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二面角的求解方法综述_邓亚轩_图文

邓 亚轩

二 面 角 的 求 解 方法 综 述
求 二 面角 的大 小 是 历 年 高 考 的 重 点 和 热 点 解 题 的 关键 是 如 何 作 出 二 面 角 的 平 面 角 本
文 综 述 这 类 问题 的 各 种 解 法 供 复 习 参考 一 直接 法 图形 中 已 有 二 面 角 的 平 面 角 只 要 加 以 认
,


则 R t △C D E 中 艺 C D E 一 6 0

,

0 ,

所 以 二 面 角 E 一 B D 一 C 的 大 小 为 6少 二 定义法


.

,

.

根 据 二 面 角 平 面 角 的定 义 在 二 面 角 的 棱
,

上 选 择 恰 当 的 一 点 经 过 这 点 作 出 二 面 角 的平 面 角 这 里 该 点 的 选 择 是 关键 常 选 择 中点 垂
,
.

,

定 ( 证 明 ) 然 后 计算 即 可
,

.



例 1

如图
,

1 尸A BC
,

,

足等
,

.



面 A BC

A B



例 2

如 图 2 正方体
A B C ID
,

,

尸C 的

垂直平分线 交
,

中 求 两个平面
面 BCD
I



AC 于 D


,

P C 于 E

,

A

;

相 交 所成二 面 角 是 两个 面 土
B D
;

尸A 一 AB

尸B ~

BC

,

的大 小

.

求二 面 角
的大 小
.

E 一B D 一C

: ; 略解 知 D

B


I ,

的 交线 作
E
,

.

A E
;
.

I



连结

EC

略解 由

:

尸E ~

EC 、

_

_

_

_
_

P B

P C BD

嚣 一 嚣士
.





R

t

△A

I

BD A IE

I


,

R

t

I △C B D

DE 门 EB 二 E J

{
面角

I 知 C E 一

, C E



BD A
l

, ,

, I 则 匕A EC 是二面角
.

一 B D 一 C 的平

,

l

土 面 C 面 上 面 C 面

、1 l BD E 了
布 龟 龟 . ` . .

恤 J .

BD E A BC A BC

冷B D 上

尸C

吸 e w r s e 飞 e
lj

.

J

设 正 方 体棱 长 是
,
, 厂 一

1 :

,

易 求得


尸A 刀O

冷B D 土
尸C

尸A


; I

,

,

,

E c

;



·



门 尸A ~ 尸
BD BD


c o s

I △A EC

中 由余 弦 定 理 求 出
l

,

冷B D 土 面


尸A C
AC

D E 石犯 C 面 P


E

一 DE 土 DC



,

Ee
,

一告
一 12 0
0
.

,

得 艺A
.

I

EC

” 匕C D 设
AB ~ 尸A

E

是二 面 角
,

一B D 一C 的平 面 角
丫 厄 又由

尸B


所 以 两个 平 面 相 交 所 成 二 面 角 的 大 小 为
60
0

尸A 一 1
,


BC 一
,
.



12 0
:

0

.

1 尸B ABC

说明

(l )

两个平面相交后有两两相对相
,
.

上 面 土 AB

召C

}

冷B C

等 的 四 个 二 面 角 只要 求 出 其 中 一 个 即 可

2 ) 本 题 解 法 注 意 到 R t △人 B D (

;



则 尸 C 一 .2

R △C t
,

,

BD

,

,

选择 点
.

A

,

,



A

,

作 出二面 角 的平
A

可 见在 R t △ 尸A C 中 乙 A C 尸 ~

0 3

面角 很 方 便 若 先 求 二 面角
,

一B

D

I

一A

l

,



比较 困难


.

n 在 R t △ 尸 C D 中 由 is 艺 尸 D C ,

尸 一 P一 C D

三 垂面 法
.



经 过 某 一 定点 作 出 与 二 面 角 的 棱 垂 直 的

,

~

平 面 该 平 面 与 二 面 角 的 两 个 半 平 面 相 交 所成
的 角 就是 二 面 角 的 平面 角
例 3
a
, ,
.

,

_ 一 二 /厄 a 气井 ” 得 二 面 角 一 A B 一 口的 大 小 为 4 5 气 2 一 一~ 说明 以 上 给 出 的 四 种 方 法 是 常用 的 基 本
,

-

,


,

n

,

2

.二

-

:

如图 3 二面 角


方 法 但 有 些 题 目需 对 条件 做些变 换 才 能求 解
,

.

