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§6.2 图形的相似(试题部分).pptx_图文

中考数学 (江苏专用)
§6.2 图形的相似

五年中考 A组 2014-2018年江苏中考题组
考点1 相似的基本概念
(2017连云港,4,3分)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是? ( )
?

A.?BC =?1 B.??A的度数 =?1

DF 2

?D的度数 2

C.?

=?1 D.?

=?1

2

2

答案 D ∵△ABC∽△DEF,

∴?BC =?1 ,A不一定成立;
EF 2

??A的度数 =1,B不成立;
?D的度数

?

=?1 ,C不成立;

4

?

=?1 ,D成立,故选D.

2

考点2 相似三角形的性质与判定
1.(2018扬州,8,3分)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与 BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论: ①△BAE∽△CAD;②MP·MD=MA·ME;③2CB2=CP·CM.其中正确的是?( )
?
A.①②③ B.① C.①② D.②③

答案 A 由已知得AC=?2 AB,AD=?2AE,
∴?AC =?AD =?2 ,
AB AE
∵∠BAC=∠EAD=45°, ∴∠BAE=∠CAD, ∴△BAE∽△CAD, 所以①正确; ∵△BAE∽△CAD, ∴∠BEA=∠CDA, ∵∠PME=∠AMD, ∴△PME∽△AMD,
∴?MP =?ME ,
MA MD
∴MP·MD=MA·ME, 所以②正确; 易证P、E、D、A四点共圆,

∴∠APD=∠AED=90°, ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°, ∴△CAP∽△CMA, ∴AC2=CP·CM, ∵AC=?2 AB,AB=BC, ∴2CB2=CP·CM, 所以③正确.故选A.
疑难突破 本题考查了相似三角形的性质和判断.在乘积式和比例式的证明中应注意应用倒 推的方法寻找相似三角形进行证明,采用逐项分析法,判断选项的正确性.

2.(2018连云港,11,3分)如图,△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则△

ADE与△ABC的面积的比为

.

?

答案 1∶9
解析 ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∵AD∶DB=1∶2, ∴AD∶AB=1∶3, ∴S△ADE∶S△ABC是1∶9. 故答案为1∶9.

3.(2016南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位线,且

EF=2,则AC的长为

.

?

答案 ?8
3

解析 ∵EF是△ODB的中位线,

∴OE=?1 OD=?3 ,EF∥BD,

2

2

? ∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF,∴?AC EF

=?OC
OE

,∴?AC
2

=

2 3

,∴AC=?83.

2

解题关键 本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的对应角相等、对应边的比相

等、相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比、相似三角形的面积比等于相似比的平方是 解题的关键.

4.(2016苏州,18,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2?3 ),C是

AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的

垂线,垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为

.

?
答案 (1,?3 )

解析 延长BP交CE于点F,当BF⊥EC时,∠BFC=90°,
由题意知CD∥AO,∵C是AB的中点,∴D是BO的中点,
∴CD=?1 AO=4,易知四边形DOEP为矩形,
2
∴PE=DO=BD=?1 BO=?3,
2
设DP=x,则CP=4-x,
∵∠BPD=∠FPC,∴∠DBP=∠PCE,
∴△BDP∽△CPE,
∴?BD=?DP,
CP PE
∴?3=?x,
即(4??)x2=x(43-x),
3
∴x1=1,x2=3,
∴当直线BP与直线EC第一次垂直时,x=1,即点P的坐标为(1,?).
3
解题关键 解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质.
解题时注意:有两个角对应相等的两个三角形相似.

5.(2016宿迁,11,3分)若两个相似三角形的面积比为1∶4,则这两个相似三角形的周长比是 .
答案 1∶2
解析 因为两个相似三角形的面积比为1∶4,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,所 以这两个三角形的相似比为1∶2,又相似三角形的周长比等于相似比,所以这两个相似三角形 的周长比为1∶2.故答案为1∶2.

6.(2017宿迁,24,8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠ DEF=∠B,且点D、F分别在边AB、AC上. (1)求证:△BDE∽△CEF; (2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.
?

证明 (1)∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB, ∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB, ∠DEF=∠B, ∴∠BDE=∠CEF, ∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF,
∴?BE=?DE.
∵点CFE是EBFC的中点, ∴BE=CE,
∴?CE=?DE,
∵∠CFDEFE=F∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF,
∴∠DFE=∠CFE,∴FE平分∠DFC.

7.(2015南京,20,8分)如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且?AD =?CD .
CD BD
(1)求证:△ACD∽△CBD; (2)求∠ACB的大小.
?
解析 (1)证明:∵CD是边AB上的高, ∴∠ADC=∠CDB=90°.
又?AD =?CD ,
CD BD
∴△ACD∽△CBD.? (4分) (2)∵△ACD∽△CBD,∴∠A=∠BCD. 在△ACD中,∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°, ∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.? (8分)

8.(2015连云港,25,10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD.过 点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H. (1)求BD·cos∠HBD的值; (2)若∠CBD=∠A,求AB的长.
?

