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五星级高中数学高频错题点集中汇编(上)


高三数学复习内部交流资料
填充题专项训练(1) 填充题专项训练
1.已知 f ( x ) 是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,

f ( x) 的图象如图所示,那么不等式 f ( x) cos x >0 的解集为

π? ? π? ? ? U ?1, ? 2? ? 2? ? 2 2.设不等式 mx ? 2 x ? m + 1 < 0 对于满足 | m |≤ 2 的一切 m 的值都成立,x 的取值范
。 ? ? 3,?

7 ? 1,1 + 3 y ?3 =2,x、y∈R} ,B={(x,y)|4x+ay=16,x、y∈R} , 3.已知集合 A={(x,y)| x ?1
围 。 若 A∩B= φ ,则实数 a 的值为 4 或-2 .

(

)

4.关于函数 f ( x ) = 2 sin(3 x ?

3π 4


) ,有下列命题:①其最小正周期是

3

;②其图象可由

y = 2 sin 3 x
y = 2 cos(3 x ?
1 ,4

π
4
, 个单位得到;③其表达式可改写为

的图象向左平移

π

) 4 ;④在

x∈[ π


12

5π ]上为增函数.其中正确的命题的序号是: 12

5.函数 f ( x ) = sin 2 x + 2 2 cos( 6.对于函数

π
4

+ x) + 3 的最小值是

2?2 2

f ( x ) = cos x + sin x ,给出下列四个命题:①存在 α ∈ (0,
π
2

π

②存在 α ∈ (0,

) ,使

f ( x + α ) = f ( x + 3α ) 恒成立;③存在 ? ∈ R,使函数 f ( x + ? )

4 ,使 f (α ) = ; 2 ) 3

的图象关于 y 轴对称;④函数 f (x ) 的图象关于( 1,3,4 .

3π 4 ,0)对称.其中正确命题的序号是

7.点 A 在以原点为圆心的圆周上依逆时针方向作匀速圆周运动。已知点 A 从 x 轴正半轴出发一 分钟转过 θ(0<θ<π)角,2 分钟到达第三象限,14 分钟回到原来的位置,则 θ= 8.函数 f(x)=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值为___7_____。

4π 5π 或 。 7 7

12 ? 5 3 9.已知 cos(π + θ ) = 5 , 且θ ∈ (0, π ), 则sinθ 的值为 。 26
10.已知向量 a = (1 , 1) , b = ( 2 , ? 3) ,若 k a ? 2 b 与 a 垂直,则实数 k 等于 -1 备用题: ,则不等式 1.若 f (x) 是 R 上的减函数,且 f (x) 的图象经过点 A (0,4)和点 B (3,-2)
1


3

12



2







| f ( x + t ) ? 1 |< 3 的解集为(-1,2)时, t 的值为
2.若

1

cosα = cos(?α + π ) ,则 α 的取值范围是: (2kπ + ,2kπ +
2
→ → → →

π

3π )k ∈ z 2

3.已知向量 a = (cos θ, sin θ ) ,向量 b = ( 3 ,?1) 则 | 2 a ? b | 的最大值是 4 _____ 4.有两个向量 e 1 = (1, 0) , e 2 = ( 0, 1) 。今有动点 P ,从 P0 (?1, 2) 开始沿着与向量 e 1 + e 2 相同 的方向作匀速直线运动,速度为| e 1 + e 2 |;另一动点 Q ,从 Q0 (?2, ?1) 开始沿着与向量 3e1 + 2e2 相 同的方向作匀速直线运动,速度为|3 e 1 +2 e 2 |.设 P 、 Q 在时刻 t = 0 秒时分 别在 P0 、 Q0 处,则当 PQ ⊥ P0 Q 0 时, t =
→ →













ur

uu r









2

秒.
→ →

5.若平面向量 b 与向量 a = (1 , ? 2) 的夹角是 180° ,且 b = 3 5 ,则 b =(-3,6) 6. (.有一批材料可以建成 200m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地, 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的 矩形最大面积为__2500____围墙厚度不计).

7.求函数 y
→ →

= sin x cos x + sin x + cos x 的最大值为
→ → → → → →

2+2 2
→ →

8.向量 a , b 满足 ( a ? b ) ? ( 2 a + b ) = ?4 ,且 a = 2 , b = 4 ,则 a 与 b 夹角等于 9.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·(b/5) =-36,则 a 与 b 的夹角是_____ 120 作业 1.已知
o

2π 3

f ( x) = ?1, x ≥ 0, 则不等式 x + ( x + 2) ? f ( x + 2) ≤5 的解集是 (?∞, 3 ] ? ? 1, x? 0, ? 2
a2 b , ),则 f(x)·g(x) 2 2

2.已知 f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a2,b),g(x)>0 的解集是( >0 的解集是___ ( 3.函数 y

a2 a2 , b ) U ( ? b, ? ) _______. 2 2 (2kπ ,2kπ + π )k ∈ z
2

= log 1 sin x 的定义域是

4.函数

y = (tan x ? 1) cos2 x 的最大值是___ 2 ? 1 ____________.
2


5.已知平面上直线 l 的方向向量 e = ( ?4,3) ,点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O1 和 A1,
2

则 O1 A 1 = 6.不等式



2

ax ? 1 > a 的解集为 M ,且 2 ? M ,则 a 的取值范围为 [ 2 ? 1,+∞) a

7.若 x∈[-1,1 ) ,则函数 f ( x) =

x2 ? 2 x + 2 的最大值_____-1____________。 2( x ? 1) o 8. 在△ABC 中, 若∠B=40°, sin( A + C ) = sin( A ? C ) , A = 且 则 90 o ; C= 50 9.在 ?ABC 中, A, B , C 为三个内角,若 cot A ? cot B > 1 ,则 ?ABC 是_______钝角三角形
→ → → → → → →

(填直角三角形 钝角三角形锐角三角形 ) 10.平面向量 a , b 中,已知 a = ( 4 , ? 3) , b = 1 ,且 a ? b = 5 ,则向量 b = ( ,? )

4 5

3 5

填充题专项训练(2) 填充题专项训练
1.对于函数 f1(x)=cos(π+x),f2(x)=x2sinx,f3(x)=|sinx|, f4(x)=cos(π/2-x),任取其中两个相乘所得的若干 个函数中,偶函数的个数为(3) 2.不等式 x + x 2 ? 1 > 1 的解集为 解:①当 x ? 1 ≥ 0 即 x ≥ 1 或 x ≤ ?1 时 原式变形为 x 2 + x ? 1 > 1 即 x 2 + x ? 2 > 0 解得 x < ?2 或 x > 1 ②当 x 2 ? 1 < 0 即 ?1 < x < 1 时 原式变形为 x + 1 ? x 2 > 1 即 x 2 ? x < 0 ∴ 0 < x < 1 综上知:原不等式解集为 {x x < ?2 或 x > 0 且 x ≠ 1}
2

∴ x < ?2 或 x > 1

3. 已知向量 OA = (3,?4), OB = (6,?3), OC = (5 ? m,?(3 + m)) . 若△ABC 为直角三角形, 且∠A 。 为直角,则实数 m 的值为 解:若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则 AB ⊥ AC ,∴ 3(2 ? m) + (1 ? m) = 0 , 解得 m =

7 4


4. 已知 ?ABC 中, B、 分别是三个内角, b、 分别是角 A、 C 的对边, A、 C a、 c B、 已知 2 2 (sin2A-sin2C) =(a-b)sinB,?ABC 的外接圆的半径为 2 ,则角 C= 解:2 2 (sin A-sin C)=(a-b)sinB, 又 2R=2 2 ,由正弦定理得:2 2 ?( , ) 2 ? ( ) 2 ? =(a-b) 2R 2R 2R ? ? ∴a2-c2=ab-b2, a2+b2-c2=ab 结合余弦定理得:2ab cosC=ab,∴cosC= ∴C=
2 2

? a

c

?

b

π
3

1 又∵0<C<π, 2

B+C 1 5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 cosA= ,则 sin2 +cos2A 的值 3 2

3

解: sin

B+C 1 + cos 2 A = [1 ? cos( B + C )] + (2 cos 2 A ? 1) 2 2 1 1 1 2 1 2 = (1 + cos A) + ( 2 cos A ? 1) = (1 + ) + ( ? 1) = ? 2 2 3 9 9
2

6 . 已 知 平 面 向 量 a = ( 3, ?1) , b = ( ,
2 = a + (t ? 3) b ,y = ? k

r

r

r

r

r r a +tb ,且 x ⊥ y,则函数关系式 k=

1 3 ) ,若存在不同时为零的实数 k 和 t ,使 x 2 2
(用 t 表示) ;

3 3 x x π ? x,sin x),b=( cos , sin ),且 x∈[0, ].若 f (x)=a · b-2 λ | 2 2 2 2 2 3 a+b|的最小值是 - ,则 λ 的值为 . 2 3 1 3 1 解:a · b = cos x cos x ? sin x sin x = cos 2 x 2 2 2 2 3 1 3 1 | a+b | = (cos x + cos x) 2 + (sin x ? sin x) 2 = 2 + 2 cos 2 x = 2 | cos x | 2 2 2 2
7.已知向量 a=(cos

Q x ∈ [0 , ] ∴cos x≥0,因此| a+b |=2 cos x 2 ∴f (x)=a · b-2 λ |a+b|即 f ( x) = 2(cos x ? λ )2 ? 1 ? 2λ2 Q x ∈ [0 , ] ∴0≤cos x≤1 2 ①若 λ <0,则当且仅当 cos x=0 时,f (x)取得最小值-1,这与已知矛盾 ②若 0≤ λ ≤1,则当且仅当 cos x= λ 时,f (x)取得最小值 ? 1 ? 2λ2 , 1 综上所述, λ = 为所求 2

π

π

8.已知 A = {x | x ? a |< 2}, B =| x |

2x ? 1 < 1}, 若A ? B ,则实数 a 的取值范围为 x+2 . 解:由 | x ? a |< 2得a ? 2 < x < a + 2, A={x|a-2<x<a+2},B={x|-2<x<3}
所以:a-2≥-2 且 a+2≤3;所以 0≤a≤1
→ → → → → → 3π ,且 a · b =-2,向量 b = 4

9.已知向量 a =(2,2) ,向量 b 与向量 a 的夹角为 解:设 b =(x,y) ,则 2 x + 2 y = ?2, 且 | b |=

∴解得 ?

