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重庆市高2009级学生学业质量调研抽测试卷(第一次)数学文


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重庆市高 2009 级学生学业质量调研抽测试卷(第一次)



学(文科)09.1.15 文科)

本试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟

选择题, 第 I 卷(选择题,共 60 分)
( 个小题, 一、选择题: 本大题 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题给出的四个 选择题: 备选项中,只有一项是符合题目要求的. 备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.不等式 x ? 2 > 1 的解集是( A. (1,3) B. ( ?∞,1) ) C. (3, +∞ ) D. ( ?∞,1) U (3, +∞ ) )

2.直线 l1 : kx ? y + 2 = 0 到直线 l2 : x + 2 y ? 3 = 0 的角为 45o ,则 k = ( A.-3 B. -2 C. 2 D. 3

3.设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,若满足 an = an?1 + 2(n ≥ 2), 且 S3 = 9, 则 a1 = ( A.5 4.已知函数 f ( x) = ? A. ? B. 3 C.1 ) D.-1



?log 2 x( x > 0) 1 , 则 f [ f ( )] 的值是( x 4 ? 3 ( x ≤ 0)
B. -9 C.

1 9

1 9

D.9 )

5.如果命题“非 p 或非 q ”是假命题,则在下列各结论中正确的是( ① 命题“ p 且 q ”是真命题; ② 命题“ p 且 q ”是假命题; ③ 命题“ p 或 q ”是真命题; ④ 命题“ p 或 q ”是假命题; A.① ③ B.② ④ C. ② ③ D.① ④

6.已知函数 y = x 2 ? 3x + 3( x > 0) 的值域是 [1, 7] ,则 x 的取值范围是( A. (0, 4] B. [1, 4] C. [1, 2]



D. (0,1] U [2, 4]

7.将函数 y = f ( x ) cos x 的图象按向量 a = (

r

π
4

,1) 平移得到 y = 2sin 2 x 的图象,那么函数

f ( x ) 可以是(
A. sin x

) B. cos x
2

C. 2sin x

D. 2 cos x

8.设 F1、F2 是双曲线 x ?

y2 = 1 的两个焦点, P 是双曲线上的一点,且 3 PF1 = 4 PF2 , 3

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?PF F2 的面积等于( 1
A. 5 3

) C. 4 5 D. 3 15

B. 2 10

9.设函数 f ( x ) 满足:① y = f ( x + 1) 是偶函数;②在 [1, +∞ ) 上为增函数。则 f ( ?1) 与

f (2) 的大小关系是(
A. f ( ?1) > f (2)

) B. f ( ?1) < f (2) C. f ( ?1) = f (2) D. 无法确定

? x≥0 ? y≥0 ? 10.在约束条件 ? 下,当 3 ≤ S ≤ 5 时,目标函数 Z = 3 x + 2 y 的最大值的变化范 ? x+ y ≤ S ? y + 2x ≤ 4 ?
围是( A. [6,8] ) B. [7,8] C. [6,15] D. [7,15]

11.在梯形 ABCD 中, AB = 2 DC , AC 与 BD 相交于 O 点.若 AB = a , AD = b, 则 OC = ( )

uuu r

uuur

uuu r

r uuur

r

uuur

1r 1r A. a? b 2 4

B.

1r 1r a+ b 6 3
*

C.

1r 1r a+ b 3 6

D.

1r 1r a? b 6 3

12.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横 纵坐标分别对应数列 {an } (n ∈ N ) 的前 12 项,如下表所示:

y

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

a8 y4


a9 x5

a10 y5

a11 x6

a12 y6

6 5 4 3 2 1

按如此规律下去,则 a2009 = ( A.501 C.503

B.502 D.504 -4 -3 -2 -1

o

1

2

3

4

x

非选择题, 第 II 卷(非选择题,共 90 分)
(本大题共 小题, 二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)将每小题正确的答案 填空题: ( 填在相应的横线上. 填在相应的横线上.
13.函数 f ( x ) = log 3 x (1 < x ≤ 3) 的反函数的定义域为_______________________; 14.已知直线 l : x + y ? 3 = 0 与圆 C : ( x ? 1) 2 + ( y + 2) 2 = 2, 则圆 C 上各点到 l 距离的最大值

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为_____________; 15.已知数列 {an } 是等比数列,且 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 = 128, 则 a7 = ________; 16. 函数 y = log a ( x ? 2) + 2( a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,且点 A 在曲线 y = mx + n 上,
2

1 2

其中 mn > 0 ,则

4 3 + 的最小值为___________________. m n 解答题: (本大题共 小题, 解答必须写出必要的文字说明、 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 74 分). 解答必须写出必要的文字说明、 ( 演算步骤或推理过程. 演算步骤或推理过程. r r r 3 3 r x x 17. (13 分)已知 a = (cos x,sin x ), b = (cos , ? sin ), 若 f ( x ) = a ? b . 2 2 2 2
(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

(II)若 x ∈ ? ?