解析 (1)∵DH∥AB, ∴∠BHD=∠ABC=90°, ∵∠ACB=∠DCH, ∴△ABC∽△DHC,
∴?AC =?BC .
DC HC
∵AC=3CD,BC=3, ∴CH=1. ∴BH=BC+CH=4.
在Rt△BHD中,cos∠HBD=?BH ,
BD
∴BDcos∠HBD=BH=4.? (4分) (2)解法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD, ∴△ABC∽△BHD.? (6分)
∴?BC =?AB .
HD BH
∵△ABC∽△DHC,

∴?AB =?AC =?3 ,
DH DC 1
∴AB=3DH.
∴?3 =?3DH ,DH=2,
DH 4
∴AB=6.? (10分)
解法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,
∴△CDB∽△BDA.
∴?CD =?BD ,BD2=CD·AD,
BD AD
∴BD2=CD·4CD=4CD2.
∴BD=2CD.? (6分)
∵△CDB∽△BDA,
∴?CD =?BC ,
BD AB
∴?CD =?3 ,
2CD AB
∴AB=6.? (10分)

B组 2014-2018年全国中考题组
考点1 相似的基本概念
1.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为 BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是? ( )
?

A.?AD =?AE
AB EC

B.?AG =?AE
GF BD

C.?BD =?CE
AD AE

D.?AG =?AC
AF EC

答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知?AD =?AE ,?AG =?AE ,?BD =?CE ,?AG =?AE ,所以选
AB AC GF EC AD AE AF AC
项A、B、D错误,选项C正确.故选C.

2.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
?
?
对于两人的观点,下列说法正确的是? ( ) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对 答案 A 由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确; 新矩形与原矩形的对应角相等,但对应边的比并不相等,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点 也正确,故选A.

3.(2018四川成都,13,4分)已知?a =?b =?c ,且a+b-2c=6,则a的值为

.

654

答案 12

解析 设?a =?b =?c =k(k≠0),
654
则a=6k,b=5k,c=4k, ∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6. 解得k=2.∴a=6k=12.

考点2 相似三角形的性质与判定
1.(2015山东聊城,7,3分)下列命题中的真命题是? ( ) A.两边和一角分别相等的两个三角形全等 B.相似三角形的面积比等于相似比 C.正方形不是中心对称图形 D.圆内接四边形的对角互补
答案 D A项,在两边和一角中,当角为两边中一边的对角时,这两个三角形不一定全等,故本 选项错误;B项,相似三角形面积比等于相似比的平方,故本选项错误;C项,正方形是中心对称图 形,故本选项错误;D项,圆内接四边形对角互补,故本选项正确.故选D.

2.(2015四川绵阳,12,3分)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折 叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,则CE∶CF=? ( )
?

A.?3 B.?4 C.?5 D.?6

4

5

6

7

答案 B 设等边△ABC的边长为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知∠C=∠EDF=60°,∴∠ EDA+∠FDB=120°, 在△AED中,∵∠A=60°,∴∠AED+∠ADE=120°,∴∠AED=∠BDF,又∵∠A=∠B,∴△AED∽

△BDF,∴?AE =?AD =?ED ,又∵CE=DE,CF=DF,∴?3 ? CE =?CE ,?1 =?CE ,可得2CE=3CF-CE·

BD BF DF

2 CF 3 ? CF CF

CF,CF=3CE-CE·CF,∴2CE-3CF=CF-3CE,∴?CE =?4 .故选B.
CF 5

3.(2017北京,13,3分)如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM=

.

?

答案 3
解析 ∵M,N分别为AC,BC的中点,
∴MN∥AB,且MN=?1 AB,
2
∴△CMN∽△CAB,且相似比为1∶2, ∵S△CMN=1,∴S△CAB=4, ∴S四边形ABNM=S△CAB-S△CMN=4-1=3.

4.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,?OE =?3 ,则
OA 5

?FG =

.

BC

?

答案 ?3
5
解析 ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似, ∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC,
∴?OF =?OE =?3 ,?FG =?OF =?3 .
OB OA 5 BC OB 5

5.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点

C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下

列结论:

①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=?32 S△FGH;④AG+DF=FG.

其中正确的是

.(把所有正确结论的序号都选上)

?