? x = ?1 ? x = 0 或? , b = (?1,0)或b = (0,?1) ? y = 0 ? y = ?1
②sin2x+

3π | a | cos 4

a ?b

= 1 = x2 + y2 .

10.下列四个命题: ①a+b≥2 ab ; ③设 x、y∈R+,若

4 ≥4; sin 2 x

1 9 + =1,则 x+y 的最小值是 12; x y

④若|x-2|<q,|y-2|<q,则|x-y|<2q 其中所有真命题的序号是______________.

4

备用题: 1. 已知函数 f ( x ) = 2m sin 2 x ? 2 3m sin x ? cos x + n (m>0) 的定义域为 ? 0, 则函数 g ( x ) = m sin x + 2n cos x ( x ∈ R )的最小正周期为 最小值为 。 解: f ( x ) = ? 3m sin 2 x ? m cos 2 x + m + n = ?2m sin( 2 x +

? π? , 值域为 [ ?5, 4] , ? 2? ?

最大值为

π
6

) +m + n

π ? π 7π ? π ? 1 ? ? π? x ∈ ? 0, ? ? 2 x + ∈ ? , ? ? sin(2 x + ) ∈ ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6 ? 2 ? ? 2? 1 因为 m >0, f ( x ) max = ? 2m( ? ) + m + n = 4 , f ( x) min = ? m + n = ?5 2 解得 m = 3, n = ?2 ,从而, g ( x ) = 3sin x ? 4 cos x = 5sin( x + ? ) ( x ∈ R ) , T= 2π ,最大值为 5,最小值为-5; x+3 的定义域为 A, g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B.若 B ? A, 2. 记函数 f(x)= 2 ? x +1
则实数 a 的取值范围是 。.

x+3 x ?1 解: 2- ≥0, 得 ≥0, x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞] x +1 x +1
由(x-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0. 若 a<1,则 a+1>2a, 则 B=(2a,a+1). 因为 B ? A, 所以 2a≥1 或 a+1≤-1, 即 a≥ 若

1 或 a≤-2, 而 a<1, 2

1 1 ≤a<1 或 a≤-2, 故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ ,1]。 2 2 4 2 6 cos x + 5 sin x ? 4 ,则函数 f(x)的值域 . 3.已知函数 f ( x ) = cos 2 x π kπ π 解: cos 2 x ≠ 0 ? 2 x ≠ kπ + ,得 x ≠ + (k ∈ Z ) 2 2 2 3 1 kπ π 化简得 f ( x ) = cos 2 x + ( x ≠ + ). 2 2 2 4 1 1 所以 π , 值域为[ ?1, ) ∪ ( ,2] 2 2
4.设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx,

3 sin2x),x∈R. f(x)=1- 3 且 x∈[-

π
3



π
3

],则 x=



解:f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ 由 1+2sin(2x+ ∵-

π
6 6

). )=-

π
6

)=1- 3 ,得 sin(2x+

π

π
3

≤x≤

π
3

,∴-

π
2

≤2x+

π 5π


即 x=-

π
4

6

6

,∴2x+

π

3 . 2
=-

π
3

6



.

5

5.已知点 A(1, -2),若向量 AB 与 a =(2,3)同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标为 解:∵向量 AB 与 a ={2,3}同向, AB =2 13 (1,-2)+(4,6)=(5,4) ∴ AB =(4,6)∴B 点坐标为:

2 x ? 3 ? 2a ≤ 1 的解集为 x?a ? 2 x ? 3 ? 3a ? x ? (a + 3) ≤1 ? x?a ? x ? a ≤ 0① ? ? 解:原不等式等价于 ? ;移项,通分得 ? ? 2 x ? 3 ? 3a ≥ ?1 ? 3[ x ? (a + 1)] ≥ 0② ? x?a ? x?a ? ? 由已知 a > 0 ,所以解①得 a < x ≤ a + 3 ;解②得 x ≥ a + 1 或 x < a 故原不等式的解集为 {x | a + 1 ≤ x ≤ a + 3}
6.不等式 7. 已知| a |=4,| b |=3, a -3 b )·(2 a + b )=61,则 a 与 b 的夹角 θ= (2 解:∵(2 a -3 b )·(2 a + b )=61,∴ 4a ? 4a ? b ? 3b = 61. 又| a |=4,| b |=3,∴ a · b =-6.∴ cos θ = ∴θ=120°. 8.已知 x≥0,y≥0,则
2 2

.

1 =? , 2 | a |?|b|
x y + y x (比较大小)

a ?b

1 1 ( x + y) 2 + ( x + y) 2 4

可用特殊值法快速解答:令 x=y=0 和 x=0, y=1 可知道是大于或等于。 9.把函数 y=cosx- 3 sinx 的图象向左平移 m 个单位(m>0)所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的 最小值是 2π/3 。 解:由 y=cosx- 3 sinx 得 y=2cos(π/3+x)所以当 m=2π/3 时得 y=2cos(π+x)=2cosx 10. 已知二次项系数为正的二次函数 f (x ) 对任意 x ∈ R ,都有 f (1 ? x ) = f (1 + x ) 成立,设向量

解:设 f(x)的二次项系数为 m,由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 因 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数. ∵
2 r u r c ? d = (cos 2x , 1) ? (1 , 2) = cos 2 x + 2 ≥ 1 ,

r r r u r 1 a = (sinx,2) b = (2sinx, ) c = (cos2x,1) d = (1,2) , , , ,当 x ∈ [0, π ]时,不等式 2 r r r u r f( a ? b )>f( c ? d )的解集为 。
r r a ? b = (sin x , 2) ? (2 sin x , 1 ) = 2 sin 2 x + 1 ≥ 1 ,



> cos 2 x + 2 ? 1 ? cos 2 x + 1 > cos 2 x + 2 ? 2 cos 2 x < 0 ? cos 2 x < 0 3π , k ∈ Z . ∵ 0 ≤ x ≤ π , π ? 2kπ + < 2 x < 2kπ + 2 2 r r r u r π 3π .所以, f (a ? b) > f (c ? d ) 的解集是 π 3π ∴ <x< {x | < x < } ; 4 4 4 4

r r r u r 2 f (a ? b) > f (c ? d ) ? f (2 sin 2 x + 1) > f (cos 2 x + 1) ? 2 sin x + 1

填空题训练(3)
复习目标:本专题为常规题型,通过本专题的复习,旨在培养学生解答填空题的基本素养: 审题要仔细,要求要看清,书写要规范,小题要小(巧)做。 一、典型例题 其前 6 项和为 24, 则其首项 a1 为 例 1.等差数列 {a n } 的前 3 项和为 21, ; {︱ 数列 )

a n ︳}的前 9 项和等于
6

.

( 9 ; 41

例 2.数列 {an } 的前 n 项和 S n = n + 2n + 5 ,则 a6 + a7 + a8 =_________________。( 45 )
2

例 3. 设 x,y,z 为实数,2x,3y,4z 成等比数列,且 是 . (

1 1 1 x z , , 成等差数列,则 + 的值 x y z z x

5 2

)

例 4. 在一次投篮练习中,小王连投两次,设命题 p :“第一次投中”命题 q :“第二次投中”。试 用 p 、 q 和联接词“或、且、非”表示命题“两次恰有一次投中”。______________________ (

pq 或 pq )
.; f (x ) 的最小

例 5.设函数 f (x ) = 2 log 2 ( x + 1) ? log 2 x ,则 f (x ) 的定义域是 值是 . ( 例 6.已知 a >1,0<x<1,且 a
log b (1? x )

{x x > 0} ;

2 ) . (0 ,1)

>1,那么 b 的取值范围是

?1 ? 2 x ? 1( x ≥ 0), ? 例 7.设函数 f ( x ) = ? 若f (a ) > a. 则实数 a 的取值范围是 . ?1 ( x < 0). ?x ? ( ( ?∞,?1) ) 例 8.若函数 y = f (x ) 的定义域为 R,且满足下列三个条件: (1) 对于任意的 x ∈ R ,都有 f ( x + 4) = f ( x ) ; (2) 对于 [0,2] 内任意 x1 , x 2 ,若 x1 < x 2 ,则有 f ( x1 ) < f ( x 2 ) ; (3) 函数 y = f ( x ) 的图象关于 y 轴对称, 则 f ( 4.5) , f (6.5), f (7) 的大小顺序是 ( f ( 4.5) 〈 f (7) 〈 f (6.5) 〉 例 9.已知函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称,函数 h( x ) 的反函数是 g ( x ? 2) ,如果
f (3) = 7 ,则 h(3) 的值为
。 ( 9 )

例 10.等差数列 {a n } 的前项和为 Sn ,且 a 4 ? a 2 = 8 , a 3 + a5 = 26 .记 Tn = 使得对一切正整数 n, Tn ≤ M 都成立.则 M 的最小值是 作业: .

