2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明(2)练习 新人教A版选修1-2.doc

2019-2020 学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接 证明(2)练习 新人教 A 版选修 1-2 一、选择题 1 .命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 导学号 18674233 ( C ) A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角 [解析] “最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”,因此它的反面应是 “至少有两个”. 2.如果两个数之和为正数,则这两个数 导学号 18674234 ( A.一个是正数,一个是负数 B.都是正数 C.不可能有负数 D.至少有一个是正数 [解析] 两个数的和为正数,可以是一正一负,也可以是一正一为 0,还可以是两正, 但不可能是两负. 3.否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”的正确反设为 导学号 18674235 ( A.自然数 a、b、c 都是奇数 B.自然数 a、b、c 都是偶数 C.自然数 a、b、c 中至少有两个偶数 D.自然数 a、b、c 中或都是奇数或至少有两个偶数 [解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况, 其一是无偶数(全为奇数), 其二是至少有两 个偶数. 4. 若 a、 b、 c∈R, 且 ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 导学号 18674236 ( A.a +b +c ≥2 1 1 1 C. + + ≥2 3 2 2 2 D ) D ) B ) B.(a+b+c) ≥3 1 D.abc(a+b+c)≤ 3 2 2 2 a b c [解析] ∵a、b、c∈R,∴a +b ≥2ab, b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac, ∴a +b +c ≥ab+bc+ac=1 2 2 2 又(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ac =a +b +c +2≥3. 5 . 用 反 证 法 证 明 命 题 : 三 角 形 三 个 内 角 至 少 有 一 个 不 大 于 60° 时 , 应 假 设 导学号 18674237 ( B ) 2 2 2 2 2 2 2 A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° [解析] 三个内角至少有一个不大于 60°,即有一个、两个或三个不大于 60°,其反 设为都大于 60°,故 B 正确. 6.若 a>b>0,则下列不等式中总成立的是 导学号 18674238 ( 1 1 A.a+ >b+ B. > A ) b a a b b b+1 a a+1 1 1 C.a+ >b+ 2a+b a D. > a+2b b [解析] 可通过举反例说明 B、C、D 均是错误的,或直接论证 A 选项正确. 二、填空题 7.设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于 1 . 导学号 18674239 3 1 1 [解析] 假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<1,故 a、b、c 中至少有一个数不小于 . 3 3 8 . 和 两 条 异 面 直 线 AB 、 CD 都 相 交 的 两 条 直 线 AC 、 BD 的 位 置 关 系 是 __ 异 面 __. 导学号 18674240 [解析] 假设 AC 与 BD 共面于平面 α ,则 A、C、B、D 都在平面 α 内,∴AB? α ,CD ? α ,这与 AB、CD 异面相矛盾,故 AC 与 BD 异面. 三、解答题 9.已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: a, b, c不成等 差数列. 导学号 18674241 [解析] 假设 a, b, c成等差数列,则 a+ c=2 b,即 a+c+2 ac=4b. 而 b =ac,即 b= ac, 则有 a+c+2 ac=4 ac. 2 即( a- c) =0. 所以 a= c, 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 a, b, c不成等差数列. B 级 素养提升 一、选择题 1.下列命题不适合用反证法证明的是 导学号 18674242 ( C ) 2 A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交 B.两个不相等的角不是对顶角 C.平行四边形的对角线互相平分 D.已知 x、y∈R,且 x+y>2,求证:x、y 中至少有一个大于 1 [解析] A 中命题条件较少,不易正面证明;B 中命题是否定性命题,其反设是显而易 见的定理;D 中命题是至少性命题,其结论包含两种情况,而反设只有一种情况,适合用反 证法证明. 2.设 a、b、c∈R ,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是 P、Q、R 同时大于零的 导学号 18674243 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 若 P>0,Q>0,R>0,则必有 PQR>0;反之,若 PQR>0,也必有 P>0,Q>0,R>0. 因为当 PQR>0 时,若 P、Q、R 不同时大于零,则 P、Q、R 中必有两个负数,一个正数,不妨 设 P<0,Q<0,R>0,即 a+b<c,b+c<a,两式相加得 b<0,这与已知 b∈R 矛盾,因此必有 + + C ) P>0,Q>0,R>0. 3.用反证法证明命题“设 a、b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时, 要做的假设是 导学号 18674244 ( 3 3 A ) A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 [解析] 至少有一个实根的否定为:没有实根. 4.下面的四个不等式: ①a +b +c ≥ab+bc+ca; 2 2 2 3 3 3 1 ②a(1-a)≤ ; 4 ③ + ≥

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