答案 ①③④

解析 ∵∠ABG=∠HBG,∠FBE=∠CBE,∠ABC=90°, ∴∠EBG=45°,①正确; ∵AB=6,BF=BC=10,∴AF=8, ∴FD=AD-AF=10-8=2, 设DE=x,则EF=CE=6-x,在Rt△DEF中,

∵DF2+DE2=EF2,∴22+x2=(6-x)2,∴x=?8 ,
3

即DE=?8 ,∴EF=1?0 ,∵BH=AB=6,

3

3

∴HF=BF-BH=10-6=4,

又易知Rt△DEF∽Rt△HFG,

? ? 8 10
∴?ED=?E,F即 3 = 3 ,
HF GF 4 GF
∴GF=5,∴AG=3,

?8
若△DEF∽△ABG,则?DE=?D,但F 3≠?2 ,故②不正确;
AB AG 6 3

? ∵BH=6,HF=4,∴S△BGH=

3 2

S , △FGH

? ∵△ABG≌△HBG,∴S△ABG=

3 2

S△FGH,③正确;

? ? ∵△FHG∽△EDF,∴?FG=?H,∴F EF DE

F1=G0

4 8

,∴FG=5,

∴AG+DF=5,∴AG+DF=FG,④正确.3 3

6.(2015山东临沂,18,3分)如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点

O,则?OB =

.

OD

?

答案 2
解析 连接DE,∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线,∴DE为△ABC的中位线,∴DE=?1 BC,DE∥
2
BC,∴△OBC∽△ODE,∴?OB =?BC =2.
OD DE

7.(2018福建,20,8分)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求:①根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为一边,在给出的图形上用尺 规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹; ②在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知,求证和证明过程.
?

解析 ①如图,
?

△A'B'C'即为所求作的三角形.

②已知:如图,△A'B'C'∽△ABC,?A'=B?' B=?'C ' =kA,A'CD'=DB,A'D'=D'B'.求证:?=k. C ' D '

AB BC AC

CD

?

证明:∵AD=DB,A'D'=D'B',∴AD=?1 AB,A'D'=?1 A'B',

2

2

? ∴?AA'DD

'

=

1 A'B 2 1 AB

'

=?AA'BB

'

,

2

又?A' B ' =?A'C ' ,∴?A' D ' =?A'C ' ,
AB AC AD AC

∵△A'B'C'∽△ABC,∴∠A'=∠A,

∴△C'A'D'∽△CAD,∴?C ' D ' =?A'C ' =k.
CD AC

解后反思 本题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定等基础知识,考查推理能力、化归 与转化思想.

8.(2018湖北武汉,23,10分)在△ABC中,∠ABC=90°. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:△ABM∽△BCN;
(2)如图2,P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC=?2 5 ,求tan C的值; 5
(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=?3 ,?AD =?2 ,直接写出tan∠CEB
5 AC 5
的值.
?

解析 (1)证明:∵∠M=∠N=∠ABC=90°, ∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90°, ∴∠MAB=∠NBC, ∴△ABM∽△BCN. (2)过点P作PM⊥AP交AC于点M,过点M作MN⊥PC交BC于点N, 则△PMN∽△APB.

∴?PN =?PM =tan∠PAC=?2 5 ,设PN=2t,则AB=?5 t.

AB AP

5

∵∠BAP+∠APB=∠MPC+∠APB=90°,∠BAP=∠C,

∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.

易得△ABP∽△CBA,

∴AB2=BP·BC,∴(?5 t)2=BP·(BP+4t), ∴BP=t,∴BC=5t,

∴tan C=?5 .
5

?

(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC=?BC =?3 ,∴tan∠BAC=?BC =?3 .

AC 5

AB 4

过点A作AG⊥BE于点G,过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H,

∵∠DEB=90°,∴CH∥AG∥DE,

∴?GH =?AC =?5 ,
EG AD 2
同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,

∴?BG =?AG =?AB =?4 ,
CH BH BC 3
设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴GH=BG+BH=4m+3n,
∵AB=AE,AG⊥BE,∴EG=BG=4m,

∴?GH =?4m ? 3n =?5 ,∴n=2m,∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,
EG 4m 2
在Rt△CEH中,tan∠CEB=?CH =?3 .
EH 14
?

思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出∠MAB=∠NBC,即可得出结论;

(2)作PM⊥AP,MN⊥PC,先判断出△PMN∽△APB,得出?PN =?PM =?2 5 ,设PN=2t,则AB=?5 t,再 AB AP 5
判断出△ABP∽△CBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;

(3)作AG⊥BE,CH⊥BE,先判断出?GH =?AC =?5 ,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,所以?BG =?AG =

EG AD 2

CH BH

?AB =?4 ,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.
BC 3

方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻

找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.

9.(2015山东威海,23,10分) (1)如图①,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的长; (2)如图②,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.
??