Sn ,如果存在正整数 M, n2
( 2 )

1.已知数列 {an } 的通项公式 an = 11 ? 2n ,则 a1 + a2 + a3 + L + a20 = _________________。 ( 250 ) 2. 若 互 不 相 等 的 实 数 a 、 b 、 c 成 等 差 数 列 , a 、 c 、 b 成 等 比 数 列 , 则 a : b : 4:1: ?2 ) (
2
?

c =_________________。
2

(

) ( 33 )

4. 设数列 {a n } 的通项公式为 a n = n + λ n(n ∈ N ) 且 {a n } 满足 a1 < a 2 < a3 <…< a n < a n +1 <…,则实数 λ 的取值范围是
2

3. 若 s n 是数列 {a n } 的前 n 项的和, S n = n ,则 a 5 + a 6 + a 7 = . (

λ >-3 )

5. 函 数 f ( x ) = a + log a ( x + 1)在[0,1] 上 的 最 大 值 和 最 小 值 之 和 为 a , 则 a 的 值 为

7

1 ) 2 2 6.已知 A = {x | x < 1} , B = {x | x ? ( a + 2) x + 2a ≤ 0} ,且 A U B = {x | x ≤ 2} ,则 a 的取值范
________________ ( 围是_______________。 ( ( ?∞,1] )

7.已知 a>0,b>0,a、b 的等差中项是 是 8.函数 y = 2 ?
2

1 1 1 ,且 α = a + , β = b + 则 α + β 的最小值 2 a b


.



5 )

x ? 9 ( x ≤ ?3 )的反函数是


y = ? x 2 ? 4 x + 13 ( x ≤ 2) ) 9. 已知函数 y = f (x ) 是奇函数, x ≥ 0 时, f ( x ) = 3 x + 1 , f (x ) 的反函数是 y=g(x), g(- 当 设 则
. ( -3 ) 8)= 2 10.在函数 f ( x ) = ax + bx + c 中,若 a,b,c 成等比数列且 f ( 0) = ?4 ,则 f ( x ) 有最______ 值(填“大”或“小”) ,且该值为______ ( 大 , -3 ) 备用题 1、 在项数为 2n + 1 的等差数列中, 所有奇数项和为 165, 所有偶数项和为 150, n =___________ 则
新疆 奎屯

王新敞

答:10 2、等差数列的前 15 项的和为 ?67 ,前 45 项的和为 405,则前 30 项的和为___________ 答:68 3、 设等差数列 {an } 的公差为 d ≠ 0 , a1 、a2 、a9 成等比数列, 又 则 答:

a1 + a3 + a9 =____________ a2 + a4 + a10

7 9

4、已知数列 {an } , an = 别为_________ 答: a10 , a9 5、已知数列 {an } , an = 为__________ 答:99

n ? 98 (n ∈ N + ) ,则在数列 {an } 的前 30 项中 ,最大项和最小项分 n ? 99

1

n + n +1

( n ∈ N + ) ,且数列 {an } 的前 n 项和为 sn = 9 ,那么 n 的值

6、等差数列 {an } 中, S 20 =180,则 a5 + a10 + a11 + a16 =_______________。答:36 7 、 等 差 数 列

{an }

中 ,

a1 + a2 + L + a60 = 600 , 公 差 d = 2 , 则

a1 + a4 + a7 + L + a58 = _________________。
答:160 已知 a3 = 12,S12 > 0 ,S13 < 0 , S1 ,S2 , ,S12 中, 则 L 8、 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,
8

_________________最大。 答: S6 9、关于数列有下面四个判断:

①若 a 、 b 、 c 、 d 成等比数列,则 a + b 、 b + c 、 c + d 也成等比数列; ②若数列 {an } 既是等差数列,又是等比数列,则 {an } 是常数列; ③若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = a n ? 1(a ∈ R ) ,则 {an } 为等差或等比数列; ④若数列 {an } 为等差数列,公差不为零,则数列 {an } 中不含有 am = an (m ≠ n) ;
其中正确判断的序号是_____________ 答:② ④ 10、 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 如果对于任意 x1 ∈ D , 存在唯一 x2 ∈ D , 使

f ( x1 ) + f ( x2 ) =C 2

( C 为 常 数 ) 成 立 , 则 称 y = f ( x) 在 D 的 均 值 为 C 。 给 出 下 列 四 个 函 数 : ① y = x 3 ② y = 4sin x ③ y = lg x ④ y = 2 x , 则满足在其定义域上均值为 2 的函数的序号是 ____________ 答:①③ 11、不等式 x > ax + 答: a =

3 的解集为 (4, b) ,则 a = ______ b = ______ 2

1 8

b = 36
( a + 3)

12、设集合 A = {5, log 2 答: {5,1, 2}

}, B = {a, b} ,若 A I B = 2 ,则 A U B = ____________。

13、若函数 f ( x ) = x 2 + bx + c 对任意实数 t ,都有 f (3 + t ) = f (3 ? t ) 。则 f (0), f (3), f (4) 的 大小关系是______________ 答: f (3) < f (4) < f (0)
14、已知偶函数 f ( x ) 在 x > 0 时有 f ( x ) = x +

4 ,则在区间 [ ?3, ?1] 内 f ( x ) 的最大值与最小值 x

之差等于_______________ 答:1
15、不等式

ax < 1 的解集是 {x | x < 1 或 x > 2} ,则 a = _________。 x ?1

答:

1 2

9

填空题( ) 集合、逻辑、函数、数列、导数) 填空题(4) 集合、逻辑、函数、数列、导数) (
复习目标:本专题主要为新颖填空题和导数部分,通过本专题的复习,旨在培养学生的阅 读能力、数形结合和运用数学知识解决实际问题的能力以及一些非常规问题的解法。 典型例题
2 例 1.已知下列四个函数:(1) y = 1 ? x ; (2) y = log 1 ( x + 2) ; (3) y =
2

1 ? 2 ; (4) y = 3 ? 2 x +1 其 x +1

中图象不经过第一象限的函数有 ( (2)(3) ) , 例 2.设集合 M =

(注:把你认为符合条件的函数的序号都填上)

{( x, y) x + y
2

2

= 1, x ∈ R, y ∈ R , N = ( x, y ) x2 ? y = 0, x ∈ R, y ∈ R , 则集合
. ( 2 )

}

{

}

M I N 中元素的个数为
例 3. 定 义 在

R

上 的 函 数

f ( x) 满 足
( 7 )

1 1 f ( + x) + f ( ? x) = 2 , 则 2 2

1 2 7 f ( ) + f ( ) + L + f ( ) = ____________。 8 8 8
4

例 4. 已 知 函 数 y = log 1 x与y = kx 的 图 象 有 公 共 点 A , 且 点 A 的 横 坐 标 为 2 , 则

k=

.



?

1 4



例 5.给出下面四个命题: (1) 若 f ( x ) = (1 ? x ) ,则 f ( x) = 2(1 ? x ) ;
2 '

(2) 函数 f ( x ) = lg( x 2 ? 1) 的值域为 R ; (3) 数列 a, a , a , L , a 一定为等比数列; (4) 两个非零向量 a = ( x1 , y1 ), b = ( x 2 , y 2 ) ,若 a ∥ b ,则 x1 y 2 ? x 2 y1 = 0 . ( (2)(4) ) , 其中正确的命题有 例 6.曲线 y = ?
2 3

n

1 3 5 3π x ? 2 在点( ? 1,? )处的切线的倾斜角是 . ( ) 3 3 4 例 7.若函数 f ( x ) = kx 3 + 3( k ? 1) x 2 ? k 2 + 1, ( k > 0) 的单调递减区间是(0 ,4) ,则 k 的值 1 是 . ( ) 3 ?1 ? 例 8.设 x ∈ R , [x ] 表示不大于 x 的最大整数,如 [π ] = 3 , [? 1.2] = ?2 , ? ? = 0 ,则使 ?2? 2 x ? 1 = 3 成立 x 的取值范围是 . ( ? 5, 2 ∪ 2,5 ? )

[

]

(

] [

)

例 9.已知 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a 6 , a 7 , a8 为各项都大于零的数列,命题①: a1 , a 2 , a3 ,

a 4 , a5 , a 6 , a 7 , a8 不 是 等 比 数 列 ; 命 题 ② : a1 + a8 < a 4 + a5 则 命 题 ② 是 命 题 ①
的 .条件。 ( 充分不必要 ) 例 10.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这 个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 {a n } 是等和数列,且 a1 = 2 ,公和为 5,那么 a18 的值为______________,这个数

10

? 5n ? 2 (n为偶数) ? 列的前 n 项和 S n 的计算公式为________________ (3, S n = ? ) 5 ?(n ? 1) + 2(n为奇数) ? 2 ?
作业: 1. 一张厚度为 0.1mm 的矩形纸,每次将此纸沿对边中点连线对折,一共折叠 20 次(假定这样的 折 叠 是 可 以 完 成 的 ) 这 样 折 叠 后 纸 的 总 厚 度 h1 与 一 座 塔 的 高 度 h2 =100m 的 大 小 关 系 , 为 . ( > ) 2.删去正整数数列 1、2、3、4…中所有能被 100 整除的数的项,得到一个新数列,则这个新数列 的第 2005 项是 . ( 2025 ) 3. 对任意实数 x、y,定义运算 x*y=ax+by+cxy,其中 a、b、c 为常实数,等号右边的运算是通常 意义的加、 乘运算。 现已知 1*2=3, 2*3=4, 且有一个非零实数 m, 使得对任意实数 x, 都有 x*m=x, . ( 4 ) 则 m= 4. 函数 y = x 4 ? 4 x 3 + 1 的极值是 . ( 极小值-26 ) (1 或 5. 若直线 y = x 是曲线 y = x 3 ? 3 x 2 + ax 的切线,则 a 6. 已知曲线 c : y = x ? x +
3

13 ) 4
.



