当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学人教A版必修4课件:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 _图文

2.4.2 平面向量数量积的坐标
表示、模、夹角

1.平面向量的数量积
(1)坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a·b=_x_1x_2_+_y_1_y_2 . (2)语言叙述:两个向量的数量积等于_它__们__对__应__坐__标__的__ _乘__积__的__和__. (3)特例:a⊥b?_x_1x_2_+_y_1_y_2=_0_.

2.平面向量模、夹角公式



?x?x? ??y?y? 若表示向量a的有向线段的起点与终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|=__2________________2

12

12

夹角

若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是a与b的夹角,
a b x x ?y y 则cosθ = =________________

12

12

ab

x12 ?y12 x22 ?y22

【点拨】(1)向量垂直的坐标表示

向量垂直与向量平行的条件容易混淆,注意以下特点

坐标表示

记忆口诀

垂直 平行

a⊥b?x1x2+y1y2=0 a∥b?x1y2-x2y1=0

对应相乘和为0 交叉相乘差为0

(2)向量夹角θ 的范围
x1x2+y1y2>0 x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2<0

?
0≤θ <
2
?
θ=
2
?
<θ ≤π
2

【自我检测】

1.已知向量a=(1,2),b=(-1,m),若a⊥b,则m的值为

()

A.-2

B.2

C. 1

D.- 1

2

2

【解析】选C.因为向量a=(1,2),b=(-1,m),a⊥b,

所以a·b=-1+2m=0,解得m= 1 .
2

2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦为( )

A .6 3 B .6 5 6 5
【解析】选A.|a|=

C .1 3 D .1 3 5
32 ? 42=5,|b|= 52 ?122=13,

a·b=3×5+4×12=63,设a,b夹角为θ ,

所以cosθ = 63 = 63 .
5?13 65

3.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)=________. 【解析】a+b=(0,7),a-b=(4,-1), 故(a+b)·(a-b)=0×4-7=-7. 答案:-7

4.已知向量a,b满足a=(-4,3),a+b与a-b垂直,则|b|的 值是________. 【解析】因为a+b与a-b垂直,所以(a+b)·(a-b)=a2b2=0,所以b2=a2=25,所以|b|=5. 答案:5

类型一 数量积的坐标运算

【典例】1.已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2-(a-b)·b=

()

A.8

B.3+ 5 C.28

D.32

2.已知在平行四边形ABCD中, A C =(1,2),B D =(-3,2), 则 ADAC=________. 3.如图,在矩形ABCD中,AB= 2 ,BC=2,点E为BC的中点, 点F在边CD上,若 A BA F =2, 则 AEBF的值是________.

【审题路线图】1.由要求的向量式子?展开化简?代入 坐标运算 2.由 AC,B表D,示出 ?A数D量积运算. 3.矩形及其边长?建立坐标系、坐标化?表示出坐标? 数量积运算

【解析】1.选C.a2-(a-b)·b=a2-a·b+b2=25-(-4+6)

+5=28.

2.设AC,BD相交于点O,则A D = A O + O D = 1A C + 1B D =
22

(1 2, 1)+ (?3 2, 1)= 又(- 1=, 2(). 1,2)A,C所以

=(-1, A2D)·AC(1,2)=-1+4=3.

答案:3

3.以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建 立平面直角坐标系,设F(x,2), 所以 A E = ( 2 , 1 ) , A F = ( x , 2 ) , A B = ( 2 , 0 ) , 所以 A B A F = 2 x 所= 以2 x, =1,所以F(1,2), 所以 B F = ( 1 , 2 ) - (2 , 0 ) = ( 1 - 2 , 2 ) ,

所以 A EB F = 2. 答案: 2

【方法技巧】关于向量数量积的运算 (1)在计算数量积的过程中,注意数量积运算律的应用, 强调先化简再代入坐标运算. (2)注意平面向量基本定理的应用,利用已知坐标的向 量表示未知向量后计算.

(3)在特殊图形中,如等腰三角形、矩形、正方形等可 以通过建立直角坐标系,表示出向量的坐标后计算.

【变式训练】a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等

于( )

A.23

B.57

C.63

D.83

【解析】选D.3|a|2-4a·b=3[(-4)2+32]-4(-4×5+

3×6)=83.

【补偿训练】已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求 (1)2a·(b-a). (2)(a+2b)·c. (3)a·(b·c).

【解析】(1)方法一:2a=2(1,3)=(2,6), b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), 所以2a·(b-a)=(2,6)·(1,2)=2×1+6×2=14. 方法二:2a·(b-a)=2a·b-2a2 =2(1×2+3×5)-2(1+9)=14.

(2)方法一: a+2b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13), (a+2b)·c=(5,13)·(2,1)=5×2+13×1=23. 方法二:(a+2b)·c=a·c+2b·c =1×2+3×1+2(2×2+5×1)=23.

(3)因为b·c=2×2+5×1=9, 所以a·(b·c)=9a=9(1,3)=(9,27).