图①

图②

解析 (1)连接BE,如图.? (1分)
?
∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, 即∠BCE=∠ACD. 又∵AC=BC,DC=EC, ∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE.? (3分) ∵AC=BC=6,∴AB=6?2 .? (4分) ∵∠BAC=∠CAE=45°,

∴∠BAE=90°. 在Rt△BAE中,AB=6?2 ,AE=3,
∴BE=?(6 2)2 ? 32 =9.
∴AD=9.? (5分) (2)连接BE,如图.? (6分)
?
在Rt△ACB和Rt△DCE中,∠ABC=∠DEC=30°,
∴tan 30°=?AC =?DC =?3 . BC EC 3
∵∠ACB=∠DCE=90°,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 即∠ACD=∠BCE.

∴△ACD∽△BCE.∴?AD =?AC =?3 .? (8分) BE BC 3
∵∠BAC=60°,∠CAE=30°, ∴∠BAE=90°. 在Rt△ACB中,AC=3,∠ABC=30°, ∴AB=6. 在Rt△BAE中,AB=6,AE=8,∴BE=10.? (9分)

∵?AD =?3 ,∴AD=?10 3 .? (10分)

BE 3

3

方法指导 求线段长的常见方法有:①利用相似三角形的性质求线段长;②通过解直角三角形

求线段长,所以对于此类问题要从相似或解直角三角形入手,通过作辅助线等寻找解题思路.

10.(2014湖南郴州,19,6分)在13×13的网格图中,已知△ABC和点M(1,2). (1)以点M为位似中心,位似比为2,画出△ABC的位似图形△A'B'C'; (2)写出△A'B'C'的各顶点坐标.
?

解析 (1)作图正确给满分,不分步给分.
?
(3分) (2)A'(3,6),B'(5,2),C'(11,4).? (6分)

C组 教师专用题组
考点1 相似的基本概念
1.(2016黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,BE与 CD相交于点F,则下列结论一定正确的是? ( )
?

A.?AD =?AE
AB AC

B.?DF =?AE
FC EC

C.?AD =?DE
DB BC

答案 A ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴?AD =?AE =?DE ,故选A.
AB AC BC

D.?DF =?EF
BF FC

2.(2018云南,5,3分)如图,已知AB∥CD,若?AB =?1 ,则?OA =

.

CD 4 OC

?

答案 ?1
4
解析 ∵AB∥CD, ∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∴△AOB∽△COD.∴?OA =?AB =?1 .
OC CD 4

考点2 相似三角形的性质与判定
1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中 线,AD=2,CE=5,则CD=? ( )
?
A.2 B.3 C.4 D.2?3 答案 C 在Rt△ABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=2×5=10,又AD=2,所以BD=8, 易证△ACD∽△CBD,则CD2=AD·DB=2×8=16,所以CD=4,故选C.

2.(2016安徽,8,4分)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为? ( )
?
A.4 B.4?2 C.6 D.4?3
答案 B 由AD是中线可得DC=?1 BC=4.
2
∵∠B=∠DAC,∠C=∠C, ∴△ADC∽△BAC,
∴?AC =?DC ,∴AC2=BC·DC=8×4=32,
BC AC
∴AC=4?2 ,故选B. 评析 本题考查了相似三角形的判定与性质,三角形的中线,属容易题.

3.(2016河北,15,2分)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪下,剪下
的阴影三角形与原三角形?不相似的是? ( )
???
?
?

答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角 形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是2∶3,且两边的夹 角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C.
评析 本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.

4.(2015内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD 边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为? ()
?

A.?1 B.?9 C.2 D.4

2

8

答案 C 在题中的第三个图中,AD=6,AB=4,DE=6,因为BF∥DE,所以△ABF∽△ADE,所以

?AB
AD

=?BF
DE

,即?4 =?BF
66

,解得BF=4,所以CF=2,所以S△CEF=?12 CE·CF=2.

5.(2014贵州贵阳,7,3分)如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△ EPD,则点 P所在的格点为( )
?
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4 答案 C 由题图可知,∠E=∠A=90°,要使△ABC∽△EPD,
则?EP =?DE =2,
AB AC
所以EP=2AB=6,点P所在的格点为P3,故选C. 评析 本题考查相似三角形的判定,设计巧妙,属容易题.

6.(2016河南,15,3分)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△

ABE沿AE折叠,点B落在点B'处,过点B'作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B'为线段MN的

三等分点时,BE的长为

.

?

答案 ?3 2 或?3 5

2

5

解析 ∵AD∥BC,AB⊥BC,MN⊥AD, ∴四边形ABNM为矩形, ∴MN=AB=3,∵B'为线段MN的三等分点,∴B'M=1或2, ∵∠AB'E=∠ABC=90°,∴∠AB'M+∠EB'N=90°. ∵∠EB'N+∠B'EN=90°,∴∠AB'M=∠B'EN. 又∵∠AMB'=∠ENB'=90°,

∴△AMB'∽△B'NE,∴?AB='?B,' E

设B'E=BE=x.