3x + 3 y ? 2 = 0

2 2 及点 Ρ (0, ) ,则过点 P 的曲线 c 的切线方程是 3 3



? ? x = 2 cos θ , ( 0 ≤ θ ≤ 2π ) ? ,集合 B = ( x, y ) ( x ? 3) 2 + ( y ? 4) 2 = r 2 . ? y = 2sin θ ? ? ? 若 A ∩ B 中有且只有一个元素,则正数 r 的取值范围是 ( 3或7 ) 8. 如果函数 y = ( x + 1)(1 ? x ) 的图象在 x 轴上方,那么该函数的定义域可以是 ( ( ? ∞, 1 ∪ ? 1, 的任一子集 ) ? ) ( 1) 9.已知函数 y = f ( x ) 的反函数为 y = 1 + log a (1 ? x ) ( a > 0, 且a ≠ 1 ),则函数 y = f ( x ) 的图象必
7. 设集合 A = ?( x, y ) ?

? ?

{

}

过定点 10. 设 f 是 备用题
?1

. . (

( (1,0) )

( x) 是 函 数 f(x)= ≥

x 的反函数,则 f


?1

( x) 与 g ( x ) = 2 x ? 1 的 大 小 关 系

? 1 ( x > 0) ? 1. 定 义 符 号 函 数 sgn x = ? 0 ( x = 0) , 则 不 等 式 ( x + 2) > (2 x ? 1)sgn x 的 解 集 是 ??1 ( x < 0) ?
________________ 答: ( ?

3 + 33 , 3) 4
3

2. 如 果 f ( x ) = x ? __________ 答: ?

3 2 x + a 在 [?1,1] 上 的 最 大 值 是 2 , 那 么 f ( x) 在 [?1,1] 上 的 最 小 值 是 2

1 2

3.将正奇数按下表排成 5 列
11

第1列 第1行 第2行 第3行 15

第2列 1 13 17

第3列 3 11 19

第4列 5 9 21

第5列 7

23

K

K

K

K

K

K

那么,2005 应在

第______行______列。 答: 251 行第 4 列 4. 若数列 {an } ( n ∈ N + ) 是等差数列,则有数列 bn =

a1 + a2 + L + an ( n ∈ N + ) 也为等差数列, n

类 比 上 述 性 质 , 相 应 的 , 若 数 列 {cn } 是 等 比 数 列 , 且 cn > 0

( n ∈ N+ ) , 则 有

d n = ____________ ( n ∈ N + ) 也是等比数列。
答: d n =
n

c1c2 L cn

5.从 2001 年到 2004 年间,王先生每年 7 月 1 日都到银行存入 a 元的一年定期储蓄,准备为孩子 读大学用。若年利率为 g (扣税后)保持不变,且每年到期的存款本息自动转为新的一年的 定期,到 2005 年 7 月 1 日,其不再去银行存款,而将所有存款本息取回,则取回的总金额 是______________ 答:

a(1 + g )5 ? a(1 + g ) g

6.某林场去年年底木材存量为 a (立方米) ,若森林以每年 25%的增长率生长,每年冬天要砍伐 的 木 材 量 为 x ( 立 方 米 ) 设 经 过 n 年 林 场 木 材 的 存 量 为 f ( n) ( n ∈ N + ) , 则 ,

f (n) =_____________
答: ? 7.

?5? ?5? ? a + 4x ? 4 ? ? x ?4? ?4?

n

n

2000 年某内河可供船只航行的河流段长为 1000 千米,由于水资源的过度使用,促使河水断 流。从 2000 起该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 可供船只行驶的河段长度为___________ 答: ( ) × 1000 =
9

2 ,则到 2009 年,该内河 3

2 3

512000 ≈ 26 19683

三角函数专题
12

第一课时

3 3π π (? < α < ? ),求 cos α的值。 , 5 4 2 3π π 3π < α < ? ,所以 ? < 2α < ?π, 解: 因为 ? 4 2 2 4 3π π 所以 cos 2α = 1 ? sin 2 2α = ? ,又因为 ? <α < ? , 5 4 2 1 + cos 2α 10 所以 cos α = ? 。 =? 2 10
例 1.已知 sin 2α = 例 2.已知 sin(

5 π 3π 1 ? tan x ,且x ∈ ( , ),求 的值。 4 13 4 4 1 + tan x π 5 π 3π π π 解: 因为 sin( + x ) = ,且x ∈ ( , ),所以 < x + < π, 4 13 4 4 2 4 π 12 所以 cos( + x) = ? , 4 13 π tan ? tan x 1 ? tan x π π 12 4 所以 = = tan( ? x) = cot( + x) = ? 。 π 1 + tan x 1 + tan tan x 4 4 5 4 + x) =

π

2 ,α ∈ (0,π ),求 sin α、 α及 sin 3 α + cos 3 α的值。 cos 3 2 5 解: 因为 sin α + cos α = L (1)平方得 sin α cos α = ? ,又因为α ∈ (0,π ), 3 18 2 + 14 2 ? 14 所以 sin α > 0 > cos α,由此可解得 sin α = , α= cos , 6 6 23 sin 3 α + cos 3 α = (sin α + cos α )(sin 2 α ? sin α cos α + cos 2 α ) = L = 。 27
例 3.已知 sin α + cos α = 例 4.已知 cos(

3 3π π π ?α) = , ? < α < ? ,求 cos(2α ? )的值。 4 5 2 2 4 π 7 3π π 2 π 解: cos 2(α ? ) = 2 cos ( ? α ) ? 1 = ? ,因为 ? <α < ? , 4 4 25 2 2 π 3 7π π 3π π 4 且 cos( ? α ) = > 0, ? < α ? < ? ,从而 sin(α ? ) = , 4 5 4 4 4 4 5 π π π 24 所以 sin 2(α ? ) = 2 sin(α ? ) cos(α ? ) = , 4 4 4 25 π π π 2 π π 31 cos(2α ? ) = cos[2(α ? ) + ] = [cos 2(α ? ) ? sin 2(α ? )] = L = ? 2。 4 4 4 2 4 4 50

π

备用题 1.

已知 sin 2 θ (1 + cot θ ) + cos 2 θ (1 + tan θ ) = 2,θ ∈ (0,π )。 tan θ 的值。 2 求
解:由已知 sin 2 θ (1 + cot θ ) + cos 2 θ (1 + tan θ ) = 2,θ ∈ (0, ) 得 2π

sin 2 θ + sin 2 θ cot θ + cos 2 θ + cos 2 θ tan θ = 2, 即
13

sin 2 θ cot θ + cos 2 θ tan θ = sin 2 θ + cos 2 θ, 2 2 两边同时除以 cos θ 得 tan θ ? 2 tan θ + 1 = 0 ,∴ tan θ = 1 。 (本题也可以进行切割化弦,进而求 tan θ 的值。)
备用题 2.

已知0° < α < β < 90°,且 sin α , sin β 是方程x 2 ? ( 2 cos 40°) x + cos 40° ?

求 cos(2α ? β )的值。
解:由题设知,

1 = 0的两根, 2

1 sin α < sin β ,因为方程的? = 2 cos 2 40° ? 4(cos 2 40° ? ) = 2 sin 2 40° , 2
由求根公式,

2 (cos 40° ? sin 40°) = sin(45° ? 40°) = sin 5°, 0° < α < 90°,所以α = 5°, 又 2 2 sin β = (cos 40° + sin 40°) = sin( 45° + 40°) = sin 85°, 0° < β < 90°,所以β = 85°, 又 2 6? 2 所以 cos(2α ? β ) = cos(?75°) = cos 75° = 。 4 sin α = 3 5 < β < π, α = , α + β ) = ,求 sin α和 cos β 的值。 cos sin( 2 5 13 3 π 4 2 解: 因为 cos α = , < α < ,所以 sin α = 1 ? cos α = , 0 5 2 5 π π 3π 5 又因为 < α < < β < π,所以 < α + β < ,因为sin(α + β ) = > 0, 0 2 2 2 13 12 所以 cos(α + β ) = ? 1 ? sin 2 (α + β ) = ? , 13 16 cos β = cos[(α + β ) ? α ] = cos(α + β ) cos α + sin(α + β ) sin α = L = ? 。 65
作业 1.已知0 < α < 作业 2.已知 tan α = 2,求 cos( 解: cos(

π

π

2

? 2α ) + cos 2α的值。

π ? 2α ) + cos 2α = sin 2α + cos 2α = cos 2 α + 2sin α cos α ? sin 2 α 2 cos 2 α + 2sin α cos α ? sin 2 α 1 + 2 tan α ? tan 2 α 1 = = =L= 。 2 2 2 cos α + sin α 1 + tan α 5

sin θ cos θ + 的值。 1 ? cot θ 1 ? tan θ sin θ cos θ sin 2 θ cos 2 θ sin 2 θ ? cos 2 θ 解: + = + = 1 ? cot θ 1 ? tan θ sin θ ? cos θ cos θ ? sin θ sin θ ? cos θ 3 +1 = sin θ + cos θ = 。 2 若 sin θ, θ是方程2 x 2 ? ( 3 + 1) x + m = 0的两根,求 cos

作业 3.

