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新疆兵团农二师华山中学高中数学1.1.2余弦定理学案(无答案)新人教版必修5

§1.1.2

余弦定理

学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 学习过程 一、课前准备 复习 1 :在一个三角形中,各 = .

和它所对角的



相等,即

=

复习 2:在△ABC 中,已知 c ? 10 ,A=45?,C=30?,解此三角形.

思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?

二、新课导学 ※ 探究新知 问题:在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . C AC ? ∵ ∴ AC ? AC ?
A b c a B



同理可得: a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . 新知: 余弦定理: 三角形中任何一边的 夹角的 的积的两倍. 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的

思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论: b2 ? c 2 ? a 2 , , cos A ? 2bc . [理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cos C ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;
1

②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 试试: (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150 ,求 b .

(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

※ 典型例题 例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45 ,求解三角形 .

2

变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC= 10



例 2. 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角.

变式:在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已 知两边及它们的夹角,求第三边 .

3

※ 知识拓展 在△ABC 中, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角. ※ 当堂检测 1. 已知 a= 3 ,c=2,B=150°,则边 b 的长为( A. ).

34 2

B.

34

C.

22 2

D.

22
3 、 5 、 7 , 则 最 大 角 为

2. 已 知 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 ( ). A. 60 B. 75 C . 120 D. 150

3. 已知锐角三角形的边长分别为 2 、3、 x ,则 x 的取值范围是 ( ). A. 5 ? x ? 13 C. 2 ? x ? 5 B. 13 ? x ? 5 D. 5 ? x ? 5

4. 在 △ ABC 中, | AB | = 3 , | AC | = 2 , AB 与 AC 的夹 角为 60 °, 则 | AB - AC | = .

5. 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足

b2 ? a 2 ? c 2 ? ab ,则∠C 等于



课后作业 1. P8课后练习第1、2题 2. 在△ABC 中, 若 C 为钝角, 则下列结论正确的是 2 2 2 2 2 2 A.a +b >c B.a +b <c 2 2 2 C.a +b =c D.-cosC<0 3.已知三角形三边长分别为 3,5,7,则此三角形的最大角为 ( ) A.60° B.75° C. 120° D. 150°





4.三角形两边长分别为 5 和 3, 它们夹角的余弦是方程 5x -7x-6=0 的根, 则三角形的另一边 长为 ; 5.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A

2

4

6、在△ABC 中,已知 AB= 5,AC=5, cosC=

9 ,求 BC 的值。 10

7、在 ? ABC中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角A。

8、在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则判断△ABC的形状。

9、思考:如何利用余弦定理判断三角形的形状? 在△ABC中,若 2 2 2 a +b =c ,则∠C 90° 2 2 2 a +b >c ,则∠C 90° 2 2 2 a +b <c ,则∠C 90°

10、三角形的三边分别为 4、6、8,则此三角形为 ( ) A、锐 角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不存在 11、在 钝 角 三 角 形 ABC 中 , 若

sin A ? sin B ? sin C





5

( ) A. cos A ? cos C ? 0 B. cos B ? cos C ? 0 C. cos A ? cos B ? 0 D. cos A ? cos B ? cos C ? 0 12、在 ?ABC 中, a ? 12, b ? 13, C ? 60 ,此三角形的解的情况是( A.无解 B. 一解 C. 二解 D. 不能确定
?



13、在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 7 , c ? 2 ,那么 B= 14 、在 ?ABC 中,已知 A ? B ? C 且 A ? 2C , b ? 4 , a ? c ? 8 ,则 a、c 的长分 别 为 。
? 2

15、在 ?ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则 ?ABC 的形状为 16、根据下列条件解三角形 ⑴ a ? 20 , b ? 29 , c ? 21



⑵ b ? 8, c ? 3, A ? 30

?

⑶ a ? 3, b ? 4, A ? 60

?

6

⑷ a ? 3 , b ? 1, A ? 120

?

17、根据下列条件,判断三角形的形状 ⑴在 ?ABC 中,

1 ? cos A a ? ; 1 ? cos B b

⑵在 ?ABC 中,若

3 a3 ? b3 ? c 3 2 ? c 且 sin A sin B ? ; 4 a?b?c

7

⑶在 ?ABC 中,

(a2 ? b2 ) sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) sin( A ? B) ;

(4)在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.

18、在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC=

13 ,求最大角的余弦值. 14

19、在△ABC 中, a : b : c ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,求△ABC 的内角的度数。

8

课外延伸 1、在 ?ABC 中 , AB ? ( )

3 , AC ? 1 , 且 B ? 30? , 则 ?A B C的 面 积 等 于

3 2 3 或 3 C、 2
A、

B、

3 4 3 3 或 D、 4 2
?

2 、若 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 ( a ? b)2 ? c 2 ? 4 ,且 C ? 60 ,则 ab 的值 为( ) B、 8 - 4 3
2 2

4 A、 3

C、1
2

D、

2 3


3.在 ?ABC , sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是(

? ?? ? 6? ? ? ?? C、 ? 0, ? 3? ?
A、 ? 0,

B、

?? ? ,? ? ? ?6 ? ?? ? D、 ,? ? ? 3 ? ?

4、已知 ?ABC 的三边 a,b,c 满足 b ? ac ,
2

p ? sin B ? cos B ,则 p 的取值范围为
5、在 ?ABC 中,已知 (b ? c ) : (c ? a) : ( a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,给出下列结论: (1)由已知条件,这个三角形被唯一确定 (2) ?ABC 一定是钝角三角形 (3) sin A : sin B : sin C ? 7 : 5 : 3 (4)若 b ? c ? 8 ,则 ?ABC 的面积 其中正确的有 → → → → → → 6、在△ABC 中,已知|AB|=3,|AC|=2,AB与AC的夹角是 60°,则|AB-AC|= 7、在△ABC 中,已知 ?B ? 30 ,AB ? 2 3 ,面积 S ?
?

15 3 2



3 ,求 AC ;

9

8、在△ABC 中,已知 ?a ? b ? c ? ? ( a ? b ? c ) ? 3ab ,且 2 cos A sin B ? sin C ,判断△ABC 的 形状。

2 2 9.已知△ABC 外接圆半径 R ? 1 ,且有 sin A ? sin C ? ( 2 ? ) sin A sin B ,求 ?ABC

b a

面积的最大值。

10、在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A ,求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的 值 3

?

10

11 、 在 ?ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 设 S 为 ?ABC 的 面 积 , 满 足

S?

3 2 (a ? b2 ? c 2 ) 4

(1)求角 C 的大小 (2)求 sin A ? sin B 的最大值

11


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