一 l 一夕 内 一 点
a


到 两个半

五 转 移法
以 两 个 平 行 平 面 与 第 三 个 平 面 相 交 所成 的



平面
,

月的 距 离分 别 是 1 和
,

丫 而 万 到 棱 l 的 距 离是 丫 求二 面 角
:

同 向 二 面 角相 等 为 根 据 将 二 面 角 的 一 个 面 平
,

a

一 l 一夕 的 大 小
尸A
y

.

移到恰 当 的 位 置 使 新 构 成 的 二 面 角易 求 解
,

,

.

解 作
尸B


, ,

a

于 A 尸 B 土 口于 B
y

,

由尸A



例 5

如图
,

5

,

设 M N
,



确 定平 面 由 则
l
l


Z l
,

n
B C

l ~
,

C .
7
, ,

分别 是正 方体 棱 C I D
c C
A B
I





1




尸A
AC

土 尸B 知 l 土 土
,

的 中 点

求 截 面
l

l

土 尸C

, N M 与 侧 面 B CC B



乙 A C B 是 二 面 角 “ 一 l 一 月的平 面 角 且 尸 A
~
1 尸B 一
,

,

成二 面 角 ( 锐 角 ) 的 大 小

.

了万 尸 C ~

.

,

丫而
,

.

略解 取 人 B
B B
,

:

l

中点
;

E

,


图 5
E F C
l I

中点
,

F

,

可 见 EC
;
,

利 用 和 角 的 余 弦 公 式 可 求得
e o s

/

乙A CB ~

e o s

(乙A C P +

乙P CB ) ~

人M
A, B

E F
.

/ 成B

从 而 易证 得 面
Fc
.

/ 面



山B N M

因 此 二 面 角 E一
召C C B
尸C E
, I

l

一B

等 于面
,

/丁
2

N M 与面
I

;

所成 角
于 1
,

从 而 二 面 角 a 一 l 一 月的 大 小 是 4 5
四 三垂 线法




.

作 几H 土
匕B H
E

连 结 EH
:

易 证
.

是二 面角
, ·

一尸 C
1
一 ,


l

一B
` 一

的平 面角

`

根 据三 垂线 定 理 或逆 定理 从 二面 角 的 一 个 面 内 的一 点 尸 作 另 一个 面 的 垂线 段 尸 A 再 从 垂足
A
,

,

设 正 方 体棱 长 为
~ 一~
~ 一
_
,
,

I 易 求得 B H 一

.

/

,


EB




,


丫亏 毛




-

,

作棱 的 垂 线 将 得 到 的 第 二个 垂 足
,

,

_

,

B





连结 则 乙
,

AB尸

就 是二 面角 的平 面角 该
.

.

二 t n乙B, H E ~ 若 由 a 专~ I 孚 囚 一“ ~ 一 一 B H
`

` 一 `

。 , ~ 一 丫了 , 二 得 二 所 求 一 ” , ,/ Z ” 一
,
, 、

法 应 用 广 但 要 有 必 要 的说 明 论证
例 4

如图

4

,

点 A 在
,

一一 面 角 大小 是 ~ ~
’ ,



a r e

-

t a n
-

~

,

.二

, 、

;



号 2

/了 二
.

.

二 面 角 a 一 A B 一 月的 棱 上
A尸

六 补形 法 当二 面 角 的 图 形 不 完 整 特 别 是 没 有 给 出
,



C 尹且

.

,

尸A 与

5 4 成 3 0 角 求二 面
.

匕尸A B =



,

二 面 角 的两个 半 平 面的交 线 时 可 将两 个 面延
,

角的 大 小
,

伸 使 其 相 交 构成 完 整 的 二 面 角
,

,

,

.

: 解 作 尸C 土

a

于C 作 CD 土 AB 于 D 连

,

例 6
A B C一A
,

如 图 6 正三棱 柱
,

l


a
,

尸D



尸D


,
·

AB

,

乙尸 D C 是 二 面 角
尸A

药C

,

的各棱长均
,

一 A B 一夕 的 平 面 角 乙 尸A C 是
30 2
,



a

所成

为 1 M 是棱 C I C 的 中点 求
I 截 面 A B M 与底 面

角 匕 尸A C 一

尸A ~

ABC






n

尸C 一 1


,

成二 面 角的 大 小
~
.