? π π? , , 求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. ? 3 4? ?

18. (13 分)已知 k < 1, 求不等式

k ( x ? 1) > 1 的解集. x?2

19. (12 分)某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35 元,卖出的价格是每份 0.50 元,卖不掉的报纸还可以每份 0.08 元的价格退回报社.在一个月(30 天)里,有 20 天每天 可以卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份.设每天从报社买进的报纸的数量相同,则 应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可 赚得多少元?

20. (12 分)设函数 f ( x ) 对 x ≠ 0 的任意实数,恒有 f ( x) ? 2 f ( ) = x 2 + 1 成立.

1 x

(I)求函数 f ( x ) 的解析式;
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(II)用函数单调性的定义证明函数 f ( x ) 在 (0, 4 2] 上是增函数.

21. (12 分)已知点 A( ?1, 0) 、 B (1, 0) 和动点 P 满足: ∠APB = 2θ ,



PA ? PB cos 2 θ = 1.
(I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)设过点 A 的直线 l 交曲线 C 于 E 、 F 两点, 若 ?BEF 的面积等于
方程.

4 ,求直线 l 的 3

,已知不等式 f (x) ≤ x2 + x ? 2 22. (12 分)设函数 f ( x) = x2 + ax + b ( a 、 b 为实常数) 对一切 x ∈ R 恒成立.定义数列 {an } : a1 = 2, an = f ( an?1 ) + 3(n ≥ 2).

(I)求 a 、 b 的值;
(II)求证:

( n + 1) 2 3 < an ≤ 5( ) n ?1 ? 3( n ∈ N *); 4 2

级学生学业质量调研抽测试卷(第一次) 重庆市高 2009 级学生学业质量调研抽测试卷(第一次)

数学(文科) 数学(文科)参考答案及评分意见
( 个小题, 一、选择题: 本大题 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题:
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1--6 DACCAD

7--12 CDABBC

二.填空题: 本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 填空题: (本大题共 小题, ( 13. (0,1] ; 14. 3 2 ; 15. 1; 16.
27 . 4

(本大题共 小题, 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 74 分). 解答题: (
17.(13 分)
3 x 3 x 3 x (I ………(5 解: I)Q f ( x ) = cos x cos ? sin x sin = cos( x + ) = cos 2 x, ………(5 分) ( 2 2 2 2 2 2 2π ……………………………(7 ∴ 函数 f ( x ) 的最小正周期为 T = = π . ……………………………(7 分) 2
(II) x ∈ ? ?

? π π? ? 2π π ? ? 1 ? ………………(11 , ? ? 2 x ∈ ?? , ? , 则 f ( x ) ∈ ? ? ,1? , ………………(11 分) ? 3 4? ? 3 2? ? 2 ? 1 .……………………………(13 分) ……………………………(13 2

∴ 函数 f ( x ) 的最大值为 1 ,最小值为 ?

18.(13 分) (I 解: I)把原不等式移项通分得 (
( k ? 1) x + 2 ? k …………(2 > 0 ,…………(2 分) x?2 2?k x? 1 ? k < 0 .(※)…………(4 分) 由 k < 1 ? k ? 1 < 0, 则可整理得 …………(4 x?2 2?k 2?k ………(7 ∴当 > 2, 即 0 < k < 1 时,由(※)得 2 < x < ; ………(7 分) 1? k 1? k 2?k 当 …………………(9 = 2, 即 k = 0 时,由(※)得 x ∈ ?; …………………(9 分) 1? k 2?k 2?k 当 …………(12 < 2, 即 k < 0 时,由(※)得 < x < 2 …………(12 分) 1? k 1? k 2?k 综上:当 k < 0 时,原不等式的解集为 ( , 2) ;当 k = 0 时,原不等式 1? k 2?k 无解;当 0 < k < 1 时,原不等式的解集为 (2, …………(13 ) …………(13 分) 1? k

19.(12 分) ………………………(2 解:设每天应从报社买进 x 份,易知 250 ≤ x ≤ 400. ………………………(2 分) 设每月所获得的利润为 y 元,则由题意有
y = 0.5 ? x ? 20 + 0.5 × 250 × 10 + ( x ? 250) × 0.08 × 10 ? 0.35 ? x ? 30

……………………………………(9 = 0.3 x + 1050(250 ≤ x ≤ 400), ……………………………………(9 分)
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………………(11 ∴ 当 x = 400 时, ymax = 120 + 1050 = 1170 (元)………………(11 分)
答: 应该每天从报社买进 400 份,才能使每月所获得的利润最大,该销售点一个月

………………………………………………(12 最多可赚得 1170 元.………………………………………………(12 分) 20.(12 分)
1 1 1 (I ………(3 解: I)由 f ( x) ? 2 f ( ) = x 2 + 1 ,①得 f ( ) ? 2 f ( x ) = 2 + 1. ②………(3 分) ( x x x 2 将① +2 × ②得 ?3 f ( x ) = x 2 + 2 + 3 , x 1 2 2 ………………………………(6 ∴ f ( x ) = ? ( x + 2 ) ? 1. ………………………………(6 分) 3 x
(II)任取 0 < x1 < x2 ≤
4