14

作业 4.已知 cos(α ?

β
2

)=?

的值; ) tan(α + β )的值。 (2 2 π π π β π α π 解:(1)因为 < α < π, < β < ,所以 < α ? < π, < ? β < , 0 ? 2 2 4 2 4 2 2 β β α α 21 3 所以 sin(α ? ) = 1 ? cos 2 (α ? ) = , cos( ? β ) = 1 ? sin 2 ( ? β ) = , 2 2 7 2 2 2 α +β β α 又因为 = (α ? ) ? ( ? β ), 2 2 2 α+β β α β α β α 所以 cos = cos[(α ? ) ? ( ? β )] = cos(α ? ) cos( ? β ) + sin(α ? ) sin( ? β ) 2 2 2 2 2 2 2 21 =L= ? 。 14 π α + β 3π α +β α +β 5 7 (2) 因为 < < ,所以 sin = 1 ? cos 2 = , 4 2 4 2 2 14 α +β 2 tan 5 3 5 3 α +β 2 所以 tan =L= ? , α + β) = tan( =L= 。 11 2 3 2 α +β 1 ? tan 2 求:) cos (1

α +β

2 7 α 1 π π , sin( ? β ) = ,且 < α < π, < β < , 0 7 2 2 2 2

第二课时 例 1.已知 tan α = , β = , α,β 为锐角,试求 α + 2 β 的值。 tan 且 解: tan α =

1 7

1 3

1 1 < 1, β = < 1, α,β 为锐角,所以 tan 且 7 3
15

π π 3π 2 tan β 3 0 < α < ,< β < ,< α + 2β < , 2β = 0 0 tan = , 2 4 4 4 1 ? tan β 4 tan α + tan 2 β π tan(α + 2 β ) = = L = 1 ,所以 α + 2 β = 。 1 ? tan α ? tan 2 β 4 2(3 + cos 4 x) 2 2 例 2.求证: tan x + cot x = 。 1 ? cos 4 x sin 2 x cos 2 x sin 4 x + cos 4 x (sin 2 x + cos 2 x) 2 ? 2 sin 2 x cos 2 x 证明:左边= + = = 1 2 cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 4 1 1 ? sin 2 2 x 8 ? 4sin 2 2 x 4 + 4 cos 2 2 x 4 + 2(1 + cos 4 x) 2 = = = = 1 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x (1 ? cos 4 x) 8 2(3 + cos 4 x) = =右边,原式得证。 1 ? cos 4 x 2 例 3.求函数 y = 1 + sin x + cos x + (sin x + cos x) 的值域。 π 解:设 t = sin x + cos x = 2 sin( x + ) ∈ [ ? 2, 2] ,则原函数可化为 4 1 3 y = t 2 + t + 1 = (t + ) 2 + ,因为 t ∈ [? 2, 2] ,所以 2 4 1 3 当 t = 2 时, ymax = 3 + 2 ,当 t = ? 时, ymin = , 2 4 3 所以,函数的值域为 y ∈ [ ,+ 2] 。 3 4 例 4.已知 y = a sin x + b 的最大值为 3,最小值为-1,求 a,b 的值。 ?a + b = 3 ?a = 2 ? ? a + b = 3 ? a = ?2 解:当 a > 0 时,由 ? 得? ,当 a < 0 时,由 ? 得? , ?? a + b = ?1 ?b = 1 ?a + b = ?1 ?b = 1 所以, a = ±2,b = 1 。 1 1 备用题 1.已知 tan(α ? β ) = , β = ? ,且α,β ∈ (0,π ), 2α ? β 的值。 tan 求 2 7 tan 2(α ? β ) + tan β 解: tan(2α ? β ) = tan[2(α ? β ) + β ] = , 1 ? tan 2(α ? β ) ? tan β 4 1 ? 2 tan(α ? β ) 4 又 tan 2(α ? β ) = = L = , tan(2α ? β ) = 3 7 = 1 , 4 1 1 ? tan 2 (α ? β ) 3 1+ ? 3 7 tan(α ? β ) + tan β 1 π 而 tan α = tan[(α ? β ) + β ] = = L = , α,β ∈ (0,π ), 所以 0 < α < , 1 ? tan(α ? β ) ? tan β 3 4 1 π 3π 所以 tan β = ? ,所以 < β < π, π < 2α ? β < 0,所以2α ? β = ? ? 。 7 2 4
备用题 2.已知 2 tan 2 β = tan α + tan β, 求证: | tan(α ? β ) |≤ 1 。 证明: 2 tan 2 β = tan α + tan β, 所以

16

4 tan β tan β (3 + tan 2 β ) ? tan β = , 1- tan 2 β 1 ? tan 2 β tan β (3 + tan 2 β ) ? tan β tan α ? tan β 2 tan β (1 + tan 2 β ) 1- tan 2 β 所以, tan(α ? β ) = = = tan β (3 + tan 2 β ) 1 + tan α ? tan β (1 + tan 2 β )2 1? ? tan β 1- tan 2 β sin β 2 2 tan β cos β = = = sin 2 β 2 sin 2 β 1 + tan β 1+ cos 2 β , 又 | sin 2 β |≤ 1 所以 | tan(α ? β ) |≤ 1 。 作业 1.已知 α,β 都是锐角,且 3sin 2 α + 2sin 2 β = 1 3sin 2α ? 2sin 2 β = 0, α + 2 β 。 , 求 3 2 解:由题意, 3sin α = cos 2 β, sin 2α = sin 2 β, 2 3 2 所以 cos(α + 2 β ) = cos α cos 2 β ? sin α sin 2 β = cos α3sin α ? sin α sin 2α 2 3π = cos α3sin 2 α ? 3sin α sin α cos α = 0 ,又因为 α,β 都是锐角,所以 0 < α + 2 β < , 2 π 所以, α + 2 β = 。(也可以用 sin(α + 2 β ) 、 tan(α + 2 β ) 来求) 2 tan α = 2 tan 2 β ? tan β =
作业 2.求函数 y = sin x ? cos x + sin x cos x 的值域。

π 1? t2 解:设 t = sin x ? cos x = 2 sin( x ? ) ∈ [ ? 2, 2] ,则 sin x cos x = , 4 2 t2 1 1 2 原函数可化为 y = ? + t + = ? (t ? 1) + 1 2 2 2 1 1 当 t=1 时, ymax = 1 ,当 t = ? 2 时, ymin = ? ? 2 ,所以,函数值域为 y ∈ [? ? 2, 。 1] 2 2 3sin x ? 1 的最大值与最小值。 sin x + 2 3sin x ? 1 7 7 2 解: f ( x) = = 3? ,当 sin x = 1 时, f ( x ) max = 3 ? = , sin x + 2 sin x + 2 1+ 2 3 7 当 sin x = ?1 时, f ( x ) min = 3 ? = ?4 。 ?1 + 2
作业 3.求函数 f ( x) =

sin β sin(2α + β ) = ? 2 cos(α + β ) 。 sin α sin α sin(2α + β ) sin[(α + β ) + α ] ? 2 cos(α + β ) sin α 证明: ? 2 cos(α + β ) = sin α sin α sin(α + β ) cos α ? cos(α + β ) sin α sin[(α + β ) ? α ] sin β = = = , sin α sin α sin α
作业 4.求证: 所以,左边=右边,原式得证。

17

第三课时 例 1.求函数 f ( x ) = 5 3 cos x + 3 sin x ? 4sin x cos x (
2 2

π 7π ≤ x ≤ ) 的最小值,并求其单调 4 24

区间。

π 7π ≤x≤ ) 4 24 π = 3 3 ? 2 sin 2 x + 2 3 cos 2 x = 3 3 ? 4 sin(2 x ? ) 3 π 7π π π π π 1 2 因为 ≤ x ≤ ,所以 ≤ 2 x ? ≤ ,所以 sin(2 x ? ) ∈ [ , ] , 4 24 6 4 4 3 2 2 π π 7π 所以,当 2 x ? = , x = 即 时, f ( x ) 的最小值为 3 3 ? 2 2 , 3 4 24 π π 7π π 7π 因为 y = sin(2 x ? ) 在[ , ] 是单调递增的,所以 f ( x ) 在[ , ] 上单调递增。 3 4 24 4 24 2 例 2.已知函数 f ( x) = 4 sin x + 2sin 2 x ? 2,x ∈ R 。 (1) 求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; π (2) 证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x = ? 对称。 8 2 解: f ( x) = 4 sin x + 2 sin 2 x ? 2 = 2sin x ? 2(1 ? 2 sin 2 x) π = 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x = 2 2 sin(2 x ? ) 4 (1)所以 f ( x) 的最小正周期 T = π ,因为 x ∈ R , π π 3π 时, f ( x ) 最大值为 2 2 ; 所以,当 2 x ? = 2kπ + ,即 x = kπ + 4 2 8 π (2) 证 明 : 欲 证 明 函 数 f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x = ? 对 称 , 只 要 证 明 对 任 意 x ∈ R , 有 8 π π f (? ? x) = f (? + x) 成立, 8 8 π π π π 因为 f ( ? ? x ) = 2 2 sin[2( ? ? x ) ? ] = 2 2 sin( ? ? 2 x ) = ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? + x) = 2 2 sin[2(? + x) ? ] = 2 2 sin(? + 2 x) = ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f ( ? ? x ) = f ( ? + x ) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = ? 对称。 8 8 8 π 例 3. 已知函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + a , x ∈ [0, ] , | f ( x) |< 4 , a 的取值范围。 若 且 求 2 π 2 解: f ( x ) = 2 cos x + 3 sin 2 x + a = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x + a = 2 sin(2 x + ) + a + 1 ,因为 6 π π π 7π 1 π x ∈ [0, ] ,所以 ≤ 2 x + ≤ ,所以 ? ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 , 2 6 6 6 2 6
解: f ( x ) = 5 3 cos x + 3 sin x ? 4sin x cos x (
2 2

