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3.1.1两角和与差的余弦习题

第三章

3.1

3.1.1

一、选择题 1.cos75° cos15° -sin435° sin15° 的值是( A.0 C. 3 2 ) 1 B. 2 1 D.- 2

[答案] A [解析] cos75° cos15° -sin435° sin15° =cos75° cos15° -sin(360° +75° )sin15° =cos75cos15° -sin75° sin15° =cos(75° +15° )=cos90° =0. 2.在△ABC 中,若 sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 一定为( A.等边三角形 C.锐角三角形 [答案] D [解析] ∵sinAsinB<cosAcosB, ∴cosAcosB-sinAsinB>0, ∴cos(A+B)>0, ∵A、B、C 为三角形的内角, ∴A+B 为锐角, ∴C 为钝角. 3.化简 sin(x+y)sin(x-y)+cos(x+y)cos(x-y)的结果是( A.sin2x C.-cos2x [答案] B [解析] 原式=cos[(x+y)-(x-y)]=cos2y. 4.sin15° cos75° +cos15° sin105° 等于( A.0 C. 3 2 ) 1 B. 2 D.1 B.cos2y D.-cos2y ) B.直角三角形 D.钝角三角形 )

[答案] D

[解析] sin15° cos75° +cos15° sin105° =sin15° cos(90° -15° )+cos15° sin(90° +15° ) =sin15° sin15° +cos15° cos15° =cos(15° -15° )=cos0° =1. π π 5.sin - 3cos 的值是( 12 12 A.0 C. 2 [答案] B [解析] 原式=-2? 3 π 1 π? ? 2 cos12-2sin12? ) B.- 2 D.2

π ?cosπcos π -sinπ· sin ? =-2· 6 12? ? 6 12 π π? 2 =-2cos? ?6+12?=-2× 2 =- 2. 3 5 6.△ABC 中,cosA= ,且 cosB= ,则 cosC 等于( 5 13 33 A.- 65 63 C.- 65 [答案] B [解析] 由 cosA>0,cosB>0 知 A、B 都是锐角, ∴sinA= 3?2 4 1-? ?5? =5,sinB= 5 ?2 12 1-? ?13? =13, 33 B. 65 63 D. 65 )

∴cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB) 3 5 4 12? 33 =-? ?5×13-5×13?=65. 二、填空题 1 π π 7.若 cosα= ,α∈(0, ),则 cos(α+ )=________. 5 2 3 [答案] 1- 6 2 10

1 π [解析] ∵cosα= ,α∈(0, ), 5 2 2 6 ∴sinα= . 5 π π π 1 1 2 6 3 1-6 2 ∴cos(α+ )=cosαcos -sinαsin = × - × = . 3 3 3 5 2 5 2 10

1 1 8.已知 cosx-cosy= ,sinx-siny= ,则 cos(x-y)=________. 4 3 [答案] 263 288

1 1 [解析] ∵cosx-cosy= ,sinx-siny= , 4 3 1 ∴cos2x-2cosxcosy+cos2y= , 16 1 sin2x-2sinxsiny+sin2y= , 9 25 两式相加得 2-2cos(x-y)= , 144 263 ∴cos(x-y)= . 288 三、解答题 9.已知 sinα+sinβ=sinγ,cosα+cosβ=cosγ. 1 求证:cos(α-γ)= . 2 [解析] sinα+sinβ=sinγ?sinα-sinγ=-sinβ① cosα+cosβ=cosγ?cosα-cosγ=-cosβ② ①2+②2 得 2-2(cosαcosγ+sinαsinγ)=1, 1 即得 cos(α-γ)= . 2

一、选择题 1.函数 y=cos2x-sin2x 的最小正周期是( A.π π C. 4 [答案] A [解析] y=cos2x-sin2x=cosx· cosx-sinx· sinx=cos2x, 2π ∴最小正周期 T= =π. 2 2.在△ABC 中,若 tanA· tanB>1,则△ABC 一定是( A.等边三角形 C.锐角三角形 [答案] C ) ) π B. 2 D.2π

