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2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数及其表示(含解析)

第一节

函数及其表示

[知识能否忆起] 1.函数的概念 (1)函数的定义: 一般地,设 A,B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应;那么就称 f:A→B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数.记作 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是 判断两函数相等的依据. 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法. 3.映射的概念 设 A,B 是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么称对应 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个映射. 4.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于( A.-2x+1 C.2x-3 解析:选 D B.2x-1 D.2x+7 f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7. )

?x +1,x≤1, ? 2.(2012· 江西高考)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=( ?x,x>1, ?
1 A. 5 2 C. 3 解析:选 D B.3 13 D. 9 2 2 13 f(3)= ,f(f(3))=?3?2+1= . ? ? 3 9

2

)

3.已知集合 A=[0,8],集合 B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从 A 到 B 的映射 的是( ) 1 B.f:x→y= x 4 D.f:x→y=x

1 A.f:x→y= x 8 1 C.f:x→y= x 2

解析:选 D 按照对应关系 f:x→y=x,对 A 中某些元素(如 x=8),B 中不存在元素与 之对应. 1 4.已知 f?x?=x2+5x,则 f(x)=____________. ? ? 1 1 1 5 解析:令 t= ,则 x= .所以 f(t)= 2+ . x t t t 5x+1 故 f(x)= 2 (x≠0). x 5x+1 答案: 2 (x≠0) x 5.(教材习题改编)若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(-1)=________.
?1+b+c=0, ?b=-4, ? ? 解析:由已知得? 得? ? ? ?9+3b+c=0, ?c=3.

即 f(x)=x2-4x+3. 所以 f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8. 答案:8

1.函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合 A 与集合 B 只能是非空数集,即函数是 非空数集 A 到非空数集 B 的映射. (2)映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不 是函数. 2.定义域与值域相同的函数,不一定是相同函数

如函数 y=x 与 y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相同函数;再如函数 y =sin x 与 y=cos x,其定义域与值域完全相同,但不是相同函数.因此判断两个函数是否相 同,关键是看定义域和对应关系是否相同. 3.求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f(x0)时,一定要首先判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代 入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

函数的基本概念

典题导入 [例 1] 有以下判断:
? ?1,x≥0, |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? 表示同一函数; x ? ?-1,x<0

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数; 1 (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ?? 其中正确判断的序号是________. |x| [自主解答] 对于(1),由于函数 f(x)= 的定义域为{x|x∈R,且 x≠0},而函数 g(x)= x
?1,x≥0, ? ? 的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定义域 ? ?-1,x<0

的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,如果 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数定 义可知, 直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点, y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个 即 交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以 f(x)和 g(t)表示同一函数; 1 1 1 1 对于(4),由于 f?2?=?2-1?-?2?=0,所以 f?f?2??=f(0)=1. ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 综上可知,正确的判断是(2)(3). [答案] (2)(3) 由题悟法 两个函数是否是同一个函数, 取决于它们的定义域和对应关系是否相同, 只有当两个函 数的定义域和对应关系完全 相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用 x 表示,但也可用其他字母表

示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示同一函数. 以题试法 1.试判断以下各组函数是否表示同一函数. (1)y=1,y=x0; (2)y= x-2· x+2,y= x2-4; (3)y=x,y= 3 t3;

(4)y=|x|,y=( x)2. 解:(1)y=1 的定义域为 R,y=x0 的定义域为{x|x∈R,且 x≠0},故它们不是同一函数. (2)y= x-2· x+2的定义域为{x|x≥2}.y= x2-4的定义域为{x|x≥2,或 x≤-2}, 故它们不是同一函数. 3 (3)y=x,y= t3=t,它们的定义域和对应关系都相同, 故它们是同一函数. (4)y=|x|的定义域为 R,y=( x)2 的定义域为{x|x≥0},故它们不是同一函数.

求函数的解析式

典题导入 1 1 [例 2] (1)已知 f?x+x?=x2+ 2,求 f(x)的解析式; ? ? x 2 (2)已知 f?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式; ? ? (3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x). 1 1 1 [自主解答] (1)由于 f?x+x?=x2+ 2=?x+x?2-2, ? ? ? x ? 所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2). 2 2 2 (2)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , x t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg (x>1). x-1 (3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx, 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
? ?2a+b=b+1, 所以? ?a+b=1, ?

