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求数列前n项和的一般方法


求数列前 n 项和的一般方法
一、 例1. 公式法 (11 年天津)已知 ? a n? 是等差数列, S n 为其前 n 项和, n ?
a 3 ? 1 6 , S 2 0 ? 2 0 ,则 S 1 0

N

*

,若

的值为

二、

拆(裂)项求和法
1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) ? 1 2 2n ? 1 ( 1 ? 1 2n ? 1 )

常用的裂项技巧:

1 n(n ? k )

?

1 1 1 1 1 1 ( ? ) (特殊的情况: ? ? k n n?k n ( n ? 1) n n ?1 1 1? 3 1 3? 5 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)



1 n ( n ? 1)

?

1 n ?1

?

1 n



例2.

求和

?

? ... ?

例3.

? a ? , ? b ? 满足 a
n n

n

b n ? 1, a n ? n ? n
2

,则 ? b n? 的前 10 项和为

三、 倒序相加求和法 推导等差数列的前 n 项和公式: 设 等 差 数 列 ? a n? 的 前 n 项 和 为
S n ? a n ? a n ? 1 ? ... ? a 1
Sn

, 则 S n ? a 1 ? a 2 ? ... ? a n ,

S n ? S n ? ( a 1 ? a n ) ? ( a n ? 1 ? a 2 ) ? ... ? ( a 1 ? a n )
→ 2 S n ? n ( a1 ? a n ) → S n ?

n ( a1 ? a n ) 2

四、

错位相减求和法
? kc ? k
n

例 4. (12 年江西)已知数列 ? a n? 的前 n 项和 S n 且 a2
? 4, a 6 ? 8 a 3 。

(其中 c,k 为常数) ,

(1)求 a n (2)求数列 ? n a n ? 的前 n 项和 T n

练习:已知数列 ? a n? 的通项为 a n ? n ? 3 求数列的前 n 项和 S n
n

五、 例4.

分组求和法 已知数列 ? a n? 的通项为 a n
? 2 ? 2 n ? 1 ,则数列 a n
n

的前 n 项和为

例5.

练习:已知数列 ? a n? 的通项为 a n

? 3 ? 1 ,则数列 a n
n

的前 n 项和为



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