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高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用自主训练新人教A版必修4

小初高 精选资料、感谢阅读下载 1.6 三角函数模型的简单应用 自主广场 我夯基 我达标 1.如图 1-6-8 所示,有一广告气球,直径为 6 m,放在公司大楼上空,当行人仰望气球中心 的仰角∠BAC=30°时,测得气球的视角为 2β =2°,若 θ 很小时,可取 sinθ ≈θ ,试估算 该气球的高 BC 的值约为( ) A.70 mB.86 mC.102 mD.118 m 图 1-6-8 思路解析:1°= ,在 Rt△ACD 中,AC= . 在 Rt△ABC 中,AC= , ∴ = . ∴BC= =3× × ≈86 m. 答案:B 2.如图 1-6-9 是一弹簧振子做简谐运动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移, 则这个振子振动的函数解析式是_______________. 图 1-6-9 思路解析:设函数解析式为 y=Asin(ω x+φ ), 则 A=2,由图象可知 T=2×(0.5-0.1)= , ∴ω = = . ∴ ×0.1+φ = . ∴φ = . 小初高 精选资料、感谢阅读下载 ∴函数的解析式为 y=2sin( x+ ). 答案:y=2sin( x+ ) 3.甲、乙两楼相距 60 米,从乙楼望甲楼顶的仰角为 45°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°, 则甲、乙两楼的高度分别为_____________. 思路解析:如图,甲楼的高度 AC=AB=60 米, 在 Rt△CDE 中,DE=CE·tan30°=60× = . ∴乙楼的高度为 BD=BE-DE=60- 米. 答案:60 米,60- 米 4.一树干被台风拦腰折断,两树干折成 60°角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,树干原 来的高度为_____________. 思路解析:如图,BC=20tan30°= , AB= , 所以树干原来的高度为 AB+BC= (米). 答案: 米 5.某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高至 900,其总量在此两值之间依正弦曲线 变化,且最小正周期为 12. (1)画出种群数量关于时间变化的图象; (2)求出种群数量作为时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的月为计量单位). 思路分析:根据给出的数据要计算出要求函数的周期、振幅等数据. 解:(1)种群数量关于时间变化的图象如图所示: 小初高 精选资料、感谢阅读下载 (2)设表示该曲线的三角函数为 y=Asin(ω x+φ )+k. 由已知平均数量为 800,最高数量与最低数量之差为 200,数量变化周期为 12 个月, 所以振幅 A= =100,即 ω = = ,k=800. 又 7 月 1 日种群数量达到最高,所以 ×7+φ = .而 φ =- . 所以种群数量关于时间 t 的函数表达式为 y=100sin (t-4)+800. 6.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设 计如图 1-6-10:图(1)的过水断面为等腰△ABC,AB=AC,过水湿周 l1=AB+AC;图(2)的过水 断面为等腰梯形 ABCD,AB=CD,AD∥BC,∠BAD=60°,过水湿周 l2=AB+BC+CD.若△ABC 与等腰 梯形 ABCD 的面积都为 S. 图 1-6-10 (1)分别求 l1 与 l2 的最小值(a2+b2≥2ab); (2)为使流量最大,给出最佳设计方案. 思路分析:解答此题首先要分别求出两个变量的函数表达式,然后可利用三角函数及不等式 的性质求最值. 解:在图(1)中,设∠ABC=θ ,AB=AC=a,则 S= a2sinθ ,由于 S,a,sinθ 皆为正值,可 解得 a= ,当且仅当 sinθ =1 时,即 θ =90°时,取等号.所以 l1=2a≥ . 在图(2)中,设 AB=CD=m,BC=n,由∠BAD=60°,可求得 AD=m+n,S= (n+m+n)· m,解得 n= . l2=2m+n=2m+ -= + . 当且仅当 = ,即 m= 时,取等号. 通过比较,可得 l1min>l2min,所以最佳方案应该是图(2)所示的方案. 我综合 我发展 小初高 精选资料、感谢阅读下载 7.游乐场中的摩天轮匀速旋转,其中心 O 距地面 40.5 m,半径 40 m,若从最低点处登上摩 天轮,那么你与地面的距离将随时间变化,5 min 后到达最高点,在你登上摩天轮时开始记 时.你能完成下面的问题吗? (1)当你登上摩天轮 2 min 后,你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮,请求出你的朋友 与地面的距离 y 关于时间 t 的函数关系式; (2) 你 和 你 的 朋 友 与 地 面 的 距 离 差 何 时 最 大 ? 最 大 距 离 差 是 多 少 ? (sinα -sinβ =2cos sin ) (3)如果规定每位游客乘坐摩天轮观景的时间是每次 20 min,从你的朋友登上摩天轮的时间 算起,什么时候你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离? 解:根据已知,可求得你与地面距离 y 与时间 t 的函数关系式为 y=40sin( t )+40.5. (1)你的朋友比你晚 2 min 登上摩天轮,即沿时间轴向右平移 2 个单位,得出你的朋友与地 面距离 y 关于 t 的函数关系式为: y=40sin[ (t-2) ]+40.5,即 y=40sin( t- )+40.5. (2)距离差为|y1-y2|=40|sin( t )-sin( t- )| =80cos( t- )sin .当 cos( t- )=1,即 t- =0, t=3.5 min 时,h 达到最大,最大值距离差约为 47 m. (3)令 h<0,即 sin( t- )<0,故(2k+1)π < t- <(2k+2)π (k∈Z),因为两位游客 乘坐摩天轮的时间是每次 20 min,因此从你登上摩天

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