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2016-2017学年高中数学苏教版选修1-2学业分层测评 2.1.1 第1课时 归纳推理 Word版含解析

学业分层测评(三) 第 2 章 2.1.1 第 1 课时
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.观察下列各式: a+b=1, a2+b2=3, a3+b3=4, a4+b4=7, a5+b5=11, ?, 则 a10+b10=________. 【解析】 从给出的式子特点观察可推知等式右端的值,从第三项开始,后 一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和, 照此规律, 则 a10+b10=123. 【答案】 123

归纳推理

2.经计算发现下列不等式: 2+ 18<2 10, 4.5+ 15.5<2 10, 3+ 2+ 17- 2<2 10,?根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数 a,b 都成立的 条件不等式:________. 【解析】 ∵ 2+18 =10, 2

4.5+15.5 3+ 2+17- 2 =10, =10, 2 2 ∴不难得出,若 a+b=20, a+ b<2 10. 【答案】 若 a+b=20,则 a+ b<2 10

3.观察下列等式: 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?, 照此规律,第 n 个等式可为________. 【解析】 12=1,

12-22=-(1+2),

12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4), ?, 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+?+n)=(-1)n+1 【答案】 n?n+1? 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=(-1)n+1 2
013

n?n+1? 2 .

4.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 041,?,则 72 ________.

的末两位数字为

【解析】 因为 71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807, 76=117 649, ?, 所以这些数的末两位数字呈周期性出现,且周期 T=4. 又 2 013=4×503+1, 所以 72 013 的末两位数字与 71 的末两位数字相同,为 07. 【答案】 07 x (x>0),观察: x+2

5.设函数 f(x)= f1(x)=f(x)=

x , x+2 x , 3x+4 x , 7x+8 x , 15x+16

f2(x)=f((f1(x))= f3(x)=f((f2(x))= f4(x)=f((f3(x))= ?

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 【解析】 函数结果的分母中 x 项系数所组成的数列为 1,3,7,15,?,可推

知该数列的通项公式为 an=2n-1. 分母中常数项依次为 2,4,8,16,?,其通项为 2n. 又函数中,分子都是 x. x ∴当 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))= n . ?2 -1?x+2n

【答案】

x ?2 -1?x+2n
n

6.(2016· 青岛高二检测)容易计算 2×5=10,22×55=1 210,222×555=123 210,2 222×5 555=12 343 210.根据此规律猜想22?22×55?55所得结果由左向
9位 9位

右的第八位至第十位的三个数字依次为________. 【解析】 由已知可归纳出22?22×55?55=123 456 789 876 543 210,所
9位 9位

得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为 898. 【答案】 898

7.(2016· 东北三校高二联考)某种平面分形图如图 215 所示,一级分形图是 由一点出发的三条线段,长度均为 1,两两夹角为 120° ;二级分形图是在一级分 1 形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的3的线段,且这两条线段与 原线段两两夹角为 120° ,?,依此规律得到 n 级分形图.

图 215 则 n 级分形图中共有________条线段. 【解析】 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级 分形图中有 3=3×2-3 条线段, 二级分形图中有 9=3×22-3 条线段,三级分形图 中有 21=3×23-3 条线段, 按此规律得 n 级分形图中的线段条数 an=3· 2n-3(n∈N*). 【答案】 3· 2n-3(n∈N*)

8.把正整数按一定的规则排成了如图 216 所示的三角形数表, 设 aij(i, j∈N*) 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 行.如 a42=8,若 aij =2 009.则 i 和 j 的和为________.

1 2 3 6 9 14 ?

4 5 7 8 10 12 11 13 15 17 16 18 20 22 ? ? ? ? 图 216

24 ?

?