AM B ' N

①当B'M=1时,B'N=2,在Rt△AMB'中,AM=?=B?' A=22??B,所'M以2 ?=32??1,2即x=?2 ;

②当B'M=2时,B'N=1,在Rt△AMB'中,AM=?=B?' A=2??,所B'以M ?2 =3?2 ?,即22 x=?5 .

综上所述,BE的长为?3 2或?3. 5

2

5

3x 22 2 3x 51

32 2
35 5

评析 本题考查轴对称,矩形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,题目

的计算量略大,属中档题.

7.(2014黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的

延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H,若点H是AC的中点,则?AG
FD

的值为

.

答案 ?4
3

解析 ∵EF⊥AD,FG=FD,∴EF垂直平分GD,∴EG=ED,∴∠EGD=∠EDG,∴∠AGH=∠ADB,

又∵∠BAD=∠HAG,

∴△ABD∽△AHG,∴?AB =?AD .∵4AB=5AC,AH=?1 AC,∴?AB =?5,∴?AD =?5,∴?AG =?2.∴?AG =

AH AG

2

AH 2 AG 2 GD 3 FD

?4 .
3

8.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们 选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河 岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共 线. 已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图所示. 请根据相关测量信息,求河宽AB.
?

解析 ∵CB⊥AD,ED⊥AD, ∴∠ABC=∠ADE=90°. ∵∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE,?(3分)
∴?AB=?BC.?(5分)
AD DE
∵BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.
∴?A=B?, 1
AB ? 8.5 1.5
∴AB=17 m. ∴河宽AB为17 m.?(7分)
思路分析 首先根据∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE判定△ABC∽△ADE,再根据相似三角形
的性质得出?AB =?BC ,进而可求得AB的值.
AD DE

方法指导 解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项.①审题:结合图形通读题干,第一时 间锁定采用的知识点,如:观察题图是否含有已知度数的角,如果含有,考虑利用锐角三角函数 解题.如果仅涉及三角形的边长,则采用相似三角形的性质解题.②筛选信息:由于实际问题文 字阅读量较大,因此筛选有效信息尤为关键.③构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都会 涉及图形的构造,如果题干中给出了相应的图形,则可直接利用所给图形进行计算,必要时可添 加辅助线;若未给出图形,则需要通过②中获取的信息构造几何图形进行解题.

9.(2016浙江杭州,19,4分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B.射线AG分别
交线段DE,BC于点F,G,且?AD =?DF .
AC CG
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若?AD =?1 ,求?AF 的值.
AC 2 FG
?

解析 (1)证明:因为∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,

所以∠ADF=∠C,又因为?AD =?DF ,
AC CG
所以△ADF∽△ACG.

(2)因为△ADF∽△ACG,所以?AD =?AF ,
AC AG

又因为?AD =?1 ,所以?AF =?1 ,

AC 2

AG 2

所以?AF =1.
FG

10.(2015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的 垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若∠AGD=∠BGC. (1)求证:AD=BC; (2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求?AD 的值.
EF
??

解析 (1)证明:由题意知直线GE是AB的垂直平分线,∴GA=GB. 同理GD=GC. 在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC, ∴△AGD≌△BGC.∴AD=BC.? (5分) (2)证明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.
在△AGB和△DGC中,?GA =?GB ,∠AGB=∠DGC,
GD GC
∴△AGB∽△DGC.∴?AG =?EG .? (8分)
DG FG
又∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF.? (10分) (3)如图①,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AH⊥BH.
?
图①

由△AGD≌△BGC,知∠GAD=∠GBC.

在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB,

∴∠AGB=∠AHB=90°,? (12分)

∴∠AGE=?1 ∠AGB=45°,∴?AG =?2.

2

EG

又△AGD∽△EGF,∴?AD =?AG =?2 .? (14分)
EF EG
(本小题解法有多种,如可按图2和图3作辅助线求解,过程略)

?

?

图②

图③

评析 本题综合考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线、三角形全等和相似

的判定方法和性质,属于拓展探索型题,学生要有较强的基本功和综合分析问题的能力.

11.(2015福建福州,25,13分)如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠ AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M. (1)求证:DM=DA; (2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF; (3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.
?

解析 (1)证明:∵DM∥EF, ∴∠AMD=∠AFE. ∵∠AFE=∠A, ∴∠AMD=∠A. ∴DM=DA. (2)证明:∵D,E分别为AB,BC的中点, ∴DE∥AC. ∴∠DEB=∠C,∠BDE=∠A. 又∠AFE=∠A, ∴∠BDE=∠AFE. ∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC. ∵∠BDG=∠C, ∴∠EDG=∠FEC. ∴△DEG∽△ECF.