18

所以 a ≤ f ( x) ≤ a + 3 ,而 | f ( x) |< 4 ,即 ?4 < f ( x ) < 4 ,

? a > ?4 ,解得: ?4 < a < 1 ,所以 a 的取值范围是 (?4,1) 。 ?a + 3 < 4 π 2 例 4.已知函数 f ( x ) = 2 cos x sin( x + ) ? 3 sin x + sin x cos x 。 3 (1) 求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 求 f ( x ) 的最小值及取得最小值时相应的 x 值; π 7π ?1 (3) 若当 x ∈ [ , ] 时,求 f (1) 的值。 12 12 π 2 解: f ( x ) = 2 cos x sin( x + ) ? 3 sin x + sin x cos x 3 = cos x sin x + 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x + sin x cos x π = sin 2 x + 3 cos 2 x = 2sin(2 x + ) 3 (1) 由上可知, f ( x ) 得最小正周期为 T = π ; π π 5π (2) 当 2 x + = 2kπ ? ,即 x = kπ ? ,k ∈ Z 时, f ( x ) 得最小值为-2; 3 2 12 π 7π π π 3π π ,令 2 sin(2 x + ) = 1 , (3) 因为 x ∈ [ , ] ,所以 ≤ 2 x + ≤ 12 12 2 3 2 3 π π ?1 所以 x = ,所以 f (1) = 。 4 4
所以, ?

x x x cos + 3 cos 2 。 3 3 3 (1) 将 f ( x ) 写成含 A sin(ωx + φ)(ω > 0,0< φ < π ) 的形式,并求其对称中心;
备用题 1.已知函数 f ( x ) = sin (2) 如果三角形 ABC 的三边 a、、 满足 b2=ac, b c 且边 b 所对角为 x, 试求 x 的范围及此时函数 f ( x ) 的值域。

1 2x 3 2x 3 2x π 3 sin + cos + = sin( + ) + , 2 3 2 3 2 3 3 2 2x π 3k ? 1 3k ? 1 3 令 + = kπ,k ∈ Z 得 x = π, ∈ Z ) ,即对称中心为 ( (k π, ),k ∈ Z 3 3 2 2 2 2 2 2 a + c ?b 2ac ? ac 1 1 π (2)由 b2=ac, cos x = ≥ = ,所以 ≤ cos x < 1 ,即0 < x ≤ ,此 时 2ac 2ac 2 2 3 π 2 x π 5π 3 2x π < + ≤ ,所以 < sin( + ) ≤ 1 , 3 3 3 9 2 3 3 2x π 3 3 3 + )+ ≤ 1+ ,即 f ( x ) 值域为 ( 3,1+ ]。 所以 3 < sin( 3 3 2 2 2 备用题 2.已知函数 y = sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x,x ∈ R ,求
解:(1) f ( x ) = (1) 当 x 为何值时,函数有最大值?最大值为多少? (2) 求将函数的图像按向量 a = ( ? , 2) 平移后得到的函数解析式,并判断平移后函数的奇偶 ? 性。 解:(1) y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x= L = 2 sin(2 x +
2 2

r

π 8

π )+2, 4

19

π π = 2kπ ,即 x = kπ + 时, ymax = 2 + 2 ; 4 8 π π π r (2)按 a = ( ? , 2) 平移,即将函数 y = = 2 sin(2 x + ) + 2 的图像向左平移 单位,再向下平 ? 8 4 8
当 2x + 移 2 个单位得到所求函数的图像,所以得到解析式为

π π π y = = 2 sin[2( x + ) + ] + 2 ? 2 = 2 sin(2 x + ) = 2 cos 2 x , 8 4 2 由 2 cos 2( ? x ) = 2 cos 2 x ,所以平移后函数为偶函数。 3 2 作业 1.已知函数 y = 3 sin ωx cos ωx ? cos ωx+ , ∈ R,ω ∈ R ) 的最小正周期为 π ,且当 (x 2 π x = 时,函数有最小值,(1)求 f ( x) 的解析式;(2)求 f ( x) 的单调递增区间。 6 3 3 1 3 2 解:(1) y = 3 sin ωx cos ωx ? cos ωx+ = sin 2ωx ? (1 + cos 2ωx) + 2 2 2 2 π = sin(2ωx ? ) + 1 ,由题意 ω = ±1 , 6 π π π 当 ω = 1 时, f ( x ) = sin(2 x ? ) + 1 , f ( ) = sin + 1 ,不是最小值。 6 6 6 π π π 当 ω = ?1 时, f ( x ) = sin(?2 x ? ) + 1 , f ( ) = ? sin + 1 ,是最小值。 6 6 2 π π 所以 f ( x ) = sin( ?2 x ? ) + 1 = ? sin(2 x + ) + 1 ; 6 6 π π 3π (2)当 + 2kπ ≤ 2 x + ≤ + 2kπ , 2 6 2 π 2π 即 + kπ ≤ x ≤ + kπ,k ∈ Z 时,函数单调递增。 6 3 作业 2. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) = a sin ωx + b cos ωx, > 0,b > 0,ω > 0) 的最小正周期 (a π 为 π , f ( x ) ≤ 2 , f ( ) = 3 。(1)写出函数 f ( x ) 的解析式;(2)写出函数 f ( x ) 的单调递增区 4 间;(3)说明 f ( x ) 的图像如何由函数 y = 2sin x 的图像变换而来。 b 2 2 解:(1) f ( x ) = a sin ωx + b cos ωx = a + b sin(ωx + φ), φ = ,由题意, tan a π π ω = 2, a 2 + b 2 = 2,f ( x) = 2 sin(2 x + φ) ,代入 f ( ) = 3 ,有 2 sin(2 × + φ) = 3 ,所以 4 4 π π φ = , 即f ( x) = 2sin(2 x + ) ; 6 6 π π π π π (2) 当 ? + 2kπ ≤ 2 x + ≤ + 2kπ,即x ∈ [ kπ ? ,kπ + ],k ∈ Z ,函数单调增; 2 6 2 3 6 π (3) 将函数 y = 2sin x 的图像向左平移 单位,再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变, 6 1 横坐标缩短到原来的 倍,可得到函数 f ( x) 的图像。 2 作业 3.已知 2α + β = π ,求 y = cos β ? 6sin α 的最值。 解:因为 2α + β = π ,即 β = π ? 2α ,原函数化为
20

3 11 y = cos(π ? 2α ) ? 6sin α = 2 sin 2 α ? 6 sin α ? 1 = 2(sin α ? ) 2 ? , 2 2 当 sin α = ?1 时, ymax = 7 ,当 sin α = 1 时, ymin = ?5 。
作业 4.就三角函数 f ( x ) = sin x cos x + 义域外,请再写出三条。 解: f ( x ) = sin x cos x +

3 (sin x + cos x)(sin x ? cos x),x ∈ R 的性质,除定 2

3 π (sin x + cos x)(sin x ? cos x) = L = sin(2 x ? ) 2 3

a. 奇偶性:非奇非偶函数;

π 5π ,kπ + ],k ∈ Z 上为单调增函数, 12 12 5π 11π 在 [ kπ + ,kπ + ],k ∈ Z 上为单调减函数; 12 12 c. 周期性:最小正周期 T = π ; π d. 值域与最值:值域 [ ?11] ,当 x = kπ ? ,k ∈ Z 时, f ( x ) 取最小值 ?1 , , 12 5π 当 x = kπ + ,k ∈ Z 时, f ( x) 取最大值 1 ; 12 kπ 5π kπ π e.对称性:对称轴 x = + , ∈ Z ) ,对称中心 ( + ,, ∈ Z ) 。 (k 0) (k 2 12 2 6
b. 单调性:在 [ kπ ?