.

尸D ~

尸A i s

45

-



略解 延 长
,

:

A

I

图6

/厄

M 与

AC

,

相 交 于 尸 则所 求 二 面 角是

A

,

一 B 尸一 A

.

易知 A C

C 尸
,

C

A

,

n e o s
,

s

中 0 是 两条 异面
.

,




A B

, I 土 B尸 进而 A B 土 B尸 乙 A B A 是
, 0
.

直 线 所 成角 也 是 两 条 异 面 直线 分 别 与公 垂 线
,

所 求 二 面 角 的平 面 角 为 4 5
七 面积射 影 法

所 确定 的 两 个平 面所 成 二 面 角 的 大 小
例 8
,

如图
3护

7

,

点 E 在北
, 0
.

设 二面 角 个 面积 为

,

a

一 l 一月的 大 小 为 O
, 。



,

a

内有一



60

,

东经
,

处 点 尸 在
F 一

S

,
`

的封 闭 图 形 该 图 形 在 面 月 内 的 射
,
,
`

赤道上 且 匕 E O
:

0 9



_ 影 圆积 刀 办

, _



,

,

只组 c o

s U

S 一 节


`
~ .

,



利用O 和

_



, _

,



O

`

四但

一 _
,



点 F 位 置 应 是 东 经 多 少度 ?

求 出 二 面 角 的 大 小 这 种 方 法 可 免 去 寻 找二 面

.

解 本题 实 质 是 求 二 面
角 E 一 q o 一 F 的 大小 夕 设 地 球 半径 为 即O

t 2
1
.

角 的 平 面 角 及 其 证 明 过 程 使 解 法直 接 了 当
例 7

,

.

1

,

正三 棱 台的 上底 面 积 S 上 ~ 1 0
,

,

下底

面积 S下 一 3 5

侧 面积 S

,

一 5 0
.

,

求侧 面 与 下 底

E =

O F 二 1
1
八 八
,

,

易知 丫了
2

EF 二

丫 万

,

面 所成二 面 角 ( 锐 角 ) 的 大 小
:


I乙
二 二二

代了

略 解 正 棱 台各侧 面 与 底 面 所 成 二 面 角 都 相 等 设为 0 则
,
,



t 产, t 产

二二 二

由公 式
得 c o s o 一
0

e o s

o -

S下 一 S



S侧
0
.

35 一 10 一 50

冬从 而二
,

`

0

,

1 知 二 面 角 E 一。 0 一 F 是 9 少

.

面角 大小 为 6 0

又 8 十 30 =
,
.

120

0 ,

从而点

F

在东 经

12 0

0

说明 例


:

6

也 可 用 本 例 方 法 请读 者 试 笔

八 公式法 在 异 面 直 线 上 两 点 间 距离公 式
E尸 ~

浙襄省杭州街第四中学炙 姨 劝必 蓬 劝

.

史会 萍

点 面 距离 的 求解 策 略
点 到 平 面 的 距 离 是 立 体 几 何 中基 本 而 典
型 的 问 题 它 对求 解线 面 角 二 面 角 以 及 体 积 等
,


略解 作
D 连结 C 刀
,
.

:

O D 上 A B

问 题 常起 着 奠基 作 用 本文 给 出 求解这 类 问 题 的几种 策 略

.

,

.

再由
CO
,

CO



a

,



AB

一 直 接法 根 据 点到 平 面 距 离 的 意义 证 出 或 作 出 点
,


,

AB

上 面 CO D
E

.

再作 O

上 CD 于
ABC
,

E

,



A B

土 OE

,

到 平 面 的 垂 线 段 然 后 归 结 为 解 直角 三 角 形 的

知 OE 土 面

问题
60
。 ,

.

故 O E 为 O 到面
如 图 1 △A
,

A BC

的距 离
,

.

例 1
A B “
.

BC

中 C 二
,

90

,

A =
,

在 R t△ A B C 中 由
`

,

A 一 6a 0

易知

24 A B

,



a

,

C



a

上的 射影是 O 且
.

~

Ac

=

C O 一 9 求点 O 到平 面 A B C 的距 离



1

,

,

_

_
,

A B 二 1“


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