) 答案:C

10、(河南省武陟一中西区 2014 届高三 12 月月考)曲线 y = e 2 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所
2

1

x

围三角形的面积为 A、 4e
2

B、

9 2 e 2

C、 e

2

D、 2e

2

答案:C 11 、 ( 河 南 省 信 阳 市 第 四 高 级 中 学 2014 届 高 三 12 月 月 考 ) 已 知 函 数

f ( x) =

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c(a, b, c ? R ) ,且函数 f ( x) 在区间(0,1)内取得极大值,在区间(1, 3 2
2 2

2)内取得极小值,则 z = (a ? 3) ? b 的取值范围为(

)

A. (

2 , 2) 2

B. ( , 4)

1 2

C. (1, 2)

D. (1, 4)

2

答案:B 二、填空题 1、 (河南省洛阳市 2014 届高三 12 月统考) 曲线 y=x lnx 在点 (e, e) 处的切线方程为_____________. 答案:2x-y-e=0 2、 (河南省安阳市 2014 届高三第一次调研) 已知函数 f (x) =

2 +sinx, 其导函数记为 f ?( x ) , 2 +1
x

则 f(2013)+ f ?(2013) +f(-2013)- f ?(?2013) =______________. 答案:2 3、(河南省长葛市第三实验高中 2014 届高三第三次考试)已知函数 f ( x) 在 x = 1 处可导,且

lim
t ?0

f (1 ? 3t ) ? f (1) = 1 ,则 f ?(1) = _________ 2t

答案: . 4、 (河南省淇县一中 2014 届高三第四次模拟) 函数 上有最大值 3,那么此函数在 ? ?2, 2? 上的最小值为_________________. 答案:-37 三、解答题 1、(河南省洛阳市 2014 届高三 12 月统考)已知函数 f(x)=

8 3

f ( x) = 2x3 ? 6x2 ? m(m 为常数)在 ??2, 2?

1- x +lnx+1. ax

(1)若函数 f(x)在[1,2]上单调递减,求实数 a 的取值范围; (2)若 a=1,k∈R 且 k< [ 答案:

1 ,设 F(x)=f(x)+(k-1)lnx-1,求函数 F(x)在 e

1 ,e]上的最大值和最小值. e

3

2、(河南省安阳市 2014 届高三第一次调研) 已知函数 g(x)=

x ,f(x)=g(x)-ax. ln x

(Ⅰ)求函数 g(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 (Ⅲ)若存在 x1 , x2 ∈[e,e ], (e=2.71828??是自然对数的底数)使 f( x1 )≤ f ?( x2 ) +a,

求实数 a 的取值范围.

?x ? 0 得, x ? 0 且 x ? 1 ,则函数 g ? x ? 的定义域为 ? 0,1? ?ln x ? 0 ln x ? 1 且 g? ? x ? = ,令 g? ? x ? = 0 ,即 ln x ? 1 = 0 ,解得 x = e 2 ? ln x ?
解: (1)由 ? 当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? e 时 g? ? x ? ? 0 ,

?1, ??? ,

? 函数 g ? x ? 的减区间是 ? 0,1? , ?1, e? ,增区间是 ? e, ??? ???4 分 x ? ax 在 ?1, ?? ? 上是减函数, (2) 由题意得,函数 f ? x ? = ln x ln x ? 1 在 ?1, ?? ? 上恒成立, ? f ?? x? = ? a ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 a ? ln x ? 1 2 2 ? ln x ? ? ln x ?

4

令 h ? x? =

ln x ? 1

? ln x ?

2

, x ? ?1, ?? ? ,因此 a ? h ? x ?max 即可
2

1 1 ? 1 1 ,当且仅当 1 = 1 ,即 x = e2 时等号成立, 由 h ? x ? = ?( 1 )2 ? 1 = ? ? ? ? ? ? ? ln x 2 ln x ln x ? ln x 2 ? 4 4

1 1 1 ? h ? x ?max = ,因此 a ? ,故 a 的最小值为 ???8 分 4 4 4 2 (3)命题“若存在 x1 , x2 ? ? ? e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ?? x2 ? ? a ,”等价于
2 “当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ? x ?min ? f ? ? x ?max ? a ”,

1 1 ? a ,则 f ? ? x ?max ? a = , 4 4 1 2 故问题等价于:“当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ? x ? min ? 4 ”, ln x ? 1 ? 1 ? ln x ? 1 ? 0, ? , f ?? x? = ? a ,由(2)知 2 (ln x)2 ? ? 4? ? ln x ?
2 由(2)得,当 x ? ? ? e, e ? ? 时, f ? ? x ?max =