第四课时 例 1.在 ABC 中,角 A、B、C 满足的方程 x ? cos A cos Bx + 2sin
2 2

C = 0 的两根之和为两根 2

之积的一半,试判断 ABC 的形状。 解:由条件可知, cos A cos B = sin

C ,即 2 cos A cos B = 1 ? cos C ,因为 A + B + C = π ,所 2 以 2 cos A cos B = 1 + cos( A + B ) ,即 cos A cos B + sin A sin B = 1 ,所以 cos( A ? B ) = 1 ,所以 A=B,即 ABC 为等腰三角形。
2

21

例 2. 在 ABC 中, 、 、 分别是角 A、 、 的对边, a + c = b + ac,且a : c = ( 3 + 1) : 2 , a b c B C 若 求角 C 的值。
2 2 2

解: a + c ? b = ac ,所以 cos B =
2 2 2

a 2 + c2 ? b2 1 π 2π = ,所以 B = ,所以 A + C = ,又 2ac 2 3 3 a c 2π = ,所以 2 sin A = ( 3 + 1) sin C ,即 2 sin( ? C ) = ( 3 + 1) sin C , sin A sin C 3 π 得 tan C = 1 ,所以 C = 。 4
cos C 3a ? c = , cos B b

例 3.在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b = 4 2 ,且 a=c,求 ABC 的面积。

cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C = ,有 = , cos B b cos B sin B 即 sin B cos C = 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B + C ) = 3sin A cos B , 又因为 A + B + C = π , sin( B + C ) = sin A ,所以 sin A = 3sin A cos B ,因为 sin A ≠ 0 ,所以
解:(1)由正弦定理及

1 2 2 cos B = ,又 0 < B < π ,所以 sin B = 1 ? cos 2 B = 。 3 3 2 2 2 (2)在 ABC 中,由余弦定理可得 a + c ? ac = 32 ,又 a = c , 3 4 2 2 所以有 a = 32,即a = 24 ,所以 ABC 的面积为 3 1 1 S = ac sin B = a 2 sin B = 8 2 。 2 2
例 4.在 ABC 中,A、B、C 满足 A : B : C = 1: 2 : 2 ,求 1 ? cos A + cos B ? cos A cos B 的值。 解:由 A : B : C = 1: 2 : 2 ,且 A + B + C = π ,所以 A = 36°,B = C = 72° ,

1 ? cos A + cos B ? cos A cos B = (1 + cos B ) ? cos A(1 + cos B ) = (1 + cos B )(1 ? cos A) B A = 2 cos 2 2sin 2 = (2 cos 36° sin18°) 2 2 2 2 cos 36° sin18° cos18° cos 36° sin 36° sin 72° 1 2 cos 36° sin18° = = = = , cos18° cos18° 2 cos18° 2 1 2 1 所以 1 ? cos A + cos B ? cos A cos B = ( ) = 。 2 4

备用题 1.在 ABC 中,A、B、C 满足 cos B + sin C cos A = 0 , (1)用 tan A 表示 tan C ; (2)求角 B 的取值范围。 解:(1) 因为 A + B + C = π ,所以 cos B = ? cos( A + C ) ,由 cos B + sin C cos A = 0 , 得 ? cos A cos C + sin A sin C + sin C cos A = 0L (1),易知 cos A ≠ 0, C ≠ 0 , cos

π ,不合题意, 2 若 cos C = 0 ,则 sin C = 1 ,所以 cos B = ? cos A = cos(π ? A), A + B = π ,不合题意, 1 ; 对(1)式两边同除以 cos A cos C 得, ?1 + tan A tan C + tan A = 0, C = tan 1 + tan A
若 cos A = 0 ,则 cos B = 0 ,所以 A = B =
22

(2)因为 C 为 ABC 的一个内角,所以 sin C > 0 ,则由 cos B + sin C cos A = 0 , 知 cos B、 A 异号,若 cos A < 0, B > 0 ,则 A 为钝角,B 为锐角,此时 cos cos cos B = ? sin C cos A ≤ ? cos A = cos(π ? A) ,因为 B ≥ π ? A,A + B ≥ π ,不合题意; 则 tan B = ? tan( A + C ) = ?

tan A + tan C = L = ?(tan 2 A + tan A + 1) ,因为 A 为锐角,所以 1 ? tan A tan C π 3π tan A > 0 ,所以 tan B < ?1 ,所以 < B < 。 2 4 A 2 cos A 2 备用题 2.已知 A、B、C 是 ABC 的三个内角, y = tan + ,若任意交换 A 2 sin + cos B ? C 2 2 A π B+C = ? , 2 2 2

若 cos B < 0, A > 0 ,则 B 为钝角, A 为锐角, cos

两个角的位置,y 的值是否变化?证明你的结论。 证明:因为 A、B、C 是 ABC 的三个内角, A + B + C = π ,所以

A B+C 2sin A A 2 2 y = tan + = tan + A B?C B+C B ?C 2 sin + cos 2 cos + cos 2 2 2 2 B C B C 2(sin cos + cos sin ) A 2 2 2 2 = tan A + tan B + tan C , = tan + B C 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 2 cos
因此任意交换两个角的位置,y 的值不变。 作业 1.在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1) 求角 B 的大小;(2)若 b = 13,a + c = 4 ,求 a 的值。

cos B b =? , cos C 2a + c

cos B b cos B sin B =? 可化成 =? , cos C 2a + c cos C 2sin A + sin C 即 2sin A cos B + sin C cos B + cos C sin B = 0,得2s nA cos + s n ( B + C ) = 0 , i B i 因为 A + B + C = π ,所以 sin( B + C ) = sin A ,所以 2 sin A cos B + sin A = 0 , 1 2π 因为 sin A ≠ 0 ,所以 cos B = ? ,B 为三角形内角,所以 B = ; 2 3
解:(1)由正弦定理,条件 (也可以用余弦定理进行角化边完成) (2)将 b = 13,a + c = 4 , B =

2π 2 2 2 代入余弦定理 b = a + c ? 2ac cos B ,得 3 2π 13 = a 2 + (4 ? a )2 ? 2a (4 ? a ) cos ,整理得 a 2 ? 4a + 3 = 0 ,解得 a = 1或a = 3 。 3 3 tan A tan B ,且 sin A cos A =

作业 2.在 ABC 中, tan A + tan B + 3 = 形状。 解:因为 sin A cos A =

3 ,判断三角形 4

3 3 ,则 sin 2 A = ,则 A = 30°或60° , 4 2
23

又因为 tan A + tan B + 3 =

3 tan A tan B ,所以 tan( A + B ) =

A + B = 120° ,若 A = 30° ,则 B = 90° , tan B 无意义, 所以 A = 60°,B = 60° ,三角形为正三角形。
作业 3.在 ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan

tan A + tan B = ? 3 ,所以 1 ? tan A tan B

A C A C + tan + 3 tan tan 的值。 2 2 2 2 A C 解:因为 A、B、C 成等差数列,则 A + C = 120°,B = 60°, tan( + ) = 3 ,所以 2 2 A C A C A C A C A C tan + tan + 3 tan tan = tan( + )(1 ? tan tan ) + 3 tan tan = 3 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,A C = 2,AB = 3 , tan A 的值和三角形 ABC 面 求 作业 4. 在 ABC 中,sin A + cos A = 2
积。

2 π 1 π 5π 7π ,得 sin( A + ) = ,因为 0 < A < π,A + = ,A = , 2 4 2 4 6 12 7π π π = tan( + ) = L = ?(2 + 3) ,又因为 所以 tan A = tan 12 3 4 7π π π 6+ 2 sin A = sin = sin( + ) = L = , 12 3 4 4 1 1 6 + 2 3( 6 + 2) S ABC = AC ? AB sin A = × 2 × 3 × = 2 2 4 4
解:由 sin A + cos A =

第五课时 例 1.已知向量 a = (cos α, α ),b = (cos β, β ),a ? b |= sin sin |

2 5 , 5 π π 5 (1)求 cos(α ? β ) 的值;(2)若 0 < α < , < β < 0,且 sin β = ? ,求 sin α 的值。 ? 2 2 13 r r 解:(1)因为 a = (cos α, α ),b = (cos β, β ), sin sin r r 所以 a ? b = (cos α ? cos β, α ? sin β ), sin 2 5 r r 2 5 2 2 ,所以 (cos α ? cos β ) + (sin α ? sin β ) = , 又因为 | a ? b |= 5 5 4 3 即 2 ? 2 cos(α ? β ) = , α ? β ) = ; cos( 5 5 π π (2) 0 < α < , < β < 0, < α ? β < π , ? 0 2 2

r

r

r

r

24

又因为 cos(α ? β ) =

3 4 ,所以 sin(α ? β ) = , 5 5 5 12 63 sin β = ? ,所以 cos β = ,所以 sin α = sin[(α ? β ) + β ] = L = 。 13 13 65
r r r r
2

r r r r r y = ? ka + b ,且 x ? y = 0 , (1)求函数 k = f (t ) 的表达式; , (2)若 t ∈ [ ?1 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。 r2 r r r2 r r 解:(1) a = 4 , b = 1 , a ? b = 0 ,又 x ? y = 0 , r r2 r r r r r r2 r r 2 2 2 所以 x ? y = [ a + (t ? 3)b ] ? ( ? ka + b ) = ? ka + (t ? 3)b + [t ? k (t ? 3)]a ? b = 0 , 1 3 3 1 3 3 所以 k = t ? t ,即 k = f (t ) = t ? t ; 4 4 4 4 3 2 3 (2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t ? = 0 ,解得 t = ±1 ,列表如下: 4 4
t

