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2011年全国高考理科数学试题及答案(全国卷)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+ II) 理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号 填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 .......... 3.第Ⅰ卷共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 一、选择题 1.复数 z = 1 + i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 = A. ?2i B. ?i C. i D. 2i

2.函数 y = 2 x ( x≥0) 的反函数为 A. y =

x2 ( x ∈ R) 4

B. y =

x2 ( x≥0) 4

C. y = 4 x 2 ( x ∈ R )

D. y = 4 x 2 ( x≥0)

3.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 A. a>b + 1 B. a>b ? 1 C. a 2>b 2 D. a 3>b 3

4.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 = 1 ,公差 d = 2 , Sk + 2 ? Sk = 24 ,则 k = A.8 B.7 C.6 D.5

5.设函数 f ( x) = cos ω x (ω>0) ,将 y = f ( x ) 的图像向右平移 原图像重合,则 ω 的最小值等于 A.

π
个单位长度后,所得的图像与

3
D. 9

1 3

B. 3

C. 6

6. 已知直二面角 α? ι?β, A∈α, ⊥ι, 为垂足, ∈β, ⊥ι, 为垂足. AB=2, 点 AA A B BB B 若 AA=BB=1, 则 B 到平面 ABA 的距离等于

A.

2 3

B.

3 3

A.

6 3

B.1

7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本, 则不同的赠送方法共有 A.4 种 B.10 种 A.18 种 B.20 种 8.曲线 y= e A.
?2 x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 B.

1 3

1 2

A.

2 3

B.1

9.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x (1 ? x ) ,则 f ( ? ) = A.-

5 2

1 2

B. ?

1 4

A.

1 4

B.

1 2

10.已知抛物线 A: y 2 = 4 x 的焦点为 F,直线 y = 2 x ? 4 与 A 交于 A,B 两点.则 cos ∠AFB = A.

4 5

B.

3 5

A. ?

3 5
0

B. ?

4 5

11.已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60 二面角的平面 β 截该球面得圆 N.若该 球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 π ,则圆 N 的面积为 A.7 π B.9 π A.11 π 12.设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a b = ? A.2 B. 3 B.13 π

1 0 , a ? c, b ? c = 60 ,则 c 的最大值等于 2
A. 2 B.1

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号 填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答, 在试题卷上作答无效。 3.第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 (注意:在试卷上 .... 作答无效) .... 13. (1- x )20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为: . 2 y2

14.已知 a∈(

π
2

,π ) ,sinα=

5 ,则 tan2α= 5

15.已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x2 y 2 =1 的左、右焦点,点 A∈A,点 M 的坐标为(2,0) , 9 27

AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = . 16.己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB1 、CC1 上,且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 l0 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... △ABA 的内角 A、B、A 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 A.

18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。

19. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 如 图, 四棱锥 S ? ABCD 中 , AB ⊥ CD , BC ⊥ CD , 侧 面 SAB 为 等边三 角形 ,

AB = BC = 2, CD = SD = 1 .
(Ⅰ)证明: SD ⊥ 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.

20. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 设数列 {an } 满足 a1 = 0 且

1 1 ? = 1. 1 ? a n +1 1 ? a n

(Ⅰ)求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn =

1 ? an +1 n

, 记Sn = ∑ bk , 证明:S n < 1.
k =1

n

21. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知 O 为坐标原点, 为椭圆 C : x + F
2

y2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦点, F 且斜率为 - 2 过 2

的直线 l 与 A 交于 A、B 两点,点 P 满足 OA + OB + OP = 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 A 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

uuu uuu uuu r r r

22. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... (Ⅰ)设函数 f ( x) = ln(1 + x) ?

2x ,证明:当 x>0 时, f ( x)>0 ; x+2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p < (

9 19 1 ) < 2 10 e

参考答案
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数,选择题不给中间分。 一、选择题 1—6 BBABAA 7—12 BAABBA 二、填空题 13.0 14. ?

4 3

15.6 16.

2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.解:由 a + c =

2b 及正弦定理可得
…………3 分

sin A + sin C = 2 sin B.
又由于 A ? C = 90°, B = 180° ? ( A + C ), 故

cos C + sin C = 2 sin( A + C ) = 2 sin(90° + 2C )

= 2 cos 2C.
2 2 cos C + sin C = cos 2C , 2 2 cos(45° ? C ) = cos 2C.
因为 0° < C < 90° , 所以 2C = 45° ? C ,

…………7 分

C = 15°
18.解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; A 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; B 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; (I) P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.3, C = A + B, …………3 分

P (C ) = P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) = 0.8.
(II) D = C , P ( D ) = 1 ? P (C ) = 1 ? 0.8 = 0.2,

…………6 分

ur

X ~ B (100, 0.2) ,即 X 服从二项分布,

…………10 分

所以期望 EX = 100 × 0.2 = 20. …………12 分 19.解法一: (I)取 AB 中点 E,连结 BE,则四边形 BABE 为矩形,BE=AB=2, 连结 SE,则 SE ⊥ AB, SE =
2 2

3.
2

又 SB=1,故 ED = SE + SD , 所以 ∠DSE 为直角。 由 AB ⊥ DE , AB ⊥ SE , DE I SE = E , 得 AB ⊥ 平面 SBE,所以 AB ⊥ SD 。 SB 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD ⊥ 平面 SAB。 (II)由 AB ⊥ 平面 SBE 知, 平面 ABCD ⊥ 平面 SEB。 作 SF ⊥ DE , 垂足为 F,则 SF ⊥ 平面 ABAB, …………3 分