类型二 平面向量的模

【典例】1.向量 A B 与向量a=(-3,4)的夹角为π ,|A B | =10,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标为 ( )

A.(-7,8)

B.(9,-4)

C.(-5,10)

D.(7,-6)

2.已知向量a在向量b=(1, 3 )方向上的投影为2,且|ab|= 5 ,则|a|=________.

【审题路线图】1.向量的夹角、模?坐标表示?设出点 B的坐标,列方程组求解. 2.投影、模?表示出投影式、模平方?构造模求值.

【解析】1.选D.因为向量 A 与B 向量a=(-3,4)的夹角 为π, 所以设 A B=ka=k(-3,4)=(-3k,4k),其中k<0,
得 A B ??? 3 k?2? ?4 k?2? 1 0 ,
解得k=-2(舍2),所以A B=(6,-8), 由点A的坐标是(1,2),设B(m,n),

得 A B=(m-1,n-2)=(6,-8),

则有

? ? ?

m ?1 n?2

? ?

6解,得m=7,n=-6,
?8

所以点B的坐标为(7,-6).

2.由已知得:|b|=2, a b 所? 2以, a·b=4,
b
所以由|a-b|= 5,得a2-2a·b+b2=5, 所以a2-8+4=5,所以|a|=3.
答案:3

【延伸探究】1.本例1中,若向量 A B 与向量a=(-3,4)的 夹角为0,试求点B的坐标.

【解析】因为向量 A B与向量a=(-3,4)的夹角为0, 所以设A B=ka=k(-3,4)=(-3k,4k),其中k>0,
得 A B ??? 3 k?2? ?4 k?2? 1 0 ,
解得k=2(舍-2),所以A B=(-6,8), 由点A的坐标是(1,2),设B(m,n), 得 A B=(m-1,n-2)=(-6,8),

则有

? m -1

? ?

n



2

? ?

-解6得m=-5,n=10,
8,

所以点B的坐标为(-5,10).

2.本例2中,若|a+b|=5,试求|a|. 【解析】由已知得:|b|=2, a b b =2,所以a·b=4, 所以由|a+b|=5,得a2+2a·b+b2=25,
所以a2+8+4=25,所以|a|= 1 3 .

【方法技巧】求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2将向量的模的运算 转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),a·a=a2=x2+y2,于是 有|a|= x 2 ? y 2 .

【补偿训练】1.(2018·银川高一检测)已知向量a=

(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|= ( )

A. 5

B. 1 0

C.2 5

D.10

【解析】选B.由题意可得a·b=(x,1)·(1,-2)=x-2=0, 解得x=2. 再由a+b=(x+1,-1)=(3,-1),可得|a+b|= 1 0 .

2.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a-b|=( )
A . 5 3 B . 3 5 C . 2 5 D . 2 2
【解析】选B.因为a∥b,所以4+2x=0, 所以x=-2,a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6), 所以|a-b|=3 5 .

类型三 平面向量的夹角、垂直问题

【典例】1.(2018·广州高一检测)已知|a|=1,b=(0,2),

且a·b=1,则向量a与b夹角的大小为 ( )

A . ? B . ? C . ? D . ?

643

2

2.(2018·成都高一检测)设向量m=(2x-1,3),向量 n=(1,-1),若m⊥n,则实数x的值为 ( )

A.-1

B.1

C.2

D.3

【审题路线图】1.求夹角?夹角公式?条件代入 2.向量的坐标、垂直条件?数量积为0?列方程求x值

【解析】1.选C.因为|a|=1,b=(0,2),且a·b=1,

设a与b的夹角为θ ,则cosθ =

ab ? 1又因为?1.
a b 1? 0?22 2

θ ∈[0,π],则θ = .所? 以向量a与b夹角的大小为 . ?

3

3

2.选C.因为向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),m⊥n,所以

m·n=(2x-1,3)·(1,-1)=2x-1-3=0,解得x=2.

【方法技巧】解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)求解方法:先利用平面向量的坐标表示出这两个向

量的数量积a·b及|a||b|,再由cosθ

=

a a

b b

?

x1x2 ?y1y2 x12 ?y12 x22 ?y22

直接求出cosθ

.

(2)注意事项:利用三角函数值cosθ 求θ 的值时,应注 意角θ 的取值范围是0°≤θ ≤180°.利用cosθ = a b
ab
判断θ 的值时,要注意cosθ <0时,有两种情况:一是θ
是钝角,二是θ 为180°;cosθ >0时,也有两种情况:一
是θ 是锐角,二是θ 为0°.

【变式训练】已知向量a=(-1,2), b=(m,1).若向量 a+b与a垂直,则m=________. 【解题指南】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0), 则a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0.

