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2018 版高考数学一轮总复习 第 7 章 立体几何 7.2 空间几何体的表 面积和体积模拟演练 文

[A 级 基础达标](时间：40 分钟)

1． [2016·全国卷Ⅰ]如图， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 28π 垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( 3 A．17π B．18π C．20π D．28π 答案 A )

解析 1 7 4 3 由三视图知该几何体为球去掉了 所剩的几何体(如图)，设球的半径为 R，则 × π R ＝ 8 8 3 28π 7 3 2 2 ，故 R＝2，从而它的表面积 S＝ ×4π R ＋ ×π R ＝17π .故选 A. 3 8 4

1

2．[2017·江西南昌联考]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体 积是( )

3 3

A．108 cm B．100 cm C．92 cm D．84 cm 答案 B

3 3

解析 由三视图可知原几何体是一个长、 宽、 高分别为 6,3,6 的长方体切去一个三棱锥， 1 1 3 因此该几何体的体积＝6×3×6－ ×4× ×4×3＝108－8＝100(cm )，故选 B. 3 2 3． 某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)， 则该几何体的表面积为( )

A．92＋14π

B．82＋14π

2

C．92＋24π 答案 A

D．82＋24π

解析 由三视图可知，此几何体上半部分是半个圆柱，圆柱的底面半径为 2，高为 5，下 半部分是一个长方体，长、宽、高分别为 5、4、4，故此几何体的表面积为 4×4×2＋4×5×3 ＋ 4π ×5 ＋4π ＝92＋14π ，故选 A. 2 4．[2015·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )

A．2＋ 5 C．2＋2 5 答案 C

B．4＋ 5 D．5

解析

由三视图还原几何体如图．故 S

表面积

1 1 ＝S△BCD＋2S△ACD＋S△ABC＝ ×2×2＋2× × 5 2 2

3

1 ×1＋ ×2× 5＝2＋ 5＋ 5＝2＋2 5. 2 5．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为 16π 2∶1，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为 ，则此三棱柱的侧面积为( 3 A. 3 C．8 答案 D B. 3 2 )

D．6

解析 如图，根据球的表面积可得球的半径为 r＝

4 ，设三棱柱的底面边长为 x，则 3

? ? ?

4?2 2 ? 3 ?2 ? ＝x ＋? x? ，解得 x＝1，故该三棱柱的侧面积为 3×1×2＝6. 3? ?3 ? 6． [2016·天津高考]已知一个四棱锥的底面是平行四边形， 该四棱锥的三视图如图所示

3

(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m .

4

答案 2 解析 四棱锥的底面是平行四边形，由三视图可知其底面积为 2×1＝2 (m )，四棱锥的 1 3 高为 3 m，所以四棱锥的体积 V＝ ×2×3＝2 (m )． 3

2

7． [2017·江苏模拟]某几何体的三视图如图所示， 其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形， 侧视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是________． 答案 2(π ＋ 3) 解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为 2 3；侧 面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为 2π . 两部分加起来即为几何体的表面积，为 2(π ＋ 3)． 8．[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 ________cm ，体积是________cm .

2 3

5

答案 72 32

解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的 长方体组合而成， 其中 AB＝BC＝2 cm， BD＝4 cm， ∴该几何体的体积 V＝2×2×4×2＝32 (cm )， 表面积 S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 (cm )． 9． [2016·南宁二模]一个空间几何体的三视图如图所示， 求该几何体的外接球的表面积．

2 3

6

解

依题意，题中的几何体是三棱锥 A－BCD，如图所示．

其中底面△BCD 是等腰直角三角形，BC＝CD＝ 2，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，AB＝ 2，BD ＝2，AC⊥CD. 取 AD 的中点 M，连接 BM，CM， 1 1 则有 BM＝CM＝ AD＝ 2 2 2 ＋? 2? ＝ 6 ， 2

2 2

6 ， 2

该几何体的外接球的半径是

该几何体的外接球的表面积为 4π ×?

? 6? 2 ? ＝6π . ?2?

10．如图，△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面 ABC，且 AE∥FC∥BD，BD＝3，

FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．

7

解

解法一：如图，取 CM＝AN＝BD，连接 DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成

一个直三棱柱和一个四棱锥． 所以 V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥． 1 由题知三棱柱 ABC－NDM 的体积为 V1＝ ×8×6×3＝72. 2 四棱锥 D－MNEF 的体积为： 1 3 1 1 3 2

V2＝ ×S 梯形 MNEF×DN＝ × ×(1＋2)×6×8＝24，

则几何体的体积为：V＝V1＋V2＝72＋24＝96. 解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA′＝BB′＝CC′＝8，所以 V

8

几何体

1 1 1 ＝ V 三棱柱＝ ×S△ABC×AA′＝ ×24×8＝96. 2 2 2 [B 级 知能提升](时间：20 分钟) 11．[2016·全国卷Ⅲ]如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体

的三视图，则该多面体的表面积为(

)

A．18＋36 5 C．90 答案 B

B．54＋18 5 D．81

解析 由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的正方形，高为 6，侧棱长为 3 5的 平行六面体，则该几何体的表面积 S＝2×3 ＋2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5，故选 B. 12．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

2

9

A.

3 3

2 3 B. 3

4 3 C. 3

5 3 D. 3

答案 C

解析 如图所示， 由题意知该几何体为四棱锥 P－ABCD， 底面面积 S＝2×2＝4， 高 h＝ 3 ， 1 1 4 3 故体积 VP－ABCD＝ Sh＝ ×4× 3＝ . 3 3 3 13．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是 全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为________．

答案 9π

10

解析 该三棱锥的直观图如图所示，其中底面 ABC 为以 C 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面

PAB⊥底面 ABC， 顶点 P 在底面上的射影为 AB 的中点 O′.该三棱锥的外接球的球心一定在 PO′

上，且满足 OP＝OA＝r.在 Rt△OO′A 中，O′A＝ 1 2 2 ＋2 ＝ 2，OO′＝2－r，所以 r ＝2＋(2－r) ，

2 2 2 2

3 ?3?2 解得 r＝ ，所以其外接球的表面积为 4π ×? ? ＝9π . 2 ?2?

14. [2016·江苏高考]现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥

P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是

正四棱锥的高 PO1 的 4 倍． (1)若 AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由 PO1＝2 知，O1O＝4PO1＝8. 因为 A1B1＝AB＝6， 所以正四棱锥 P－A1B1C1D1 的体积

2 3 V 锥＝ ·A1B2 1·PO1＝ ×6 ×2＝24(m )．

1 3

1 3

11

正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的体积

V 柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．

所以仓库的容积 V＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m )．

3

(2)设 A1B1＝a m，PO1＝h m， 则 0<h<6，O1O＝4h. 如图，连接 O1B1. 因为在 Rt△PO1B1 中，O1B1＋PO1＝PB1， 所以?

2 2 2 2

? 2 ?2 2 a? ＋h ＝36， ?2 ?

2

即 a ＝2(36－h )． 于是仓库的容积 1 3 13 3 26 3 26 3

V＝V 柱＋V 锥＝a2·4h＋ a2·h＝ a2h＝ (36h－h3)，0<h<6，从而 V′＝ (36－3h2)＝

26(12－h )． 令 V′＝0，得 h＝2 3或 h＝－2 3(舍)． 当 0<h<2 3时，V′>0，V 是单调递增函数； 当 2 3<h<6 时，V′<0，V 是单调递减函数． 故 h＝2 3时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当 PO1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．

2

12

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