2,

1 2 1 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ? ( x12 + 2 ) + ( x2 + 2 ) 3 x1 3 x2
2 1 2 2 2 1 2 2( x12 ? x2 ) 2 2 = [( x2 ? x1 ) + ( 2 ? 2 )] = [( x2 ? x1 ) + ] 2 3 x2 x1 3 x12 x2

1 2 2 1 2 x2 x2 ? 2 = [( x2 ? x12 )(1 ? 2 2 )] = ( x2 ? x12 ) 1 22 2 x1 x2 x1 x2 3 3 1 2 ( x x + 2)( x1 x2 ? 2) …………………………(9 = ( x2 ? x12 ) 1 2 …………………………(9 分) 2 3 x12 x2
2 Q 0 < x1 < x2 ≤ 4 2,∴ x12 < x2 , 0 < x1 x2 ≤ 2,

而 x1 x2 + 2 > 0, x1 x2 > 0,
2 2

1 2 ( x x + 2)( x1 x2 ? 2) ∴ ( x2 ? x12 ) 1 2 <0 2 3 x12 x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0, 即 f ( x1 ) < f ( x2 )
故函数 f ( x ) 在 (0, 4 2] 上是增函数. ………………… (12 分)

21.(12 分) (I 解: I)在 ?PAB 中,由余弦定理得 AB = PA + PB ? 2 PA ? PB cos 2θ , (1 分) (
2 2 2

∴ 4 = ( PA + PB ) 2 ? 2 PA ? PB (1 + cos 2θ ) = ( PA + PB ) 2 ? 4 PA ? PB cos 2 θ = ( PA + PB ) 2 ? 4, ……………(4 分) ……………(4

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∴ PA + PB = 2 2 > 2 = AB ,即动点 P 的轨迹为以 A、B 为两焦点的椭圆.(5 分)
∴ 动点 P 的轨迹 C 的方程为:

x2 + y 2 = 1 .…………………………… (6 分) 2

(II)设直线 l 的方程为 x = ty ? 1,

? x = ty ?1 由 ? x2 消 x 得 (t 2 + 2) y 2 ? 2ty ? 1 = 0 .(※)………………(7 分) ………………(7 ? 2 ? + y =1 ?2
设 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ,则 y1 + y2 =

2t ?1 , y1 ? y2 = 2 . … (8 分) t +2 t +2
2

∴ S ?BEF =

1 AB ? y1 ? y2 = ( y1 + y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2t 2 4 8t 2 + 8 4 ) + 2 = 2 = , ……………………(10 分) ……………………(10 t2 + 2 t +2 t +2 3

= (

解得 t 2 = 1 ,∴ t = ±1 当 t = ±1 时(※)方程的 ? = 4t 2 + 4(t 2 + 2) = 8t 2 + 2 > 0 适合. 故直线 l 的方程为 x ? y + 1 = 0 或 x + y + 1 = 0 ……………………(12 分) ……………………(12

22.(12 分) 解: I)由 f ( x) ≤ ( x + 2)( x ?1) 得 f ( ?2) = 0, f (1) = 0, (I ( ………………………………(2 故 a = 1, b = ?2,∴ f ( x ) = x 2 + x ? 2 ………………………………(2 分) (II)当 n ≥ 2 时, an = f ( an?1 ) + 3 = an?1 + an?1 +1,
1 3 1 ∴an = ( an?1 + )2 + > ( an?1 + )2 (n ≥ 2), 2 4 2 1 1 ∴ a n > an?1 + , 即 a n ? an?1 > (n ≥ 2), …………………… (5 分) 2 2
∴ 当 n ≥ 2 时,

a n = ( a n ? an?1 ) + ( a n?1 ? an?2 ) + .... + ( a 2 ? a1 ) + a1 > n ?1 n +1 + 2> , 2 2

∴ an >

( n + 1) 2 ( n ≥ 2). …………………………………………(8 分) …………………………………………(8 4

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又 an = an?1 + an?1 + 1 < an?1 + 1 +

an?1 +1 3 3 = + an?1 (n ≥ 2) 2 2 2

3 从而 an + 3 < (an?1 + 3),(n ≥ 2) ……………………………… (10 分) 2 3 3 3 ∴ 当 n ≥ 2 时, an + 3 < ( )2 (an?2 + 3) < ... < ( )n?1 (a1 + 3) = 5( )n?1, 2 2 2

3 ∴an ≤ 5( )n?1 ?3. ………………………………………………(11 分) ………………………………………………(11 2
(1 + 1) 2 3 又当 n = 1 时, 1 = < a1 = 2 = 5( )1?1 ? 3, 成立 4 2
所以 n ∈ N * 时,

(n + 1)2 3 < an ≤ 5( )n ?1 ? 3 …………………… (12 分) 4 2

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