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北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(数列)


北京各区二模理科数学分类汇编 数列
(2015届西城二模) 6.数列 A. B.21 为等差数列,满足 D.84 ,则数列 前21 项的和等于( B)

C.42

(2015 届海淀二模)

答案:2,

4n ? 1 3

(2015 届海淀二模)

(20)(共 13 分) 解:(Ⅰ) . (Ⅱ)

A1 : 2,1,3 或 A1 :1,3, 2 .

??????2 分

A3 : 5,6,7, 2,3, 4,9,8,1;

??????4 分 ??????6 分

A4 : 5,6,7,8,1, 2,3, 4,9 .
(Ⅲ)考虑数列

A : a1, a2 ,L , an ,满足 ai ? ai ?1 的数对 ai , ai ?1 的个数,我们称之为“顺序数”.则等差数列 A0 :

2015, 2004,L ,1的顺序数为 0 ,等差数列 An : 1, 2,L , 2015 的顺序数为 2014 .
首先,证明对于一个数列,经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2.实际上,考虑对数列

L , p, a,L , b, c,L , d , q,L

,交换其相邻两段 a, L

, b 和 c,L , d 的位置,变换为数列 L , p, c,L , d , a,L , b, q,L

.

显然至多有三个数对位置变化. 假设三个数对的元素都改变顺序, 使得相应的顺序数增加, 即由 为

p ? a, b ? c, d ? q 变

p ? c, d ? a, b ? q .
分别将三个不等式相加得

p ? b ? d ? a ? c ? q 与 p ? b ? d ? a ? c ? q ,矛盾.

所以 经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2. 其次,第一次和最后一次变换,顺序数均改变 1.设 n 的最小值为 x ,则

2 ? 2 ? x ? 2? ? 2014 ,即 x ? 1008 .
最后,说明可以按下列步骤,使得数列 对数列

??????10 分

A1008 为 1, 2,L , 2015 .

A0 : 2015, 2014,L ,1,
,1007 和 1008,1009 位置上的两段,得到数列 A1 :

第 1 次交换 1, 2, L

1008,1007, 2015, 2014,L ,1010,1009,1006,1005,L , 2,1 ;
第 2 次交换 2,3, L

,1008 和 1009,1010 位置上的两段,得到数列 A2 :

1008,1009,1006,1007, 2015, 2014,L ,1011,1010,1005,1004,L , 2,1 ;
第 3 次交换 3, 4, L

,1009 和 1010,1011位置上的两段,得到数列 A3 :

1008,1009,1010,1005,1006,1007, 2015, 2014,L ,1012,1011,1004,1003,L , 2,1;
L L ,以此类推
第 1007 次交换 1007,1008, L

, 2013 和 2014, 2015 位置上的两段,得到数列 A1007 :

1008,1009,L , 2013, 2014,1, 2,L ,1006,1007, 2015 ;
最终再交换 1, 2, L 所以

,1007 和 1008,1009,L , 2014 位置上的两段,即得 A1008 : 1, 2,L , 2015 .
??????13 分

n 的最小值为 1008.

(2015 届东城二模) (3)已知 {an } 为各项都是正数的等比数列,若 a4 ? a8

? 4 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? (B)

(A) 4

(B) 8 (C) 16

(D) 64

(2015 届东城二模) (20)(本小题共 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 (Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等比数列;

? a(a ? 3) , an?1 ? S n ? 3n ,设 bn ? S n ? 3n , n ? N? .

(Ⅱ)若 an ?1 (Ⅲ)当 a ( t,

? an , n ? N? ,求实数 a 的最小值;
设这个新数列的前 n 项和为 C n ,若 C n 可以写成 t
p

?3 , n ? 1, ? 4 时,给出一个新数列 {en } ,其中 en ? ? ?bn , n ? 2.

p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 {Cn } 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求
? Sn?1 ? 3n?1 ? 2Sn ? 3n ? 3n?1 ? 2bn , n ? N? ,且 a ? 3 ,

出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ) 因为 bn?1

所以 {bn } 是首项为 a ? 3 ,公比为 2 等比数列. 所以 bn

? (a ? 3) ? 2 n?1 . ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ,

???4 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 S n

an ? Sn ? Sn?1 , n ? 2, n ? N? .

a, n ?1 ? an ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2 , n ? 2
因为 an?1 所以 a

?a n ,

? ?9 ,且 a ? 3 .
???9 分

所以 a 的最小值为 ?9 .

(Ⅲ)由(Ⅰ)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ?