B.直角三角形 D.钝角三角形

[解析] ∵sinA· sinB>cosA· cosB, ∴cosA· cosB-sinA· sinB<0, 即 cos(A+B)<0, ∵A、B、C 为三角形的内角, ∴A+B 为钝角,∴C 为锐角. 又∵tanA· tanB>1, ∴tanA>0,tanB>0, ∴A、B 均为锐角,故△ABC 为锐角三角形. 3.在锐角△ABC 中,设 x=sinA· sinB,y=cosA· cosB,则 x、y 的大小关系为( A.x≤y C.x<y [答案] B [解析] y-x=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B), ∵△ABC 为锐角三角形, ∴C 为锐角,∵A+B=π-C, ∴A+B 为钝角, ∴cos(A+B)<0,∴y<x. π 4.(2014· 山东潍坊重点中学高一期末测试)函数 f(x)=sinx-cos(x+ )的值域为( 6 A.[-2,2] C.[-1,1] [答案] B π [解析] f(x)=sinx-cos(x+ ) 6 π π =sinx-cosxcos +sinxsin 6 6 3 3 = sinx- cosx 2 2 = 3( 3 1 sinx- cosx) 2 2 B.[- 3, 3] D.[- 3 3 , ] 2 2 ) B.x>y D.x≥y )

π = 3sin(x- )∈[- 3, 3]. 6 二、填空题 5.形如?

?a b? 的 式 子 叫 做 行 列 式 , 其 运 算 法 则 为 ?a b? = ad - bc , 则 行 列 式 ? ? ? ?c d ? ?c d ?

?cos3 ? π ?sin3

π

? 的值是________. π? cos ? 6
?a b?=ad-bc, ? ?c d ?

π sin 6

[答案] 0 [解析] ?

?cos3 ∴? π ?sin3

π

? π? cos ? 6

π sin 6

π π π π =cos cos -sin sin 3 6 3 6 π π π =cos( + )=cos =0. 3 6 2 1 1 6.已知 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tanα· tanβ=________. 3 5 [答案] 1 4

1 [解析] ∵cos(α+β)= , 3 1 ∴cosαcosβ-sinαsinβ= , 3 1 ∵cos(α-β)= , 5 1 ∴cosαcosβ+sinαsinβ= , 5 ② ①

?sinαsinβ=-15 由①②得? 4 ?cosαcosβ=15
sinαsinβ 1 ∴tanαtanβ= =- . cosαcosβ 4 三、解答题

1



15 7.已知 cos(α-30° )= ,30° <α<90° ,求 cosα 的值. 17 [解析] ∵30° <α<90° , ∴0° <α-30° <60° . ∵cos(α-30° )= 15 , 17 8 , 17

∴sin(α-30° )= 1-cos2?α-30° ?=

15 3 8 1 ∴cosα=cos[(α-30° )+30° ]=cos(α-30° )cos30° -sin(α-30° )sin30° = × - × = 17 2 17 2 15 3-8 . 34 8. 已知向量 a=(2cosα, 2sinα), b=(3cosβ, 3sinβ), 若向量 a 与 b 的夹角为 60° , 求 cos(α -β)的值. [解析] ∵a· b=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos(α-β), ∴|a|=2,|b|=3, 又∵a 与 b 的夹角为 60° , a· b 6cos?α-β? ∴cos60° = = =cos(α-β), |a|· |b| 2×3 1 ∴cos(α-β)= . 2 π 9.已知函数 f(x)=2cos(ωx+ )(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. 6 (1)求 ω 的值; π 5π 6 5π 16 (2)设 α、β∈[0, ],f(5α+ )=- ,f(5β- )= ,求 cos(α+β)的值. 2 3 5 6 17 2π 1 [解析] (1)∵T=10π= ,∴ω= . ω 5 1 π (2)由(1)得 f(x)=2cos( x+ ), 5 6 6 5π 1 5π π π ∵- =f(5α+ )=2cos[ (5α+ )+ ]=2cos(α+ )=-2sinα, 5 3 5 3 6 2 3 4 ∴sinα= ,cosα= . 5 5 ∵ 16 5π 1 5π π =f(5β- )=2cos[ (5β- )+ ]=2cosβ, 17 6 5 6 6

8 15 ∴cosβ= ,sinβ= . 17 17 4 8 3 15 13 ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × =- . 5 17 5 17 85


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