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18版高中数学第二单元圆锥曲线与方程疑难规律方法教学案新人教B版选修1_1

第二单元 圆锥曲线与方程 1 椭圆的定义在解题中的妙用 椭圆定义反映了椭圆的本质特征,揭示了曲线存在的几何性质.有些问题,如果恰当运用定 义来解决,可以起到事半功倍的效果,下面通过几个例子进行说明. 1.求最值 例 1 线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M 是 AB 的中点,当 P 点在同一平面内运动时,PM 的长 度的最小值是( A.2 B. 2 ) D.5 C. 5 解析 由于|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点,A、B 为焦 点的椭圆,且 a=3,c=2,∴b= a -c = 5.于是 PM 的长度的最小值是 b= 5. 答案 C 2.求动点坐标 例 2 椭圆 + =1 上到两个焦点 F1,F2 距离之积最大的点的坐标是________. 9 25 解析 设椭圆上的动点为 P,由椭圆的定义可知 |PF1|+|PF2|=2a=10, 所以|PF1|·|PF2|≤? 2 2 x2 y2 ?|PF1|+|PF2|?2=?10?2=25, ? ?2? 2 ? ? ? ? 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. ?|PF1|+|PF2|=10, ? 由? ?|PF1|=|PF2|, ? 解得|PF1|=|PF2|=5=a, 此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点, 即所求点的坐标为(±3,0). 答案 (±3,0) 点评 由椭圆的定义可得“|PF1|+|PF2|=10”,即两个正数|PF1|,|PF2|的和为定值,结合 均值不等式可求|PF1|,|PF2|积的最大值,结合图形可得所求点 P 的坐标. 3.求焦点三角形面积 例 3 如图所示, 已知椭圆的方程为 + =1, 若点 P 在第二象限, 且∠PF1F2=120°, 求△PF1F2 4 3 的面积. x2 y2 1 解 由已知得 a=2,b= 3, 所以 c= a -b =1,|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2 中,由余弦定理得 |PF2| =|PF1| +|F1F2| -2|PF1||F1F2|cos 120°, 即|PF2| =|PF1| +4+2|PF1|, 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|. 6 将②代入①,得|PF1|= . 5 1 所以 S△PF1F2= |PF1|·|F1F2|·sin 120° 2 1 6 3 3 3 = × ×2× = 3,即△PF1F2 的面积是 3. 2 5 2 5 5 点评 在△PF1F2 中,由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|,|PF2|的方程组,消去|PF2|可 求|PF1|. 从以上问题,我们不难发现,凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题,我们应首先考虑利用椭 圆的定义求解. ② 2 2 2 2 2 2 2 ① 2 如何求椭圆的离心率 1.由椭圆的定义求离心率 例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于 4 个不同的点,顺次连接这四个点和 两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为________. 解析 如图所示,设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),半焦距为 c,由题 x2 y2 a b 意知∠F1AF2=90°,∠AF2F1=60°. ∴|AF2|=c, |AF1|=2c·sin 60°= 3c. 2 ∴|AF1|+|AF2| =2a=( 3+1)c. ∴e= = 答案 c a 2 3+1 = 3-1. 3-1 点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质,并结合椭圆的定义,化难为易,使问题简单解 决. 2.解方程(组)求离心率 例 2 椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左焦点为 F1(-c,0),A(-a,0)、B(0,b)是两个顶点,如果 x2 y2 a b F1 到直线 AB 的距离为 b 7 ,则椭圆的离心率 e=________. 解析 如图所示,直线 AB 的方程为 + =1, -a b 即 bx-ay+ab=0. ∵点 F1(-c,0)到直线 AB 的距离为 ∴ 7|a-c|= a +b , 即 7a -14ac+7c =a +b . 又∵b =a -c ,整理,得 5a -14ac+8c =0. 两边同除以 a 并由 e= 知,8e -14e+5=0, 1 5 解得 e= 或 e= (舍去). 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y b ,∴ = 7 7 b |-bc+ab| , a2+b2 c a 2 答案 1 2 3.利用数形结合求离心率 ? ? 例 3 在平面直角坐标系中, 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2, 圆 O 的半径为 a, 过点 P? ,0? ? 作圆 O 的两条切线,且这两条切线互相垂直,则离心率 e=________. 解析 如图所示,切线 PA、PB 互相垂直,PA=PB. 又 OA⊥PA,OB⊥PB,OA=OB, 3 x2 y2 a b a2 ?c 则四边形 OAPB 是正方形, 故 OP= 2OA, 即 = 2a,∴e= = a2 c c a 2 . 2 答案 2 2 4.综合类 x2 y2 例 4 设 M 为椭圆 2+ 2=1 上一点,F1、F2 为椭圆的左、右焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1 a b =15°,求椭圆的离心率. 2c |MF1| |MF2| 解 由正弦定理得 = = sin 90° sin 15° sin 75° = |MF1|+|MF2| 2a = , sin 15°+sin 75° sin 15°+sin 75° c 1 1 6 ∴e= = = = . a sin 15°+cos 15° 2sin 60° 3 α +β cos 2 点评 此题可推广为若∠MF1F2=α ,∠MF2F1=β ,则椭圆的离心率 e= . α -β cos 2 3 活用双曲线定义妙解题

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