1 解得 a=b= . 2 1 1 所以 f(x)= x2+ x(x∈R). 2 2 由题悟法 函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替 代 g(x),便得 f(x)的解析式(如例(1)); (2)待定系数法: 若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数), 可用待定系数法(如例(3)); (3)换元法: 已知复合函数 f(g(x))的解析式, 可用换元法, 此时要注意新元的取值范围(如 例(2));

1 (4)方程思想:已知关于 f(x)与 f? x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 ? ? 个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x)(如 A 级 T6). 以题试法 2.(1)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式; (2)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解 析式. 解:(1)法一:设 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故 f(x)=x2+2x+1.

分 段 函 数

典题导入
? x ?2 ,x∈?-∞,1?, [例 3] (2012· 广州调研考试)设函数 f(x)=? 2 若 f(x)>4,则 x 的取值 ?x ,x∈[1,+∞?, ?


范围是______. [自主解答] 当 x<1 时,由 f(x)>4,得 2 x>4,即 x<-2; 当 x≥1 时,由 f(x)>4 得 x2>4,所以 x>2 或 x<-2, 由于 x≥1,所以 x>2. 综上可得 x<-2 或 x>2. [答案] (-∞,-2)∪(2,+∞)


若本例条件不变,试求 f(f(-2))的值. 解:∵f(-2)=22=4, ∴f(f(-2))=f(4)=16.

由题悟法 求分段函数的函数值时, 应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解, 有时每段 交替使用求值.若给出函数值 或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围, 应根据每一段的解析式分别求解, 但 要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 以题试法 3.(2012· 衡水模拟)已知 f(x)的图象如图,则 f(x)的解析式为________. 解析:由图象知每段为线段. 3 3 设 f(x)=ax+b,把(0,0),?1,2?和?1,2?,(2,0)分别代入, ? ? ? ?

?a=3, ? 解得? 2 ?b=0, ?

?a=-3, ? 2 ? ?b=3. ?

?2x,0≤x≤1, 答案:f(x)=? 3 ?3-2x,1≤x≤2
3

1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 B.y= x-1与 y= x-1 x-1

)

C.y=4lg x 与 y=2lg x2 x D.y=lg x-2 与 y=lg 100 答案:D 2.下列函数中,与函数 y= 1 3 1 A.y= sin x C.y=xex 解析:选 D 函数 y= 1 3 x ln x B.y= x sin x D.y= x 的定义域为{x|x≠0},选项 A 中由 sin x≠0?x≠kπ,k∈Z,故 定义域相同的函数为( )

x

A 不对;选项 B 中 x>0,故 B 不对;选项 C 中 x∈R,故 C 不对;选项 D 中由正弦函数及分 式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}. 3.(2012· 安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 解析:选 C B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x 对于选项 A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项 B,f(x)=x-|x|= )

?0,x≥0, ? ? 当 x≥0 时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2· 2x=2f(x),恒有 f(2x) ?2x,x<0, ?

=2f(x);对于选项 D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项 C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.
?-cos?πx?,x>0, ? 4 4 4.已知 f(x)=? 则 f?3?+f?-3?的值等于( ? ? ? ? ? ?f?x+1?+1,x≤0,

)

A.-2 C.2 解析:选 D

B.1 D.3 4 1 4 1 2 4 4 5 f?3?= ,f?-3?=f?-3?+1=f?3?+2= ,f?3?+f?-3?=3. ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?

5.现向一个半径为 R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程 中容器的液面高度 h 随时间 t 变化的函数关系的是( )

解析:选 C 从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时, 增加的速度又越来越快. 6.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A.x-1 C.2x+1 B.x+1 D.3x+3 )

解析:选 B 由题意知 2f(x)-f(-x)=3x+1.① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1.② ①×2+②得 3f(x)=3x+3, 即 f(x)=x+1. 7.已知 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)=________. 解析:由 f(1)=f(2)=0,
?12+p+q=0, ?p=-3, ? ? 得? 2 所以? ?2 +2p+q=0, ?q=2. ? ?

故 f(x)=x2-3x+2.

所以 f(-1)=(-1)2+3+2=6. 答案:6
? 2 ?x +2ax,x≥2, 8.已知函数 f(x)=? x 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是________. ? ?2 +1,x<2,

解析:由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a,若 f(f(1))>3a2,则 9+6a>3a2,即 a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 9.设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的是________.