1 e, e 2 ? e, e 2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? 上恒成立,因此 f ? x ? 在 ? ? ? ? ? 上为减函数,则 4 1 1 e2 1 f ? x ?min = f ? e2 ? = ? ae2 ? ,故 a ? ? 2 , 2 4e 2 4 2 2 (2)当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? ? e, e ? ? 上恒成立,因此 f ? x ? 在 ? ? e, e ? ? 上为增函数,
(1) 当 a ? 则 f ? x ?min = f ? e ? = e ? ae ? e ? (3) 当 0 ? a ?

1 ,不合题意 4

2 1 1 2 1 ? 1 1? 1 时,由于 f ? ? x ? = ?( ) ? ? a = ?? ? ? ? ?a 4 ln x ln x ? ln x 2 ? 4

2 2 1 ? ? ? ? 在? ? e, e ? ? 上为增函数,故 f ? ? x ? 的值域为 ? f ? ? e ? , f ? e ? ,即 ??a, ? a ? . 4 ? ?

? ?

2 由 f ? ? x ? 的单调性和值域知,存在唯一 x0 ? e, e ,使 f ? ? x0 ? = 0 ,且满足:

?

?

2 当 x ? ? e, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 减函数;当 x ? x0 , e 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 增函数;

?

?

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? ? e, e 2 ? , ln x0 4 1 1 1 1 1 1 1 1 所以, a ? ? ? ? 2 ? ? = 与 0 ? a ? 矛盾,不合题意. 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 1 1 综上,得 a ? ? 2 .??12 分 2 4e
所以, f ? x ?min = f ? x0 ? = 3、(河南省信阳市 2014 届高中毕业班第一次调研) 已知函数 f(x)=- x +2lnx 与 g(x)=x+ (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若对于 ?x1 , x2 ∈[ 围.
2

a 有相同的极值点. x

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ,3],不等式 ≤1 恒成立,求实数 k 的取值范 e k ?1

5

2 2(x+1)(x-1) 解:(Ⅰ)f′(x)=-2x+ =- (x>0),

x

x

由?

?f′(x)>0, ? ? ?x>0,

得 0<x<1;

由?

? ?f′(x)<0, ?x>0, ?

得 x>1.

∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴x=1 是函数 f(x)的极值点. ∵g(x)=x+ ,∴g′(x)=1- 2,又∵函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, ∴x=1 是函数 g(x)的极值点,∴g′(1)=1-a=0,解得 a=1. 经检验,当 a=1 时,函数 g(x)取到极小值,符合题意.(5 分) 1 1 (Ⅱ)∵f( )=- 2-2,f(1)=-1,f(3)=-9+2ln 3, e e 1 1 ∵-9+2ln 3<- 2-2<-1,即 f(3)<f( )<f(1), e e 1 ∴? x1∈[ ,3],f(x1)min=f (3)=-9+2ln 3,f(x1)max=f(1)=-1. e 1 1 由Ⅰ知 g(x)=x+ ,∴g′(x)=1- 2.

a x

a x

a x

x

x

1 故 g(x)在[ ,1)时,g′(x)<0;当 x∈(1,3]时,g′(x)>0. e 1 故 g(x)在[ ,1)上为减函数,在(1,3]上为增函数. e 1 1 1 10 1 10 1 ∵g( )=e+ ,g(1)=2,g(3)=3+ = ,而 2<e+ < ,∴g(1)<g( )<g(3). e e 3 3 e 3 e 1 10 ∴? x2∈[ ,3],g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)= . e 3 4、(河南省长葛市第三实验高中 2014 届高三第三次考试)

1 ? b(a ? 0) 。 ae x (I)求 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最小值;
设 f ( x) = ae ?
x

(II)设曲线 y = f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y =

3 x ;求 a , b 的值。 2
at

2 2 x 解:(I)设 t = e (t ? 1) ;则 y = at ? 1 ? b ? y? = a ? 1 = a t ? 1 , 2 2

①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y = at ? 1 ? b 在 t ? 1 上是增函数,得:当 t = 1( x = 0) 时, f ( x ) 的最小值为
at

at

at

1 a? ?b。 a

②当 0 ? a ? 1 时, y = at ?