(3)解法一:如图所示, ∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B, ∴△BDG∽△BED.
∴?BD =?BG ,即BD2=BE·BG.
BE BD
∵∠A=∠AFE,∠B=∠CFH, ∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH. 又∵∠FEH=∠CEF, ∴△EFH∽△ECF.

∴?EH=?EF,
EF EC
即EF2=EH·EC. ∵DE∥AC,DM∥EF, ∴四边形DEFM是平行四边形. ∴EF=DM=AD=BD. ∵BE=EC,∴EH=BG=1. 解法二:如图,在DG上取一点N,使DN=FH.
?
∵∠A=∠AFE,∠ABC=∠CFH,∠C=∠BDG, ∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠C=∠BDG.

∵DE∥AC,DM∥EF, ∴四边形DEFM是平行四边形. ∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN≌△EFH. ∴BN=EH,∠BND=∠EHF. ∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C,∠DBG=∠CFH,∴∠BGD=∠FHC.∴∠BNG=∠BGD.∴BN= BG.∴EH=BG=1. 解法三:如图,取AC中点P,连接PD,PE,PH,则PE∥AB.
?
∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B, ∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,

∴△CEP∽△CFH.∴?CE=?C.P
CF CH
∴△CEF∽△CPH. ∴∠CFE=∠CHP.由(2)可得∠CFE=∠DGE, ∴∠CHP=∠DGE.∴PH∥DG.
∵D,P分别为AB,AC的中点,∴DP∥GH,DP=?1 BC=BE.
2
∴四边形DGHP是平行四边形. ∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1. 解法四:如图,作△EHF的外接圆交AC于另一点P,连接PE,PH.
?
则∠HPC=∠HEF,∠FHC=∠CPE.

∵∠B=∠CFH,∠C=∠C, ∴∠A=∠CHF.∴∠A=∠CPE. ∴PE∥AB. ∵DE∥AC, ∴四边形ADEP是平行四边形.
∴DE=AP=?1 AC.∴DE=CP.
2
由(2)可得∠GDE=∠CEF,∠DEB=∠C, ∴∠GDE=∠CPH.∴△DEG≌△PCH. ∴GE=HC.∴EH=BG=1. 解法五:如图,取AC中点P,连接PE,PH,则PE∥AB.
?

∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,
∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP∽△CFH.∴?CE =?CP .
CF CH
∴△CEF∽△CPH.∴∠CEF=∠CPH. 由(2)可得∠CEF=∠EDG,∠C=∠DEG. ∵D,E分别是AB,BC的中点,
∴DE=?1 AC=PC.∴△DEG≌△PCH.∴CH=EG.∴EH=BG=1.
2

12.(2014安徽,17,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ ABC(顶点是网格线的交点). (1)将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1; (2)请画一个格点△A2B2C2,使△A2B2C2∽△ABC,且相似比不为1.
?

解析 (1)作出△A1B1C1,如图所示.
?
(4分) (2)本题是开放题,答案不唯一,只要作出的△A2B2C2满足条件即可.如图.? (8分) 评析 本题主要考查了相似和平移变换,找出变换后图形对应点的位置是解题关键,属容易题.

13.(2014上海,22,10分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE ⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH. (1)求sin B的值; (2)如果CD=?5 ,求BE的长.
?

解析 (1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴AB=2CD=2BD,∴∠DCB= ∠B. ∵AH⊥CD,∴∠AHC=∠CAH+∠ACH=90°. 又∵∠DCB+∠ACH=90°, ∴∠CAH=∠DCB=∠B.

∴△ABC∽△CAH.∴?AC=?C.H
BC AH
又∵AH=2CH,∴BC=2AC.可设AC=k,BC=2k,

在Rt△ABC中,AB=?=A?C2k.? BC2 5

∴sin B=?AC=?5.

AB 5

(2)∵AB=2CD,CD=?,∴AB=2?.

5

5

在Rt△ABC中,AC=AB·sin B=2?×?=52.∴BC=2AC=4. 5 5
在Rt△ACE和Rt△AHC中,tan∠CAE=?CE=?C=H?.1

∴CE=?1 AC=1.∴BE=BC-CE=3.

AC AH 2

2

14.(2014浙江绍兴,20,8分)课本中有一道作业题: 小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题.

(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图 1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算; (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定, 但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
?

? 图1

图2

解析 (1)设PQ=x,∵△APN∽△ABC,

∴?PN=?AE,
BC AD

∴?2x=?80,?解x得x=?, 240

120 80

7

∴PN=2x=?480.
7

∴这个矩形零件的两条边长分别为?240mm,?48m0m.

7

7

(2)设PQ=x,∵△APN∽△ABC,

∴?PN=?AE,∴?P=N?8,0 ? x
BC AD 120 80
解得PN=120-?3 x,
2
∴ ∴S当矩形x=PQ4M0N=,即x????P1Q2=0=-?4?032 xmx2???+m1,2P320Nx==6-0?m(mx-时4032,)矩2+2形4面00积, 最大.