? 2n?1 ? 2 n ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1 . 由t
p

? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.
p p

① 当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n , 因为 t
p 2

? 1 和 t ? 1 都是大于 1 的正整数,
p g p h

p 2

所以存在正整数 g , h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 , t 2 ? 1 ? 2 ,

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,
相应的 n ? 3 ,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”; ② 当 p 为奇数时, t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
p 2 p ?1

),

2 p ?1 由于 1 ? t ? t ? ? ? t 是 p 个奇数之和,仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数,

所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
2

p ?1

) ? 2 n 不成立,
???14 分

此时没有“指数型和”.

(2015 届昌平二模) 3. 已知等差数列

?an ? 的公差是 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则
C. ?8 D. ?10

a1 等于

A. ? 4

B. ? 6

(2015 届昌平二模)20. (本小题满分 13 分) 如图,在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中,将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中. 其中第 i 行,第

j 列的数记作 aij , i, j ? N* ,如 a11 ? 2, a23 ? 16 .

2 6 2

4 0 8 8 …

8 16 6 8 …

14 4 6 0 …

… … … … …

(I)写出 a15,a53 , (II) 若 aij

a66 的值;

? 502, 求 i, j 的值;(只需写出结论)
记数列

1 4 ? (III) 设 bn ? a ( n ? N ), n n ,cn ? n ? 2 bn?1 ? 2

?cn ?的前 n 项和为

0 …

Sn , 求

Sn ;并求正整数 k ,使得对任意 n ? N ? ,均有 S k ? S n .
20. (本小题满分 13 分) 解:(I) a15

? 22 , a53 ? 52, a66 ? 122
…………8 分

.

……………4 分

(II) I =20 , j =3.

(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2,10,26,50, bn 是依(II)中排法的第 2 n – 1 组 的中间一个数,即第 n 个数, 所以 bn = ( 2n – 1 ) 2 n– 2 ( n – 1 ) = 4 n2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2,n = 1,2,3,…;

因为

cn ?

1 1 1 4 (n ? N* ) 错误!未找到引用源。, 所以 cn ? n ? ? n 2 n(n ? 1) 2 bn?1 ? 2
.…………10 分



Sn ?

1 1 ? n (n ? N? ) n ?1 2

因为

c1 ? 0, c2 ? 0, c3 ? 0, c4 ? 0 ;当 n ? 5 时, cn ?

? n ? n ? 1? ? 1 ? 1? , ? n ? n ? 1? ? 2n ?

而[

n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1] ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 0 ? 1] ? [ n 2 2n ?1 2n 2n ?1 2n ?1



n ? n ? 1? 5 ? 5 ? 1? ? ? 1, 2n 25

所以当 n

? 5 时, cn ? 0 ,综上对任意 n ? N ? 恒有 S4 ? Sn ,故 k ? 4 .…………13 分

(205 届丰台二模)18.(本小题共 13 分)

?2an ?1 , n ? 2k , 已知数列 {an } 满足 a1 ? 10 , an ? ? (k ? N* ) ,其前 n 项和为 Sn . ? 1 ? log a , n ? 2 k ? 1 ? 2 n ?1

(Ⅰ)写出 a3 , a4 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求 Sn 的最大值. 18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 a1 所以 a2
a1

? 10 ,

? 2 ? 210 ,
????????3 分

a3 ? ?1 ? log2 a2 ? ?1 ? log2 210 ? 9 ,
a4 ? 29 ? 512 .
(Ⅱ)当 n 为奇数时, an 即 an

? ?1 ? log2 an?1 ? ?1? log2 2

an?2

? an?2 ?1 ,

? an?2 ? ?1 . 所以 {an } 的奇数项成首项为 a1 ? 10 ,公差为 ?1 的等差数列. n ?1 21 ? n ) ? (?1) ? 所以当 n 为奇数时, an ? a1 ? ( . 2 2

a 当 n 为偶数时, an ? 2 n ?1 ? 2
n 11? 2

21?( n ?1) 2

?2

11?

n 2



所以

? ? 2 , n ? 2k , an ? ? (k ? N* ) 21 ? n ? , n ? 2k ? 1. ? 2
?2
11? n 2

????????10 分

(Ⅲ)因为偶数项 an

? 0 ,奇数项 an ?

21 ? n 为递减数列, 2

所以 Sn 取最大值时 n 为偶数.
11? k

令 a2 k

? a2k ?1 ? 0 ( k ? N* ),
11?k

即2

?

21 ? 2k ? 1 ? 0. 2

所以 2 得k

? k ? 11 .

? 11 .

所以 Sn 的最大值为 S22

? (210 ? 29 ?

? 21 ? 20 ) ? (10 ? 9 ?

? 0) ? 2102 .

????????13 分



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