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高一数学教案:3.5.1 对数函数的概念(北师大版必修1)


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对数的公理化定义
真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保 证根号里的式子大于等于零, 底数则要大于 0 且不为 1 对数函数的底数为什么要 大于 0 且不为 1? 【在一 个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应 b 的值的。但是,根据对数 定义: logaa=1;如果 a=1 或=0 那么 logaa 就可以等于一切实数(比如 log1 1 也可以 等于 2,3,4,5 ,等等)第二,根据定义运算公式:loga M^n = nloga M 如果 a<0, 那么这个等式两边就不会成立 (比如,log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4; 一个等于 4,另一个等于-4) 】 通常我们将以 10 为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把 log10N 记为 lgN。另外,在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828···为底数的对数,以 e 为底 的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把 loge N 记为 In N. 根据对数的 定义,可以得到对数与指数间的关系: 当 a 〉0,a≠ 1 时,a^x=N→X=logaN。 由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论: 负数和零没有对数 loga 1=0 loga a=1(a 为常数)

编辑本段对数的定义和运算性质
一般地,如果 a(a>0,且 a≠1)的 b 次幂等于 N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 数,记作 log(a)(N)=b,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 底数则要>0 且≠1 真数>0

对数的运算性质
当 a>0 且 a≠1 时,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a )(N); (3)log( a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R) (4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R) (5)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0 且 b≠1) (6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明: 设 a=n^x 则 a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)
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=n^(log(b)a) (7)对数恒等式:a^log(a)N=N; log(a)a^b=b

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(8)由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 1.log(a)M^(1/n)= (1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M 4.log(以 n 次根号下的 a 为底)(以 n 次根号下的 M 为真数)=log(a)M , log(以 n 次根号下的 a 为底)(以 m 次根号下的 M 为真数) =(n/m)log(a)M 5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

对数与指数之间的关系
当 a>0 且 a≠1 时,a^x=N x=㏒(a)N

编辑本段对数函数

[ 来 源 : 学 + 科 + 网 Z + X + X +K ]

右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过 的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形, 因为它们互为反函数。 (1) 对数函数的定义域为大于 0 的实数集合。 (2) 对数函数的值域为全部实数集合。 (3) 函数图像总是通过(1,0)点。 (4) a 大于 1 时,为单调增函数,并且上凸;a 大于 0 小于 1 时,函数为单调 减函数,并且下凹。X k b 1 . c o m (5) 显然对数函数无界。 (1)log(a)(b)=log(a)(b) (2)lg(b)=log(10)(b) (3)ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质: 如果 a〉0,且 a 不等于 1,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n 属于 R) (4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n 属于 R) 对数与指数之间的关系 当 a 大于 0,a 不等于 1 时,a 的 X 次方=N 等价于 log(a)N=x
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x k b 1 . c o m x k b 1 . co m

对数函数的常用简略表达方式:

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log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n 属于 R) 换底公式 (很重要) log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以 e 为底 e 为无限不循环小数(约为 2.718281828454590) lg 常用对数 以 10 为底

编辑本段常用简略表达方式
(1 )常用对数:lg(b)=log(10)(b) (2)自然对数:ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828454590... 通常 情况下只取 e=2.71828 对数函数的定义 对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x, 它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直 线 y=x 对称的两函数互为反函数) 可表示为 x=a^y。 , 因此指数函数里对于 a 的规定 (a>0 且 a≠1) ,同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形, 因为它们互为反函数。

编辑本段性质 w

w w .x k b 1.c o m

定义域求解:对数函数 y=loga x 的定义域是{x ︳x>0},但如果遇到对数型复 合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于 0 以外,还应注意底数大于 0 且不等于 1,如求函数 y=logx(2x-1)的定义域,需满足{ x>0 且 x≠1} 。 {2x-1>0 ,x>1/2 且 x≠1},即其定义域为 {x ︳x>1/2 且 x≠1}值域:实数集 R 定点:函数图像恒过定点(1,0) 。 单调性:a>1 时,在定义域上为单调增函数,并且上凸

0<a<1 时,在定义域上为单调减函数,并且下凹。 奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。 周期性:不是周期函数 零点:x=1
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注意:负数和 0 没有对数。

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两句经典话:底真同对数正新课标第一网 底真异对数负

[来源:学*科*网]

指数函数的求导: e 的 定 义 : e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828... 设 a>0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δ x→∞)((log a(x+Δ x)-log a(x))/Δ x)=lim(Δ x→∞)(1/x*x/Δ x*log a((x+Δ x)/x))=lim(Δ x→∞)(1/x*log a((1+Δ x/x)^(x/Δ x)))=1/x*lim(Δ x→∞)(log a((1+Δ x/x)^(x/Δ x)))=1/x*log a(lim(Δ x→0)(1+Δ x/x)^(x/Δ x))=1/x*log a(e)特殊地, a=e 时, 当 (log a(x))'=(ln x)'=1/x。 ----设 y=a^x 两边取对数 ln y=xln a 两边对求 x 导 y'/y=ln ay'=y ln a=a^xln a 特殊地,当 a=e 时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
[ 来 源 :学 , 科 , 网 ]

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