【解析】由题意得a+b=(m-1,3), 因为(a+b)·a=0, 所以-(m-1)+2×3=0, 解得m=7. 答案:7

【补偿训练】已知向量a=( 3 ,1),b=(m,1).若向量

a,b的夹角为 2 3 ? ,则实数m= (

)

A.- 3

B. 3

C.- 3 或0

D.2

【解析】选A.因为向量a=( 3 ,1),b=(m,1),且向量a,
b的夹角为 2 ? ,
3
?? 所以 a b ? 3 m ? 1 ?3 2 ? 1m 2 ? 1 c o s 2 ? ? ? m 2 ? 1 , 3
解关于m的方程可得m=0或m=3 - ,
代入验证,当m=0时,方程可化为1=-1,矛盾,应舍去.

【核心素养培优区】

【易错案例】平面向量的夹角

【典例】设a=(-3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角, 则实数m的范围是 ( B )

A.m>4
C.m<4且m≠ 9
4

B.m<4 D.m<4且m≠- 9
4

【失误案例】a=(-3,m),b=(4,3), 当a与b的夹角是钝角时,a·b<0, 所以-3×4+3m<0,解得m<4.

【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的根本原因是误认为两个向量的夹角为 钝角与数量积小于零等价,应排除夹角为π 时的m值,条 件的转化一定要等价.

编后语
? 做笔记不是要将所有东西都写下,我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度,才能算详略得当呢?对此很难作出简单回答。 课堂笔记,最祥可逐字逐句,有言必录;最略则廖廖数笔,提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
? 讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 ? 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科,笔记就越需要完整。 ? 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识,那么就必须做完整的笔记。 ? 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”,把主要精力放在做笔记上,常常为看不清黑板上一个字或一句话,不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
全的人,主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.,这样不仅失去了做笔记的意义,也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录, 便无暇紧跟老师的思路﹚。 ? 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容,那你的笔记就可能显得有些凌乱。 ? 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记,故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上,理解正是做好提纲式笔记的关键。 ? 课堂笔记要注意这五种方法:一是简明扼要,纲目清楚,首先要记下所讲章节的标题、副标题,按要点进行分段;二是要选择笔记语句,利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记;三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边,这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上,前提是你 能听懂﹚;四是数理化生等,主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题;五是政治、历史等,着重记下老师对问题的综合阐述。

2019/8/29

最新中小学教学课件

50

谢谢欣赏!

2019/8/29

最新中小学教学课件

51


相关文章:
...:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 _图文.ppt
高中数学人教A版必修4课件:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 _数学_高中教育_教育专区。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.平面向量的数量积...
高中数学人教A版必修4课件:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、....ppt
高中数学人教A版必修4课件:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 [提出问题] 已知两...
...A版数学必修4课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示、....ppt
高中人教A版数学必修4课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 复习引入 1....
...之高一数学人教A版必修4课件:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示....ppt
高中数学之高一数学人教A版必修4课件:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中教育_教育专区。高中数学之高一数学 第二章 平面向量高中数学之高一数学...
...课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文....ppt
新课标高中数学人教A版必修四精品课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 ....
高中数学人教A版必修4课件:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、....ppt
高中数学人教A版必修4课件:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_高三数
...2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 _图文.ppt
高中数学人教A版浙江专版必修4课件:第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 _数学_高中教育_教育专区。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、...
...2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文.ppt
人教版高中数学必修4课件练习2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角 数量积的定义已知...
...数学必修四课件:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模....ppt
「精品」人教A版高中数学必修四课件:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-精品课件_数学_高中教育_教育专区。2.4.2平面向量数量积的坐标表 示、模、夹角 ...
...2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角_图文.ppt
【测控指导】2018版高中数学人教A必修4课件 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示夹角_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 -1-...
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课....ppt
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件人教A版必修4_教
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课....ppt
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件人教A版必修4 (3)_教学案例/设计_教学研究_教育专区。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ...
...课件】高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模....ppt
【优质课件高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角人教A版必修4优秀课件.ppt_小学教育_教育专区。中小学精编教育课件 第二章 平面向量 2.4 平面...
...2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文.ppt
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.2平面向量数量积的坐标表示夹角_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示夹角 【学习...
...2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 新人教A....ppt
高中课件高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角人教A版必修4课件ppt.ppt_高中教育_教育专区。中小学精编教育课件 第二章 平面向量 2.4 平面...
...2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件_图....ppt
课件人教版必修4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角 平面向量...
人教A版《必修4》“2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、....ppt
人教A版必修4》“2.4.2平面向量数量积的坐标表示夹角课件_六年级其它课程_其它课程_小学教育_教育专区。2.4.2平面向量数量积的坐标 表示、...
人教A版《必修4》“2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、....ppt
人教A版必修4》“2.4.2平面向量数量积的坐标表示夹角”_数学_高中教育_教育专区。2.4.2平面向量数量积的坐标 表示夹角 学习目标 1、学会用...
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课....ppt
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件人教A版必修4 (
...2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人....ppt
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件人教a版必修4_数学_高中教育_教育专区。第二章 §2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面...
更多相关标签: