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高一数学用二分法求方程的近似解测试题

用二分法求方程的近似解习题

1.下列函数零点不宜用二分法的是( A.f(x)=x3-8

)

B.f(x)=lnx+3

C.f(x)=x2+2 2x+2 D.f(x)=-x2+4x+1 【解析】 【答案】 由题意知选 C. C

2.用二分法求方程 f(x)=0 在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0, f(1.25)<0,则方程的根在区间( A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) )

C.(1.5,2) D.不能确定 【解析】 A. 【答案】 A 由题意知 f(1.25)· f(1.5)<0,∴方程的根在区间(1.25,1.5)内,故选

3. 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 参考数据如下: f(1)=-2 f(1.375)=- 0.260 f(1.5)=0.625 f(1.437 5)= 0.162 f(1.25)=-0.984 f(1.406 25)=-0.054

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确度 0.1)为________. 【解析】 根据题意知函数的零点在 1.406 25 至 1.437 5 之间,

因为此时|1.437 5 -1.406 25|=0.031 25<0.1 ,故方程的一个近似根可以是 1.437 5.答案不唯一,可以是[1.437 5,1.406 25]之间的任意一个数. 【答案】 1.437 5

4.求函数 f(x)=x2-5 的负零点(精确度 0.1). 【解析】 由于 f(-2)=-1<0,

f(-3)=4>0,
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故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如图: 区间 (-3,-2) (-2.5,-2) (-2.25,-2) (-2.25,-2.125) (-2.25, -2.187 5) 中点 -2.5 -2.25 -2.125 -2.187 5 -2.218 75 中点函数值(或近似值) 1.25 0.0625 -0.484 4 -0.214 8 -0.077 1

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似负零点可取-2.25.

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) ?1? 1.方程?2?x=ln x 的根的个数是( ? ? A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 ?1? 方法一:令 f(x)=ln x-?2?x, ? ? )

1 1 则 f(1)=-2<0,f(e)=1-2e>0, ∴f(x)在(1,e)内有零点.又 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在定义域内仅有 1 个零点. ?1? 方法二:作出 y=?2?x 与 y=ln x 的图象观察可知只有一个交点.故选 B. ? ? 【答案】 B )

2.方程 2x-1+x=5 的解所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4) 【解析】 令 f(x)=2x-1+x-5,则 f(2)=2+2-5=-1<0,f(3)=22+3-5

=2>0,从而方程在区间(2,3)内有解.故选 C. 【答案】 C

3.利用计算器,算出自变量和函数值的对应值如下表:
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x y=2x y=x2

0.2 1.149 0.04

0.6 1.516 0.36

1.0 2.0 1.0

1.4 2.639 1.96

1.8 3.482 3.24 )

2.2 4.595 4.84

2.6 6.063 6.76

3.0 8.0 9.0

3.4 10.55 6 11.56

… … …

那么方程 2x=x2 的一个根所在区间为( A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8)

C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0) 【解析】 设 f(x)=2x-x2,由表格观察出在 x=1.8 时,2x>x2,即 f(1.8)>0; 在 x=2.2 时,2x<x2,即 f(2.2)<0.所以 f(1.8)· f(2.2)<0,所以方程 2x=x2 的一个根 位于区间(1.8,2.2)内.故选 C. 【答案】 C )

1 4.函数 f(x)=ex-x的零点所在的区间是( 1? ? A.?0,2? ? ? 3? ? C.?1,2? ? ? 【解析】 ?1 ? B.?2,1? ? ? ?3 ? D.?2,2? ? ? 1 f(2)= e-2<0,

f(1)=e-1>0, 1 ∵f(2)· f(1)<0, ?1 ? ∴f(x)的零点在区间?2,1?内,故选 B. ? ? 【答案】 B

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)· f(4)<0,给定 2+4 精确度 ε=0.01,取区间(2,4)的中点 x1= 2 =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零 点 x0∈________(填区间). 【解析】 【答案】 由 f(2)· f(3)<0 可知. (2,3)

6.用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实数根时,取区间中间 x0
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=2.5,那么下一个有根区间是________. 【解析】 ∵f(2)<0,f(2.5)>0,

∴下一个有根区间是(2,2.5). 【答案】 (2,2.5)

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求方程 2x3+3x-3=0 的一个近似解(精确度 0.1). 【解析】 设 f(x)=2x3+3x-3,经试算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,所以函 数在(0,1)内存在零点,即方程 2x3+3x-3=0 在(0,1)内有实数解,取(0,1)的中点 0.5,经计算 f(0.5)<0,又 f(1)>0,所以方程 2x3+3x-3=0 在(0.5,1)内有解. 如此继续下去,得到方程的一个实数解所在的区间,如下表: (a,b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) (a,b)的中点 0.5 0.75 0.625 0.687 5 f(a) f(0)<0 f(0.5)<0 f(0.5)<0 f(0.625)<0 f(b) f(1)>0 f(1)>0 f(0.75)>0 f(0.75)>0 ?a+b? ? f? ? 2 ? f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 f(0.687 5)<0

因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以方程 2x3+3x-3=0 的精确度为 0.1 的一个近似解可取为 0.75. 8.求方程 ln x+x-3=0 在(2,3)内的根(精确到 0.1). 【解析】 令 f(x)=ln x+x-3,即求函数 f(x)在(2,3)内的零点.

用二分法逐步计算.列表如下: 区间 [2,3] [2,2.5] [2,2.25] [2.125,2.25] [2.187 5,2.25] 由于区间[2.187 5,2.25]的长度 2.25-2.187 5=0.062 5<0.1,所以其两个端点 的近似值 2.2 就是方程的根. 中点 2.5 2.25 2.125 2.187 5 中点函数值 0.416 3 0.060 9 -0.121 2 -0.029 7

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9.(10 分)在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路 发生了故障,这是一条 10 km 长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆 子,10 km 长,大约有 200 多根电线杆子呢!想一想,维修线路的工人师 傅怎样工作最合理? 【解析】 如图

他首先从点 C 查,用随身带的话机向两端测试时,发现 AC 段正常,断定故 障在 BC 段,再查 BC 段中点 D,这次发现 BD 段正常,可见故障在 CD 段, 再查 CD 中点 E. 这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过 7 次查找,即可 将故障发生的范围缩小到 50 m~100 m 之间,即一两根电线杆附近.

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