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高中数学选修1-1抛物线的几何性质导学案


高中数学选修 1-1《抛物线的简单几何性质》导学案
【学习目标】 1、了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质。 2、在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合和转化。 【重点难点】 重点:抛物线的几何性质及其运用。 难点:抛物线几何性质的运用。 【学习过程】 一、复习引入: 1、抛物线定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 L 的距离相等的点的轨迹叫做___________,定点 F 叫做抛 物线的__________,定直线 L 叫做抛物线的____________. 2、抛物线的标准方程:

y

y

y
l

y O F

图 形
l

x

O

F

x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

二、讲授新课 抛物线的几何性质: 标准 方程

图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

? p ? 0?

y ? 2 px
2
O F

x

l

y

? p ? 0?

y 2 ? ?2 px
F O

x

l

? p ? 0?

x 2 ? 2 py

? p ? 0?
补充:

x 2 ? ?2 py

通径:过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径,其长为 2P 焦点弦:过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,这两点间的线段叫做抛物线的焦点。 抛物线焦点弦的性质: 若抛物线的方程为 y2=2px(p>0),过抛物线的焦点 F( A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则 ① y1y2=-p2; p2 ② x1x2= ; 4 ③ |AB|=x1+x2+p; ④ |AB|= ⑤ 2p (其中θ 为直线的倾斜角); sin2θ p ,0)的直线交抛物线与 2

1 1 2 + = ; |AF| |BF| p

⑥ 过 A、B 两点作准线的垂线,垂足分别为 A/、B/,F 抛物线的焦点,则∠A/FB/=900; ⑦ 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。 三、练习巩固 题型一、利用抛物线的性质求抛物线的方程

【例 1】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过 M (2, ? 2 2) ,求它的标准方程。

【变式训练 1】已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过 M (2, ? 2 2) ,求它的标准方程。

【变式训练 2】已知抛物线的顶点在坐标原点,准线是 x=4,求它的标准方程。

【变式训练 3】已知抛物线的顶点在坐标原点,它的焦点是 F(0,5),求它的准线方程。

题型二、有关焦点弦的问题 【例 2】斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长。

2 【变式训练 1】过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,

那么 | AB | =( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4

2 【变式训练 2】过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两点,若 | AB | =7, 求 AB

的中点 M 到抛物线准线的距离。

【高考热点】 1.(2010 湖南文)设抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

)

2.(07 宁夏)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ,y1 ),P ,y2 ) , P ,y3 ) 在抛物线上, 1 ( x1 2 ( x2 3 ( x3 且 2 x2 ? x1 ? x3 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 ) B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2 2 2

? FP3

2

? FP · FP3 1

3.(2009 全国卷Ⅱ文)已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y 2 ? 8x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。若

FA ? 2 FB ,则 k= (
A.

)

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

4.(2010 福建文)已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 过点 A (1 , -2)。
2

(I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 L 的 距离等于

5 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由。 5


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