例 2.已知向量 a = (2 cos α,2 sin α ),b = ( ? sin α, α ),x = a + (t ? 3)b, cos

r

f (t ) 导数 0 - f (t ) 极大值 递减 极小值 递增 1 1 9 9 1 而 f ( ?1) = ,f (1) = ? ,f (3) = , 所以 f (t ) max = ,f (t ) min = ? 。 2 2 2 2 2 r r 例 3.已知向量 a = ( m,n),b = (cos ωx, ωx ) ,其中 m,n,ω 是常数,且 ω > 0,x ∈ R , sin r π r 函数 y = f ( x) = a ? b 的周期为 π ,当 x = 时,函数取得最大值 1。 12 (1)求函数 y = f ( x) 的解析式; (2)写出 y = f ( x) 的对称轴,并证明之。 n r r 2 2 解:(1) f ( x) = a ? b = m cos ωx + n sin ωx = m + n sin(ωx + φ), φ = ) , (tan m π π 2 2 由周期为 π 且最大值为 1,所以 ω = 2, m + n = 1 由 f ( ) = 1 , ,得φ= , 12 3 π 所以 f ( x) = sin(2 x + ) ; 3 π π kπ π (2)由(1)知,令 2 x + = kπ + , ∈ Z ) ,解得对称轴方成为 x = (k + , ∈Z) , (k 3 2 2 12 kπ π π π π π f [2( + ) ? x] = f (kπ + ? x) = sin[2(kπ + ? x) + ] = L = sin(2 x + ) = f ( x) ,所以 2 12 6 6 3 3 kπ π x= + , ∈ Z ) 是 y = f ( x) 的对称轴。 (k 2 12 r r r r ( m?n ?1) 例 4. 已知向量 m = (2sin x, x),n = ( 3 cos x,cos x) , cos 2 定义函数 f ( x) = log a , > 1) 。 (a (1)求函数 y = f ( x) 的最小正周期; (2)确定函数 y = f ( x) 的单调区间。 π r r 2 解:(1) m ? n = 2 3 sin x cos x + 2 cos x = 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 = 2 sin(2 x + ) + 1 , 6
所以 f ( x) = log a
r r ( m?n ?1)

-1 0

(-1,1)

1

(1,3) +

= log a

π [2sin(2 x + )] 6

, > 1) ,所以最小正周期为 π ; (a
25

π π 5π ) > 0,有x ∈ (kπ ? ,kπ + ), ∈ Z ) , (k 6 12 12 π π 而 g ( x ) 在区间 x ∈ ( kπ ? ,kπ + ], ∈ Z ) 上单调递增, (k 12 6 π 5π 在区间 x ∈ [ kπ + ,kπ + ), ∈ Z ) 上单调递减, (k 6 12 π π (k 所以函数 y = f ( x) 在区间 x ∈ ( kπ ? ,kπ + ], ∈ Z ) 上单调递增, 12 6 π 5π 在区间 x ∈ [ kπ + ,kπ + ), ∈ Z ) 上单调递减。 (k 6 12 uuur uuu r uuur 5 uuu uuu uuur r r uuu uuur r 备用题 1.已知 | AC |= 5,AB |= 8, = | AD DB, ? AD = 0 ,(1)求 | AB ? AC | ; CD 11 4 π ? (2)设 ∠BAC = θ ,且已知 cos(θ + x ) = , π < x < ? ,求 sin x 。 5 4 uuur 5 uuu 5 r uuu uuur r 解:(1)由已知, | AD |= | AB|= ,且CD ? AD = 0, CD ⊥ AD , 即 16 2 1 所以 cos ∠BAC = L = ,由余弦定理 2 uuu uuur uuu r r 1 | AB ? AC |=| BC |= 52 + 82 ? 2 × 5 × 8 × = 7 ; 2 1 π π 4 π 3 (2)由(1), cos θ = ,θ = , θ + x ) = cos( + x ) = ,所以 sin( + x ) = ± , cos( 2 3 3 5 3 5 π 2π π π 而?π < x < ? , ? < +x< , 4 3 3 12 π π π π π 1 3 π 3 如果 0 < + x < , sin( + x ) < sin 则 < sin = < ,所以 sin( + x) = ? , 3 12 3 12 6 2 5 3 5 π π 3+ 4 3 此时 sin x = sin[( + x ) ? ] = L = ? 。 3 3 10 r r r sin sin ,, 备用题 2.已知向量 a = (1 + cos α, α ),b = (1 ? cos β, β ),c = (1 0) α ∈ (0,π ), r r π r r β ∈ (π,π ) , a与c 的夹角为 θ1 , b 与c 的夹角为 θ2 ,且 θ1 ? θ2 = ,求 α ? β 的值。 2 6 α π β π α β 解: α ∈ (0,π ), ∈ (π,π ) ,所以 ∈ (0, ), ∈ ( ,π ) ,所以 cos > 0, β 2 sin > 0 ,所以 2 2 2 2 2 2 r α β r | a |= (1 + cos α )2 + (sin α )2 = 2 cos ,b |= (1 ? cos β ) 2 + (sin β ) 2 = 2 sin , | 2 2 r r r r r 2 α 2 β 而 | c |= 1 ,又因为 a ? c = 1 + cos α = 2 cos ,b ? c = 1 ? cos β = 2sin , 2 2 r r r r a ?c α b ?c β α π α 所以 cos θ1 = r cos r = cos , θ2 = r r = sin ,又 ∈ (0, ) ,所以 θ1 = ,又因为 | a |?| c | 2 2 2 2 2 | b |?| c | β π β π π β β π β π ∈ ( ,π ) , 0 < ? < , cos θ2 = sin = cos( ? ) ,所以 θ2 = ? , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 π α β π π 2π θ1 ? θ2 = , ? ( ? ) = ,所以 α ? β = ? 。 6 2 2 2 uuu 6 3 r uuu r 2 OA = (2 cos x,, = (1 3 sin 2 x + a ), ∈ R, ∈ R,a 是常数), 1) OB , (x a 作业 1. 已知 0 为坐标原点,
(2)令 g ( x ) = 2sin(2 x +
26

若 y = OA ? OB , (1)求 y 关于 x 的函数解析式 f ( x ) ;

uuu uuu r r

π 2 uuu uuu r r 2 2 解:(1) y = OA ? OB = 2 cos x + 3 sin 2 x + a ,所以 f ( x ) = 2 cos x + 3 sin 2 x + a ; π 2 (2) f ( x ) = 2 cos x + 3 sin 2 x + a = cos 2 x + 3 sin 2 x + a + 1 = 2 sin(2 x + ) + a + 1 6 π π π π 令 2 x + = ,即x = ∈ [0, ] 时,f(x)的最大值为 3+a,解得 a=-1。 6 2 6 2 r r r r r r 1 cos sin 0) 作业 2.已知 a = (sin α, α ),b = (cos β, β ),b + c = (2 cos β,,a ? b = , 2 r r 1 a ? c = ,求 cos 2(α + β ) + tan α cot β 的值。 3 r r r 解:设 c = ( x,y ) , b + c = (cos β, β ) + ( x,y ) = (cos β + x, β + y ) = (2 cos β, ,所以 sin sin 0) r r r 1 r r 1 c = (cos β, sin β ) ,因为 a ? b = , ? c = , ? a 2 3 1 5 ? ? ?sin α cos β + cos α sin β = 2 ?sin α cos β = 12 ? ? 所以 ? ,所以 ? ,所以 tan α cot β = 5 , 1 1 ?sin α cos β ? cos α sin β = ?cos α sin β = ? ? 3 ? 12 ? 1 1 2 又因为 sin(α + β ) = , 2(α + β ) = 1 ? 2 sin (α + β ) = , cos 2 2 11 所以 cos 2(α + β ) + tan α cot β = 。 5 r 1 3 r r r r 作业 3.已知向量 a = ( 3, 1),b = ( , ),c = a + (sin 2α ? 2 cos α )b, ? 2 2 r 1 2 r π r r r d = ( sin 2α )a + (cos α )b,α ∈ (0, ) ,若 c ⊥ d ,求 cos α 的值。 4 2 r r r r r r r 2 r2 r r 解 : 由 已 知 得 a ? b = 0,a | = a = 4,b |2 = b 2 = 1 , 因 为 c ⊥ d , 所 以 c ? d = 0 , 即 | | r 1 r r r [a + (sin 2α ? 2 cos α )b ][( sin 2 2α )a + (cos α )b ] = 0 , 4 2 2 化 简 得 sin 2α + sin 2α cos α ? 2 cos α = 0 , ∴ (sin 2α + 2 cos α )(sin 2α ? cos α ) = 0 , 因 为
(2)若 x ∈ [0, ] 时,函数 f(x)的最大值为 2,求 a 的值。

π 1 3 α ∈ (0, ) ,所以 sin 2α = cos α ,所以 sin α = , α = cos 。 2 2 2 r r 作业 4.设平面内两个向量 a = (cos α, α ),b = (cos β, β ),0< α< β < π , sin sin r r r r (1)证明: (a + b ) ⊥ ( a ? b ) ; r r r r (2)若有 | ka + b |=| a ? kb | ,求 β ? α ( k ≠ 0,k ∈ R ) 的值。 r r r r (1)证明: a + b = (cos α + cos β, α + sin β ),a ? b = (cos α ? cos β, α ? sin β ) , sin sin r r r r r r r r 所以 ( a + b ) ? ( a ? b ) = L = 1 ? 1 = 0 ,所以 (a + b ) ⊥ ( a ? b ) ; r r r r r r r r (2)解: | ka + b |2 = ( ka + b ) 2 = k 2 a 2 + 2ka ? b + b 2 , r r r r r r r r r r r r | a ? kb |2 = (a ? kb ) 2 = a 2 ? 2ka ? b + k 2b 2 ,又因为 | ka + b |=| a ? kb | ,
27

所以 k a + 2ka ? b + b = a ? 2ka ? b + k b ,即 (k ? 1) a + 4ka ? b + (1 ? k )b = 0 ,又因为
2
2

r r r2 r2 r r 2 r2 r2 2 r r r r | a |=| b |= 1 a ? b = cos(α ? β ) ,所以 4k cos(α ? β ) = 0 , , r2

r r

r2

π π Q k ≠ 0,k ∈ R , 所以 cos(α ? β ) = 0 ,又 0< α< β < π ,则 α ? β = ? ,即 β ? α = 。 2 2

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