1 x 1 ? b ? 2 ? b ,当且仅当 at = 1(t = e = , x = ? ln a ) 时, a at

f ( x) 的最小值为 b ? 2 。

6

(II) f ( x) = ae x ?

1 1 ? b ? f ?( x) = ae x ? x ae x ae

f (2) = 3 ,由题意得: ? ?

1 2 ? 2 ? ?ae ? ae 2 ? b = 3 ? ?a = e2 ? ?? ? 3?? f ?(2) = ? ? ae 2 ? 1 = 3 ?b= 1 ? 2 ? ? ae 2 2 ? 2 ?



5、(河南省扶沟高级中学 2014 届高三第三次考试) 设 f ( x) =

a ? x ln x , x

g ( x) = x3 ? x2 ? 3 .

(1)当 a = 2 时,求曲线 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线的斜率; (2)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ; (3)如果对任意的 s , t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

【解析】(1)当 a = 2 时, f ( x) =

2 2 ? x ln x , f '( x ) = ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) = 2 , f '(1) = ?1 , x x
2分

所以曲线 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线方程为 y = ? x ? 3 ;

(2)存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) = x3 ? x2 ? 3 , g '( x) = 3 x ? 2 x = 3 x( x ? ) ,
2

2 3

x

0

2 (0, ) 3
?

2 3
0

2 2 ( , 2] 3
?

g '( x ) g ( x)

0

?3 递减

极(最)小值 ?

85 27

递增

1

由上表可知: g ( x) min = g ( ) = ?

2 3

85 , g ( x) max = g (2) = 1 , 27 112 , 27
7分

16. [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max = g ( x) max ? g ( x) min = 所以满足条件的最大整数 M = 4 ; (3)当 x ? [ , 2] 时, f ( x ) =

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立 x

7

等价于 a ? x ? x ln x 恒成立,
2

记 h( x) = x ? x2 ln x , h '( x) = 1 ? 2 x ln x ? x ,

h '(1) = 0 。
1 2

记 m( x) = 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) = ?3 ? 2ln x ,由于 x ? [ , 2] ,

m '( x) = ?3 ? 2ln x ? 0 ,
1 2

所以 m( x) = h '( x) = 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减,

1 2

当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 ,

2 即函数 h( x) = x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减,

1 2

所以 h( x)max = h(1) = 1 ,所以 a ? 1 。

12 分

6、 (河南省内黄一中 2014 届高三 12 月月考) 已知函数 f ( x) = ln( x ? a) ? x 的最大值为 0, 其中 a ? 0 。 (1)求 a 的值; (2)若对任意 x ? [0, ??) ,有 f ( x) ? kx 成立,求实数 k 的最大值;
2

(3)证明:

? 2i ?1 ? ln(2n ? 1) ? 2(n ? N )
* i =1

n

2

答案: 解:(1)f(x)定义域为(-a,+∞)

f , ( x) =

1 1? x ? a , ?1 = ,由 f ( x) =0,得 x=1-a>-a. ???????1 分 x?a x?a
,

当 x 变化时, f ( x) ,f(x)变化情况如下 x (-a,1-a) + 增 1-a 0 极大值 (1-a,+∞) 减

f , ( x)
f(x)

因此,f(x)在 x=1-a 处取得最大值,故 f(1-a)=a-1=0,所以 a=1. ??????3 分

8

(3)当 n=1 时,不等式左边=2<ln3+2=右边,不等式成立. 当 n≥2 时,

?f(
i =1
n i =1

n

n 2 ? ? 2 ? 2 ? ) = ? ?ln ?1 ? ?? 2i ? 1 i =1 ? ? 2i ? 1 ? 2i ? 1? ?
n n 2 2 ???10 分 = ln ? 2n ? 1? ? ? 2i ? 1 i =1 2i ? 1

= ?? ?ln ? 2i ? 1? ? ln ? 2i ? 1?? ???
i =1

在(2)中取 k = - 得f ( x) ? ? ∴ f(

1 2

1 2 x ( x ? 0) 2

2 2 2 )?? ?? (i ? N * , i ? 2) 2 2i ? 1 (2i ? 1) (2i ? 1)(2i ? 3)
n n 2 ? 2 ? n =? f? ? ? 2 ? 2i ? 1 i =1 ? 2i ? 1 ? = f (2) ? ? f ? ? ? 2i ? 1 ? i =2

所以有ln(2n ? 1) ? ?
i =1

>ln3-2-

? >-2. ? =ln3-2-1+ ? ?2i ? 3??2i ? 1? =ln3-2- ? ? 2n ? 1 ? 2i ? 3 2i ? 1 ?
i =2 i =2

n

2

n

?