三年模拟 A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点1 相似的基本概念
(2016无锡宜兴三模,4)如图,在△ABC中,DE∥BC,?AADB =?13 ,则下列结论中正确的是? ( )
?

A.?AE =?1 B.?DE =?1

EC 3

BC 2

C.?AADBCE的的周周长长

=?1
3

D.?AADBCE的的面面积积

=?1
3

答案 C 由DE∥BC,?AD =?1 可知△ADE∽△ABC,且相似比为?1 ,所以?AE =?1 ,?DE =?1 ,故A、B

AB 3

3

EC 2 BC 3

错误;因为相似三角形的周长之比等于相似比,所以?AADBCE的的周周长长

=?1 ,故C正确;因为相似三角形
3

的面积之比等于相似比的平方,所以?AADBCE的的面面积积

=?1 ,故D错误.故选C.
9

考点2 相似三角形的性质与判定

1.(2018淮安一模,13)为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组进

行了如下探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案:把一

面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看

到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.4米,观察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度为

米.

?

答案 5.6
解析 根据题意,易得∠CDE=∠ABE=90°,∠CED=∠AEB, 则△ABE∽△CDE,
则?BE =?AB ,即?8.4 =?AB ,
DE CD 2.4 1.6
解得AB=5.6. 故树(AB)的高度为5.6米.

2.(2018宿迁宿豫一模,12)已知△ABC∽△DEF,且S△ABC=4,S△DEF=9,则?DABE =

.

答案 ?2
3

解析 ∵△ABC∽△DEF,S△ABC=4,S△DEF=9,

? ? ? ∴ S S

ABC DEF

=

AB DE

2 2

=4
9

,

∴?AB =?2 .
DE 3

3.(2017扬州一模,18)如图所示的平面直角坐标系中,O(0,0),A(6,6?3 ),B(12,0).将△OAB沿直线

CD折叠,使点A恰好落在线段OB上的点E处,若OE=?24 ,则CE∶DE的值是

.

5

?

答案 ?7
8

解析 如图,过点A作AF⊥OB于F,
?
A(6,6?3 ),B(12,0), ∴AF=6?3 ,OF=6,OB=12, ∴BF=6,∴OF=BF, ∴AO=AB.
∵tan∠AOB=?AF =?3 ,
OF
∴∠AOB=60°, ∴△AOB是等边三角形, ∴∠AOB=∠ABO=∠OAB=60°,

∵将△OAB沿直线CD折叠,使点A恰好落在线段OB上的点E处, ∴∠CED=∠OAB=60°, 又∠COE+∠OCE=∠CED+∠DEB, ∴∠OCE=∠DEB, ∴△CEO∽△EDB,

∴?OE=?CE=?C,O
BD ED EB
设CE=a,则CA=a,CO=12-a,

设ED=b,则AD=b,DB=12-b,

? ? 24
则 5 =?a= 12 ?,a
12 ? b b 36
可得?a =7?, 5

b8
即CE∶DE=?7 .故答案为7?.

8

8

B组 2016—2018年模拟·提升题组
(时间:20分钟 分值:25分)
解答题(共20分)
1.(2018淮安洪泽一模,26)【问题引入】已知:如图BE,CF是△ABC的中线,BE,CF相交于G.求
证:?GE=?GF=?1 .
GB GC 2
证明:连接EF,∵E,F分别是AC,AB的中点,
∴EF∥BC且EF=?1 BC,
2
∴△GEF∽△GBC,
∴?GE=?GF=?E=F?1.
GB GC BC 2
【思考解答】 (1)连接AG并延长交BC于H,点H是不是BC的中点? (2)①如果M,N分别是GB,GC的中点,那么四边形EFMN是什么四边形?
②当?AB的值为多少时,四边形EFMN是矩形?
AC
③当?AH的值为多少时,四边形EFMN是菱形?
④如果BCAB=AC=10,BC=16,则四边形EFMN的面积S为多少?

