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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系_图文

2.1.2 空间中直线与直线之间

的位置关系

立交桥

六角螺母

D C A B
两条直线 既不平行 也不相交

1.理解空间两直线的位置关系,并掌握异面直线的
定义.(重点)

2.掌握平行公理、等角定理及其推论,并会应用它们
去解决简单问题.(重点)

3.理解异面直线所成角的定义,并会求两异面直线所
成的角. (难点)

一、空间两直线的位置关系
m P l′ l m

m′

图1

图2

从图中可见,直线 l 与 m 既不相交,也不平 行、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线.

1.异面直线 我们把不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异 面直线.(既不相交也不平行的两条直线)
注意: 分别在某两个平 面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能 相交,也可能平行.

注:概念应理解为:

“经过这两条直线无法作出一个平面” . 或 “不可能找到一个平面同时经过这两条直线”.

巩固练习
判断:
(1)
m

β

m

l

α

l

不是



直线m和l是异面直线吗?

(2) a ? ? , b ? ? ,则 a与b是异面直线. 错
(3)a,b不同在平面α 内,则a与b是异面直线. 错

异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任 何一个平面内的特点

巩固练习

下图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正 方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线 是异面直线的有几对?
C
G D

A

解:三对
B

AB与CD
AB与GH EF与GH

H

E F

空间两条直线的位置关系 ①从有无公共点的角度 有且仅有一个公共点——相交直线 平行直线 没有公共点——

②从是否共面的角度

异面直线

不同在任何一个平面内——异面直线
相交直线

在同一平面内——
平行直线

巩固练习
如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,判断下列直线的位置关系:

平行 ; (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交 ; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 . (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________

问题探究 在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那

么这两条直线互相平行.在空间中,是否有类似的规律?
如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中, BB′∥AA′,

DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗?
D' C'

A' D

B' C

BB′与DD′平行

A

B

2. 空间两平行直线 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这 个性质都适用. 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据. 符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c, 若 a∥ b

c∥b

a∥ c

空间四边形: 如图,顺次连接不共面的四点A,B,C,D所组成 的四边形叫做空间四边形ABCD.
A

相对顶点A与C,B与D的连线AC,

BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C D

应用举例 例1:如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别 是AB,BC,CD,DA的中点.

求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD. 因为 EH是△ABD的中位线, 1 所以EH∥BD,且EH= BD. 2 1 同理,FG∥BD,且FG= BD. 2 E D B F G C A

H

因为EH∥FG,且EH =FG,
所以四边形EFGH是平行四边形.

[拓展1]

若E,F,G,H分别是四面体A-BCD的棱AB,BC,

CD,DA上的中点,且AC=BD,则四边形EFGH为 菱形 . [拓展2] 若E,F,G,H分别是四面体A-BCD的棱AB,BC, CD,DA上的中点,且AC⊥BD,则四边形EFGH为 矩形 . [拓展3]

若E,F,G,H分别是四面体A-BCD的棱AB,BC,

CD,DA上的中点,且AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH 为 正方形 . (以上三个问题你会证明吗?不妨一试)

【提升总结】 解题思想:

把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法.

问题探究 在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和 另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互 补”.在空间中,结论是否仍然成立呢?

观察思考:如图,∠ADC与∠A′D′C′,∠ABC与
∠A′B′C′的两边分别对应平行,这两组角的大小

关系如何?

∠ADC与∠A′D′C′相等,

∠ABC与∠A′B′C′相等.

3. 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么 这两个角相等或互补.

A B
C

?
D
?

F

E

定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线 分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

三、两条异面直线所成的角 如图所示,a,b是两条异面直线,在空间中任选一点 O,过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′, 则这两 条线所成的锐角θ (或直角),称为异面直线a,b所 成的角.
b a′ ? O P a b′ a′

θ

O

平 移

若两条异面直线所成的角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.

π 异面直线所成的角θ 的取值范围: (0, ] 2

应用举例 例2 如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′.

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线? (2)直线BA′和CC′的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知, 与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′,AD,CC′,DD′,DC,D′C′.

(2)由 BB? / / CC ? 可知,?B?BA?

为异面直线 BA? 与 CC ?的夹角,
?B?BA? =45°

所以,直线 BA? 与 CC ? 的夹角为45° . (3)直线AB, BC , CD, DA, A?B?,

B?C ?, C ?D?, D?A? 分别
与直线 AA? 垂直.

【提升总结】
(1)求两异面直线所成的角的一般步骤: ①作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线 所成的角; ②证:证明作出的角就是要求的角;

③计算:求角的值,常利用解三角形.
可用“一作二证三计算”来概括.

(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角
的补角,要注意识别这种情况.

1. 判断: (1)平行于同一直线的两条直线平行.( √ ) (2)垂直于同一直线的两条直线平行.( × ) (3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线 平行. (√ )

(4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.

( ×)

(5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,

那么这两个角相等.( × )
(6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.( √ )

2.填空: (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、 相交 、异面 三种. (2)没有公共点的两条直线可能是 平行 直线,也有 可能是 异面直线. (3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条

的位置关系是 相交、异面 .
(4)过已知直线上一点可以作 无数 条直线与已

知直线垂直.

,

,

D

4.(2012·新课标全国卷)已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E ,

3 弦值为____________. 5

F 分别为 BB1,CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1 F 所成角的余

【解析】如图,连接 DF, D1F ,则

DF / /AE ,所以 DF 与 D1F 所成的
角即为异面直线所成的角,设边长 为 2,则 DF = D1F =
E

F

5 ,在三角

形 DD1F 中 cos?D1FD =

5+5- 4 3 = . 2× 5× 5 5

5.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB= 2 3,AD= 2 3 , AE=2.

(1)求BC和EG所成的角是多少度?
(2)求AE和BG所成的角是多少度?
H G F
2 3 D 2 3

E
2 A

C
B

解答: (1)因为GF∥BC, 所以∠EGF(或其补角)为所求. 在Rt△EFG中,求得∠EGF = E 45°, 2 所以BC与EG所成的角为45°.
A

H

G

F
2 3 D 2 3

C B

(2)因为BF∥AE, 所以∠FBG(或其补角)为所求. 在Rt△BFG中,求得∠FBG = 60°, 所以AE与BG所成的角为60°.

相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线

异面直线
异面直线的定义 异面直线

异面直线的画法
两异面直线所成的角 一作(找)二证三求

不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴,
从此就怀疑没有蓝天彩霞。


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