1

1 ?

1

综上,

? 2i ?1 ? ln(2n ? 1) ? 2
i =1

n

2

(n ? N * ) ?????????12 分

7、(河南省南阳市 2014 届高三五校联谊期中考试)已知函数 f(x)=ln(x+1)+k x (k∈R).

2

9

(Ⅰ)若函数 y=f(x)在 x=1 处取得极大值,求 k 的值; (Ⅱ)当 x∈[0,+∞)时,函数 y=f(x)图象上的点都在 ? 的取值范围; (Ⅲ)证明: 答案:

? x≥0 所表示的区域内,求 k ? y-x≥0

? 2i ? 1 -ln(2n+1)<2,n∈N
i=1

n

2





10

8、(河南省淇县一中 2014 届高三第四次模拟)

已知函数f ( x) = ex ? ln( x ? m)

(1)设x = 0是f ( x)的极值点,求m, 并讨论f ( x)的单调性. (2)当m ? 2时,证明f ( x) ? 0.
答案:

9、(河南省实验中学 2014 届高三上学期期中考试) 已知函数 f ( x) = (a ? ) ln x ?

1 a

1 ? x(a ? 1) . x

(1)讨论函数 f ( x ) 在 (0,1) 上的单调性; (2)当 a ? 3 时,曲线 y = f ( x) 上总存在相异两点, P( x1 , f ( x1 )) , Q( x2 , f ( x2 )) ,使得 y = f ( x) 曲线在 P 、 Q 处的切线互相平行,求证: x1 ? x2 ? 【答案】(1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

6 . 5

11

1 1 1 x 2 ? (a ? ) x ? 1 ( x ? a)( x ? ) 1 a ? ?1 = ? a a , 求导数,得 f ?( x) = =? x x2 x2 x2 1 令 f ?( x) = 0 ,解得 x = a 或 x = . a 1 ∵ a ? 1 ,∴ 0 ? ? 1 , a 1 1 ∴当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . a a 1 1 故 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( ,1) 上单调递增.??????6 分 a a a?
(2)由题意得,当 a ? 3 时, f ?( x1 ) = f ?( x2 )( x1 , x2 ? 0 且 x1 ? x2 ,

1 1 a? 1 a ? ?1 = a ? 1 ?1 即 2 2 x1 x1 x2 x2 a?
∴a?

1 1 1 x1 ? x2 . = ? = a x1 x2 x1 x2

x1 ? x2 2 ) 恒成立 2 1 4 1 x ?x 4 整理得 x1 +x2 ? ? 又x1 +x2 ? 0 ? a ? = 1 2 ? 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) a x1 x2 x1 ? x2 x1 , x2 ? 0且x1 ? x2, ? x1 x2 ? (
令 g (a) =

4 a? 1 a

4 1 a? a

=

4a ( 4 1-a 2) 则 g '( a ) = ?0 2 a2 ? 1 (a 2 ? 1 )
6 ? x1 +x2 ? 6 5

所以 g (a ) 在 ?3, ?? ? 上单调递减,所以 g (a ) 在

?3, ?? ? 上的最大值为 g (3) = 5

????12 分

10、(河南省武陟一中西区 2014 届高三 12 月月考) 已知函数 f ( x) = ax2 ? (a ? 2) x ? ln x.

( 1, f (1)) 处的切线方程; (1)当 a = 1 时,求曲线 y = f ( x) 在点
(2)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立, 求 a 的取值范围。 解:(1)当 a = 1 时, f ( x) = x ? 3 x ? ln x, f ?( x) = 2 x ? 3 ?
2

1 . ??????1 分 x

因为 f ' (1) = 0, f (1) = ?2 .所以切线方程是 y = ?2.

??????????3 分
12

(0, ? ?) (2)函数 f ( x) = 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 .
当 a ? 0 时, f ' ( x) = 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 = ( x ? 0) x x

令 f ' ( x) = 0 ,即 f ' ( x) = 所以 x = 当0 ?