【解析】

由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2

009=2×1 005-1, 所以 2 009 为第 1 005 个奇数, 又前 31 个奇数行内数的个数的 和为 961, 前 32 个奇数行内数的个数的和为 1 024, 故 2 009 在第 32 个奇数行内, 所以 i=63,因为第 63 行的第一个数为 2×962-1=1 923,2 009=1 923+2(m-1), 所以 m=44,即 j=44,所以 i+j=107. 【答案】 二、解答题 1 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1 且 Sn-1+S +2=0(n≥2),计算 S1,
n

107

S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式. 【解】 当 n=1 时,S1=a1=1;
2

1 1 当 n=2 时,S =-2-S1=-3,∴S2=-3; 1 5 3 当 n=3 时,S =-2-S2=-3,∴S3=-5;
3

1 7 5 当 n=4 时,S =-2-S3=-5,∴S4=-7.
4

2n-3 猜想:Sn=-2n-1(n∈N*) 10.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示 数.他们研究过如图 217 所示的三角形数:

图 217 将三角形数 1,3,6,10,?记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到 大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:

(1)b2 014 是数列{an}的第几项? (2)用 k 表示 b2k-1. 【解】 (1)an=1+2+?+n= n?n+1? 2 ,

4×5 5×6 b1= 2 =a4,b2= 2 =a5, 9×?2×5? ?2×5?×11 b3= = a =a10, 9,b4= 2 2 14×?3×5? b5= =a14, 2 ?3×5?×16 b6= =a15, 2 ? ?2 014 ??2 014 ? ? 2 ×5?? 2 ×5+1? ? ?? ? b2 014= =a5 035. 2 即 b2 014 是数列{an}的第 5 035 项. (2)由(1)知 ?2k-1+1 ??2k-1+1 ? ? ?? ? × 5-1 × 5 ? 2 ?? 2 ? b2k-1= 2 = 5k?5k-1? 2 . [能力提升] 1.(2016· 广东广州一模 ) 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著 的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.

该表由若干行数字组成, 从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两 数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为__________. 【解析】 由题意知数表的每一行都是等差数列,

且第一行数的公差为 1, 第二行数的公新式为 2, 第三行数的公差为 4, ??, 第 2 015 行数的公差为 22014,

第 1 行的第一个数为 2×2-1, 第 2 行的第一个数为 3×20, 第 3 行的第一个数为 4×21, ?? 第 n 行的第一个数为(n+1)×2n-2, 第 2016 行只有一个数 M, 则 M=(1+2 016)×22 014=2 017×22014. 【答案】 2017×22014

3 1 1 3 1 4 1 1 3 1 2.观察下列等式: ×2=1-22, ×2+ ×22=1×2+ 2, 1×2 1×2 2×3 3×2 1×2 4 1 5 1 1 ×22+ ×23= 1,?,由以上等式推测到一个一般的结论:对于 2×3 3×4 4×23 n∈N*, n+2 3 1 4 1 1 ×2+ ×22+?+ ×2n=________. 1×2 2×3 n?n+1? 1 观察所给等式知,第 n 个等式的右边为 1. ?n+1?×2n 1 1?n+1?×2n

【解析】 【答案】

3 3 3.已知 sin230° +sin290° +sin2150° =2,sin25° +sin265° +sin2125° =2.通过观 察上述两等式的规律,请写出一个一般性的命题:___________________. 【答案】 3 sin2(α-60° )+sin2α+sin2(α+60° )=2

4.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图 218①②③④所示为她们刺绣的 最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多,刺绣越 漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个 小正方形.

图 218 (1)求 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,

并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1 1 1 1 + + +?+ 的值. f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1 (1)f(5)=41.

【解】

(2)f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ?? 由上式规律,得 f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(n+1)=f(n)+4n, f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时, ∴ 1 1 1? 1 1? = =2?n-1-n?, ? ? f?n?-1 2n?n-1?

1 1 1 1 + + +?+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1? =1+2?1-2?+2?2-3?+?+2?n-1-n? ? ? ? ? ? ? 1? 1? 3 1 =1+ ?1- ?= - . 2? n? 2 2n


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