解析:由函数的定义,对定义域内的每一个 x 对应着唯一一个 y,据此排除①④,③中 值域为{y|0≤y≤3}不合题意. 答案:② x 10.若函数 f(x)= (a≠0),f(2)=1,又方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x)的解析式. ax+b 2 解:由 f(2)=1 得 =1,即 2a+b=2; 2a+b 由 f(x)=x 得 1 x =x,变形得 x?ax+b-1?=0, ? ? ax+b

1-b 解此方程得 x=0 或 x= , a 1-b 又因方程有唯一解,故 =0, a 1 解得 b=1,代入 2a+b=2 得 a= , 2 所以 f(x)= 2x . x+2

11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园, 甲从家到公园的距离与 乙从家到公园的距离都是 2 km,甲 10 时出发前往乙家.如图所示, 表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程 y(km)与时间 x(min)的关 系.试写出 y=f(x)的函数解析式. 解:当 x∈[0,30]时,设 y=k1x+b1,

?k1= , ?b1=0, ? ? 15 ? 由已知得 解得? ? ?30k1+b1=2, ?
1

?b1=0.

1 即 y= x. 15 当 x∈(30,40)时,y=2; 当 x∈[40,60]时,设 y=k2x+b2,

?k2= , ? ? ?40k2+b2=2, 10 由已知得? 解得? ?60k2+b2=4, ? ?
1

?b2=-2.

1 即 y= x-2. 10

?15x,x∈[0,30], ? 综上,f(x)=?2,x∈?30,40?, 1 ?10x-2,x∈[40,60]. ?
1 12.如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.

(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 2、 所示. 3 你 能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元? 解:(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图 2 的建议是降低成本,票价不变,图 3 的建议是提高票价. (3)斜率表示票价. (4)图 1、2 中的票价是 2 元.图 3 中的票价是 4 元.

1. (2011· 北京高考)根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位: 分钟)为 f(x)

? x,x<A, =? c ? A,x≥A
c A.75,25 C.60,25

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品

用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是(

)

B.75,16 D.60,16

解析:选 D 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟, 所以 c =15,① A c c = =30.② 4 2

所以必有 4<A,且

联立①②解得 c=60,A=16. 1 2.(2012· 江西红色六校联考)具有性质:f?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变 ? ? 换的函数,下列函数:

?x,0<x<1, ?0,x=1, 1 1 ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x ?-1,x>1. ? x
A.①② C.②③ B.①③ D.①

其中满足“倒负”变换的函数是(

)

1 1 1 1 1 解析:选 B 对于①,f(x)=x- ,f? x?= -x=-f(x),满足; 对于②,f?x?= +x=f(x), ? ? x x ? ? x

? 1? ? 1 不满足;对于③,f?x?=?0,x =1, ? ?-x,1>1, ? x
(1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)>2x+5.

1 1 ,0< <1, x x

?x,x>1, ? ?1?= 即 f?x? ?0,x=1, ?-x,0<x<1, ?
1

1 故 f? x?=-f(x),满 ? ?

足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 3.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1.

解:(1)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.

∴2ax+a+b=2x. ∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1. (2)由 x2-x+1>2x+5,即 x2-3x-4>0, 解得 x>4 或 x<-1. 故原不等式解集为{x|x>4,或 x<-1}.

?3x+2,x<1, ? 1.已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a=________. ? ?x +ax,x≥1,

解析:∵f(0)=3×0+2=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, ∴a=2. 答案:2 2.若函数的定义域为{x|-3≤x≤6,且 x≠4},值域为{y|-2≤y≤4,且 y≠0},试在下 图中画出满足条件的一个函数的图象.

解:本题答案不唯一,函数图象可画为如图所示.

3.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析式. 解: (1)因为对任意 x∈R 有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x, 所以 f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2, 又 f(2)=3,从而 f(1)=1. 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a. (2)因为对任意 x∈R,有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0) =x0,故对任意 x∈R,有 f(x)-x2+x=x0.在上式中令 x=x0,有 f(x0)-x2+x0=x0. 0 又因为 f(x0)=x0,所以 x0-x2=0,故 x0=0 或 x0=1. 0 若 x0=0, f(x)=x2-x, 则 但方程 x2-x=x 有两个不相同实根, 与题设条件矛盾, x0≠0. 故 若 x0=1,则有 f(x)=x2-x+1,易证该函数满足题设条件.

综上,所求函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-x+1.


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