解析 (1)连接EF,交AG于O.
∵E,F分别是AC,AB的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC且EF=?1 BC,
2
∴?GE =?GF =?EF =?1 .
GB GC BC 2
∵OE∥BH,
∴?OE =?GE =?1 .
BH GB 2
∵OE∥CH,
∴?OE =?AE =?1 .
CH AC 2
∴?OE =?OE ,
BH CH
∴BH=CH,即点H是BC的中点.
(2)①∵M,N分别是GB,GC的中点,
∴MN是△GBC的中位线,

∴MN∥BC且MN=?1 BC.
2
由(1)可得,EF∥BC且EF=?1 BC,
2
∴EF∥MN,EF=MN, ∴四边形EFMN是平行四边形. ②当四边形EFMN是矩形时,FG=EG.
∵?GE=?GF=?1 ,
GB GC 2
∴GB=GC, ∴∠GBC=∠GCB. 又∵H是BC的中点, ∴GH⊥BC,即AH⊥BC, ∴AH垂直平分BC, ∴AB=AC,
∴?AB的值为1.
AC

③当四边形EFMN是菱形时,MN=FM.
∵MN是△BCG的中位线,
∴MN=?1 BC.
2
∵FM是△ABG的中位线,
∴FM=?1 AG.
2
又∵G是△ABC的重心,
∴AG=?2 AH,
3
∴FM=?1 AG=1?AH,
23
∴?1 BC=1?AH,即3BC=2AH,
23
∴?AH=?3 .
④当BCAB=2AC时,由②可得四边形EFMN是矩形,AH⊥BC.
∵AB=10,BC=16,

∴BH=?1 BC=8,AH=6.
2
∵MN是△BCG的中位线,
∴MN=?1 BC=8.
2
∵FM是△ABG的中位线,
∴FM=?1 AG=1?AH=2,
23
∴矩形EFMN的面积S=FM×MN=2×8=16.
解题关键 本题属于相似形综合题,主要考查了三角形重心性质,相似三角形的判定与性质,三 角形中位线定理的综合应用,解决问题的关键是掌握:重心到顶点的距离与重心到对边中点的 距离之比为2∶1;三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

2.(2017泰州一模,27)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=60°,∠BAC=∠ACD=90°,点E为边AB上 一点,AB=3AE=3 cm,动点P从B点出发,以1 cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止,设运动 时间为t s. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形; (2)当△BEP为等腰三角形时,求t2-31t的值; (3)当t=4时,把△ABP沿直线AP翻折,得到△AFP,求△AFP与?ABCD重叠部分的面积.
?

???B ? ?D,
解析 (1)证明:在△ABC和△CDA中, ???BAC ? ?DCA,
??AC ? AC,
∴△ABC≌△CDA(AAS). ∴AB=CD,BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. (2)如图1所示,当点P在BC上运动时,
?
图1 ∵AB=3AE=3 cm, ∴AE=1 cm,BE=2 cm,

∵△BEP为等腰三角形,∠B=60°, ∴△BEP为等边三角形. ∴BP=BE=3-1=2 cm. 又∵点P运动的速度为1 cm/s, ∴t=2. ∴t2-31t=22-31×2=-58. 如图2所示,当点P在AD上运动时, ∵△BEP为等腰三角形, ∴EB=EP,作PQ⊥AB交BA的延长线于Q,
?
图2

∵∠ABC=60°,AD∥BC, ∴∠QAP=60°. 又∵∠Q=90°, ∴∠QPA=30°.
∴AQ=?12 AP.
∵∠BAC=90°,∠ABC=60°, AB=3 cm,∴BC=6 cm,

∴AQ=?15 ? t cm,∴PQ=?3 AQ=?15 3 ? 3t cm.

2

2

? ? 在Rt△EQP中,由勾股定理得

? ??

15 ? 2

t

2
? 1???

?
+?
?

15

3? 2

2

3t

? ?

=22,整理得t2-31t=-237.

?

易知P在CD上运动时,△BEP不能为等腰三角形.

(3)当t=4时,P在BC上,如图所示,设PF与AD交于点M,作MN⊥AP于N,AH⊥BP于H.

?

在Rt△ABH中,∠B=60°,则BH=?1 AB=?3 cm,AH=?3 3 cm.

22

2

∴HP=4-?3 =?5 cm.
22

? ? ∴S△APH=?1 ×?5 × 3 3 =15 3 cm2. 22 2 8
在Rt△APH中,依据勾股定理可知AP=?13 cm.

由翻折的性质可知∠FPA=∠BPA.

∵AD∥BC,

∴∠BPA=∠DAP. ∴∠FPA=∠DAP. ∴AM=PM. 又∵MN⊥AP,

∴AN=NP=?13 cm. 2
∵∠AHP=∠MNP=90°,∠BPA=∠FPA,
∴△MPN∽△APH,

? ? ? ∴ S S

MNP APH

= ???

PN PH

2
? ??

=

13 25

.

? ? ? ∴S△MNP= 13 ×15 3 = 39 3 (cm2). 25 8 40

? ∴S△AMP=2S△MNP= 39 3 cm2. 20

思路分析 (1)先证△ABC≌△CDA,再根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证

明四边形ABCD是平行四边形;

(2)分类讨论P在BC,CD,DA上运动时,△BEP为等腰三角形的情况,求t2-31t的值;

(3)确定t=4时P点的位置,画图,确定重合部分的图形,利用相似,勾股定理求解.


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