…………6 分

SF =

SD × SE 3 = . DE 2

作 FG ⊥ BC ,垂足为 G,则 FG=BA=1。 连结 SG,则 SG ⊥ BC , 又 BC ⊥ FG , SG I FG = G , 故 BC ⊥ 平面 SFG,平面 SBA ⊥ 平面 SFG。 作 FH ⊥ SG ,H 为垂足,则 FH ⊥ 平面 SBA。 …………9 分

FH =

SF × FG 3 21 = ,即 F 到平面 SBA 的距离为 . SG 7 7 21 . 7

由于 EB//BA,所以 EB//平面 SBA,E 到平面 SBA 的距离 d 也有 设 AB 与平面 SBA 所成的角为α, 则 sin α =

d 21 21 = , α = arcsin . EB 7 7

…………12 分

解法二: 以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz。

设 B(1,0,0) ,则 A(2,2,0) 、B(0,2,0) 。 又设 S ( x, y, z ), 则x > 0, y > 0, z > 0. (I) AS = ( x ? 2, y ? 2, z ), BS = ( x, y ? 2, z ) , DS = ( x ? 1, y , z ) , 由 | AS |=| BS | 得

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 + z 2 = x 2 + ( y ? 2) 2 + z 2 ,
故 x=1。 由 | DS |= 1得y 2 + z 2 = 1, 又由 | BS |= 2得x 2 + ( y ? 2) 2 + z 2 = 4, 即 y + z ? 4 y + 1 = 0, 故y =
2 2

uuu r

uuu r

1 3 ,z = . 2 2

…………3 分

于是 S (1, ,

r r 1 3 uuu 3 3 uuu 3 3 ), AS = (?1, ? , ), BS = (1, ? , ) , 2 2 2 2 2 2

uuu r r r uuu uuu r r 1 3 uuu uuu DS = (0, , ), DS ? AS = 0, DS ? BS = 0. 2 2
故 DS ⊥ AD, DS ⊥ BS , 又AS I BS = S , 所以 SD ⊥ 平面 SAB。 (II)设平面 SBA 的法向量 a = ( m, n, p ) , 则 a ⊥ BS , a ⊥ CB, a ? BS = 0, a ? CB = 0. 又 BS = (1, ? …………6 分

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

r 3 3 uuu , ), CB = (0, 2, 0), 2 2

? 3 3 ?m ? n + p = 0, 故? 2 2 ?2n = 0. ?
取 p=2 得 a = ( ? 3, 0, 2), 又 AB = ( ?2, 0, 0) 。

…………9 分

uuu r

uuu r uuu r AB ? a 21 r cos AB, a = uuu = . 7 | AB | ? | a |
故 AB 与平面 SBA 所成的角为 arcsin

21 . 7

20.解: (I)由题设

1 1 ? = 1, 1 ? an +1 1 ? an

即{

1 } 是公差为 1 的等差数列。 1 ? an



1 1 = 1, 故 = n. 1 ? a1 1 ? an
1 . n

所以 an = 1 ?

(II)由(I)得

bn = =

1 ? an +1 n

,

n +1 ? n , n +1 ? n 1 1 = ? n n +1 S n = ∑ bk = ∑ (
k =1 k =1 n n

…………8 分

1 1 1 ? ) = 1? < 1. k k +1 n +1

…………12 分

21.解: (I)F(0,1) l 的方程为 y = ? 2 x + 1 , , 代入 x +
2

y2 = 1 并化简得 2
…………2 分

4 x 2 ? 2 2 x ? 1 = 0.
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P ( x3 , y3 ), 则 x1 =

2? 6 2+ 6 , x2 = , 4 4 2 , y1 + y2 = ? 2( x1 + x2 ) + 2 = 1, 2 2 , y3 = ?( y1 + y2 ) = ?1. 2

x1 + x2 =

由题意得 x3 = ?( x1 + x2 ) = ?

所以点 P 的坐标为 ( ?

2 , ?1). 2 2 , ?1) 满足方程 2

经验证,点 P 的坐标为 ( ?

x2 +

y2 = 1, 故点 P 在椭圆 A 上。 2 2 2 , ?1) 和题设知, Q( ,1) 2 2

…………6 分

(II)由 P ( ?

PQ 的垂直平分线 l1 的方程为

y=?

2 x. 2



设 AB 的中点为 M,则 M (

2 1 , ) ,AB 的垂直平分线为 l2 的方程为 4 2

y=

2 1 x+ . 2 4 2 1 , )。 8 8



由①、②得 l1 , l2 的交点为 N ( ?

…………9 分

| NP |= (?

2 2 2 1 3 11 + ) + (?1 ? ) 2 = , 2 8 8 8 3 2 , 2

| AB |= 1 + (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |= | AM |= 3 2 , 4

| MN |= (

2 2 2 1 1 2 3 3 + ) +( ? ) = , 4 8 2 8 8 3 11 , 8

| NA |= | AM |2 + | MN |2 =

故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上 22.解:

…………12 分

(I) f '( x) =

x2 , ( x + 1)( x + 2) 2

…………2 分

当 x > 0时, f '( x) > 0 , 所以 f ( x ) 为增函数,又 f (0) = 0 , 因此当 x > 0时, f ( x) > 0. (II) p = …………5 分

100 × 99 × 98 × L × 81 . 10020

又 99 × 81 < 902 ,98 × 82 < 90 2 ,L , 91× 89 < 902 , 所以 p < (

9 19 ) , 10 2x , x+2

…………9 分

由(I)知:当 x > 0时, ln(1 + x ) > 因此 (1 + ) ln(1 + x) > 2. 在上式中,令 x =

2 x

1 10 10 19 , 则19ln >2,即( ) > e 2 . 9 9 9 9 19 1 所以 p < ( ) < 2 . 10 e


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