2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) = = 0, x x
????????4 分

1 1 或x = . 2 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) = ?2 ; 当1 ? 当

1 1 ? e 时, f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) = ?2 ,不合题意; a a

1 ? e 时, f ( x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) = ?2 ,不合题意 综上 a 的取值范围 a ? 1 (3)设 g ( x) = f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) = ax2 ? ax ? ln x , ??????7 分

(0, ? ?) 只要 g ( x) 在 上单调递增即可.
而 g ' ( x) = 2ax ? a ? 当 a = 0 时, g ' ( x) =

??????????8 分

1 2ax2 ? ax ? 1 = x x
1 (0, ? ?) ? 0 ,此时 g ( x) 在 上单调递增;????9 分 x

(0, ? ?) 当 a ? 0 时,只需 g ' ( x) ? 0 在 上恒成立,因为 x ? (0,??) ,
2 只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 ,则需要 a ? 0 ,????????????10 分

对于函数 y = 2ax2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1),对称轴 x = 只需 ? = a ? 8a ? 0 ,即 0 ? a ? 8 .
2

1 ?0, 4

综上 0 ? a ? 8 . ??????????????????12 分 11 、 ( 河 南 省 信 阳 市 第 四 高 级 中 学 2014 届 高 三 12 月 月 考 ) 已 知 函 数

f ( x) = a ln x ?

1 2 x ? (1 ? a ) x( x ? 0) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

13

(Ⅱ)若 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ) n ? N * ,求证: 答案:

1 1 1 1 3n ? 1 . ? ? ? ??? ? ? ln 2 ln 3 ln 4 ln( n ? 1) 2n ? 2

1 1 1 ? a ? 0 得: a ? ? 又 a ? ? 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 上单调递 2 2 2 1 增所以即: f ( x) ? f (1) ? 0 所以若 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立,实数 a 的取值范围为 ( ??, ? ] . 2
法二、 由 f (1) = ? 8分 (Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知: 又 a = ? 所以当 x ? 3 时:

1 1 1 1 时, f ( x) = ? ln x ? x 2 ? x ? 0 即 ln x ? x 2 ? x ( x = 1 时取等号) 2 2 2 2

1 1 1 1 1 ? 2 = = ? ln x x ? x x( x ? 1) x ? 1 x



1 ? 1 ,所以 ln 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3n ? 1 ? ? ? ??? ? ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ? ( ? ) = 1? ? = ln 2 ln 3 ln 4 ln( n ? 1) 2 3 3 4 4 5 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2

14

12、 (河南省郑州外国语学校 2014 届高三 11 月月考) 已知函数 g ( x ) = (2 ? a ) ln x , h ? x ? =ln x ? ax 2

( a ? R ) 令 f ? x ? = g ? x ? ? h? ? x ?

.

(Ⅰ)当 a = 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 ?3 ? a ? ?2 时,若存在 ?1,?2 ? ?1,3? , 使得 f 答案: 解:(Ⅰ)依题意, h? ? x ? =

? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,求 m 的取值范围.
1 ? 2ax x

1 ? 2ax 其定义域为 (0, ??) . x 1 2 1 2x ?1 当 a = 0 时, f ( x) = 2 ln x ? , f ?( x) = ? 2 = . x x x x2 1 令 f ? ? x ? = 0 ,解得 x = 2 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2
所以 f ? x ? = ? 2 ? a ? ln x ?

+? ? ; 所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,
所以 x =

? 1? ? 2?

?1 ?2

? ?

1 时, f ? x ? 有极小值为 2

?1? f ? ? = 2 ? 2 ln 2 ,无极大值 ?2?

1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 a(2 x ? 1)( x ? a ) 2?a 1 ? 2 ? 2a = (Ⅱ) f ?( x) = = ? x ? 0? x x x2 x2 1 1 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时, ? ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? ? , a a 2 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ? ; 2 a
当 a = ?2 时, f ?( x) = ? 当 a ? ?2 时, ?

(2 x ? 1)2 ?0. x2

1 1 1 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 或 x ? , a 2 a 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? ; a 2
15

+? ? , 综上所述: 当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? , ? ? , ? 单调递增区间是 ? , ?1 ?2 1? ?; a?

? 1? ? 2?

? 1 ? a

? ?

当 a = ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, +? ? ;

? 当 a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? 1 1? +? ? ,单调递增区间是 ? ? , ? ?,? , a? ?2 ? ? a 2?

( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 可 知 , 当 ?3 ? a ? ?2 时 , f ( x) 在 ?1,3? 单 调 递 减 . f ( x)max = f (1) = 2a ? 1 ;

1 f ( x) min = f (3) = (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3

.

1 ? ? f ? ?1 ? ? f ? ?2 ? max = f ?1? ? f ? 3? = (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? 3 ? ?
= 2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3. 3

因为存在 ?1,?2 ? ?1,3? ,使得 f 所以 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? 整理得 ma ?

? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,

2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 , 3

2 ? 4a . 3 2 ?4, 3a
又因为 ?3 ? a ? ?2 ,得 ?

又 a ? 0 所以 m ?

1 2 2 ? ?? , 3 3a 9

所以 ?

38 13 2 38 ? ?4? ? ,所以 m ? ? . 9 3 3a 9

13、(河南省郑州一中 2014 届高三上学期期中考试) 已知函数 f ( x) = ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x???(a ? R, a ? 0) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)记函数 y = F ( x) 的图象为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点.如果在曲

x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB ,则 2 称函数 F ( x) 存在“中值相依切线”.试问:函数 f ( x) 是否存在“中值相依切线”,请说明理由.
线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 = 解:(Ⅰ)显然函数 f ( x) 的定义域是 (0, ??) .

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1 由已知得, f '( x) = ? ax ? a ? 1 = ? x

1 a ( x ? 1)( x ? ) a . x

⑴当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ; 令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 所以函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. ⑵当 a ? 0 时,

1 1 ? 1 时 , 即 a ? ?1 时 , 令 f '( x) ? 0 , 解 得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; 令 f '( x) ? 0 , 解 得 a a 1 1 1 ? ? x ? 1 .所以,函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减; a a a 1 ②当 ? = 1 时,即 a = ?1 时, 显然,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; a 1 1 ③ 当 ? ? 1 时 , 即 ?1 ? a ? 0 时 , 令 f '( x) ? 0 , 解 得 0 ? x ? 1 或 x ? ? ; 令 f '( x) ? 0 , 解 得 a a 1 1 1 1 ? x ? ? .所以,函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增,在 (1, ? ) 上单调递减. a a a
\①当 ? 综上所述,地方有限, 略.??6 分 (Ⅱ)假设函数 f ( x) 存在“中值相依切线”. 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是曲线 y = f ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 , 则 y1 = ln x1 ?

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 = ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 . 2 2
1 (ln x2 ? ln x1 ) ? a ( x2 2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) 2 = x2 ? x1

k AB

y ?y = 2 1 x2 ? x1

=

ln x2 ? ln x1 1 ? a ( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) x2 ? x1 2 x ?x x1 ? x2 2 ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , )= x1 ? x2 2 2

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率 k = f ?( x0 ) = f ?(

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a ( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) = ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2 ln x2 ? ln x1 x 2( x2 ? x1 ) 2 = = ,即 ln 2 = x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1
2( x2 ? 1) x1 . x2 ?1 x1

化简可得:

17



x2 2(t ? 1) 4 , = t ( t ? 1 ),上式化为: ln t = = 2? x1 t ?1 t ?1

即 ln t ?

4 = 2. t ?1

令 g (t ) = ln t ?

4 1 4 (t ? 1) 2 , g '(t ) = ? . 因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 , 所以 g (t ) 在 (1, ??) = t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

上递增, 显然有 g (t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

4 = 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x) 不存在“中值相依切线”.12 分 14、(河南省中原名校 2014 届高三上学期期中联考) 已知函数 f(x)= ax -(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e)上的最小值为-2,求 a 的取值范围.
2

)当a = 1时,f ? x ? = x ? 3x ? ln x, f ? ? x ? = 2 x ? 3 ? 解: (1
2

1 , ??????1 分 x

? f ? ?1? = 0, f ?1? = ?2,???.................................................3分 所以切线方程是y=-2. ???....................................................4分 (2)函数f ? x ? = ax 2 ? ? a ? 2 ? x ? ln x的定义域是 ? 0, +? ?, 当a ? 0时,f ? ? x ? = 2ax ? ? a ? 2 ? ?
2 1 2ax ? ? a ? 2 ? ? 1 = ? x ? 0 ? ......5分 x x 2ax 2 ? ? a ? 2 ? ? 1 ? 2 x ? 1?? ax ? 1? 令f ? ? x ? = 0,即f ? ? x ? = = = 0, x x 1 1 所以x = 或x = .???.............................................................6分 2 a

当0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) = ?2 ;??????8 分 当1 ? 当

1 1 ? e 时, f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) = ?2 ,不合题意; 10 分 a a

1 ? e 时, f ( x) 在[1,e]上单调递减, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) = ?2 ,不合题意??????11 分 故 a 的取值范围为 ?1, ?? ? ;?????????????????????12 分

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